REPRESENTATION DES GROUPES FINIS SLR LE PLAN. IOI
étoile, dont les cotés sont les prolongements de ceux du polygone convexe 2, 3, 4? S, 6.
Cherchons maintenant les projections des cercles de symétrie. Ceux qui passent par les points 1 et 12 se projettent suivant cinq droites issues de l'origine, parmi lesquelles l'axe des #, et faisant
entre elles des angles égaux. Considérons, par exemple, le cercle de symétrie contenant les sommets 2, 3, 7, 8. Il se projette, bien entendu, suivant un cercle passant par les projections de ces sommets, et qui, comme nous allons le démontrer, a pour centre le point 5.
Il est évident que
de plus, les angles 5. 3. 7 et 0.7.3 ont tous deux pour amplitude 4 ('), par suite 5.3 = 5. 7. De même 6, 2, 3, 4 s°nt les
centres des projections des quatre autres cercles de symétrie. Considérons, au contraire, le cercle de symétrie passant parles
(') Il suffit de remarquer que 5.3.7 est l'angle à la base du triangle isoscèle 4.3.J formé par deux côtés et une diagonale du pentagone régulier convexe 9,3.4.5.6 et que 5.7.3 est un angle du pentagone régulier étoile 7.8.9.10.11.
iO'2 PREMIÈRE PARTIE. — GROUPES POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES.
sommets 2, 10, 7, 5. Démontrons que le centre de sa projection est le point 1 1. On voit de suite que
1 1 .•?. = 1 1 .5 et ' 11.7 = 11.10. De plus, comme
d'où
De même 7, 8, 9, 10 sont les centres des projections d'autant de cercles de symétrie.
REPRESENTATION DES GROUPES FINIS SLR LE PLAN. Io3
En résumé, Ja représentation du groupe icosaédrique comprend cinq droites issues de l'origine et dix cercles égaux cinq à cinq avant leurs centres aux points 2,3, . . . , i i .
Couvrons de hachures la moitié des triangles curvilignes, et prenons comme triangle initial 1 celui dont un sommet se trouve au point i et un coté placé sur la partie positive de l'axe des x. Tournant autour du point i , nous pourrons marquer les triangles S, S», S3, S''.
En tournant autour du milieu de l'arête i .2, nous aurons T, et nous obtiendrons, en tournant autour du point 2 et en vertu d'une remarque déjà faite (n" 66), les triangles ST, S2T, S;,T, S'T.
Tournons au contraire autour de 1, nous déduirons de T les triangles TS, TS2, TS3.
Et pareillement de SAT(/i — 1, 2, 3, 4) les triangles S^TS, SATS2, S*TS:», SATS*.
Enfin, appliquant aux 3o triangles déjà marqués une rotation ti autour de l'axe des y, nous obtiendrons finalement les triangles ayant pour symboles SAU et SATS*U(/i, k = o, 1, 2, 3, 4)-
Nous avons déjà eu l'occasion de considérer les cinq systèmes de trois médianes orthogonales de l'icosaèdre (n° 67). Les extrémités de chaque système sont les sommets d'un octaèdre régulier, et les centres sphériques des faces des cinq octaèdres sont des points appartenant à l'ensemble des centres sphériques des faces de l'icosaèdre, comme cela résulte, en toute évidence, de la figure i5 où est reproduite et agrandie la partie de la figure 14 formée
104 PREMIÈRE PARTIE. — GHOUPES POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES.
d'une face de l'octaèdre //, correspondant au système À", ('). Puisqu'il j a en tout 4o faces pour des octaèdres et 20 faces pour l'icosaèdre, le centre sphérique de chaque face de l'icosaèdre est centre sphérique de deux des faces des octaèdres.
Considérations générales sur les réseaux de triangles.
76. Chacun des réseaux de triangles qu'on vient de construire possède les propriétés suivantes (2) :
1" Il peut être engendré par symétrie en partant d'un quelconque des triangles qui le constituent;
20 Tous les triangles ont' les mêmes angles qui sont égaux à des sous-multiples de tt;
3° Le réseau recouvre le plan une seule fois, c'est-à-dire que deux ligures du réseau n'empiètent jamais l'une sur l'autre;
4° Il recouvre le plan tout entier;
5° Il se compose d'un nombre fini de triangles;
6° Tous les angles groupés autour d'un sommet commun sont égaux.
Nous rencontrerons dans la suite des réseaux ne possédant que quelques-unes des propriétés précédentes. Aussi appellerons-nous réseaux réguliers ceux qui possèdent la propriété 6° et réseaux finis ceux qui possèdent la propriété 5°.
Pour l'instant étudions la nature d'un réseau répondant aux conditions i° et 3°. Considérons un des sommets du triangle générateur; il appartiendra à d'autres triangles alternativement égaux et symétriques. Or, le réseau ne doit pas se recouvrir lui-même; donc, après avoir rencontré un nombre pair de triangles, y compris le triangle primitif, on devra retomber sur ce dernier triangle.
(•) Cette figure montre en effet que les quinze triangles composant la face de l'octaèdre sont disposés de la même façon autour du centre sphérique de la face i.5.6 de l'icosaèdre, centre qu'on a mis en évidence sur la figure en l'entourant d'un petit cercle.
{■) Il m'a paru utile de faire remarquer que ces propriétés ne sont pas toutes indépendantes.
CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES UKSEAIX DE TRIANGLES. Iû5
On voit que, autour du sommet considéré, tous les angles seront égaux à un même sous-multiple de 7t. Donc :
Un réseau, ne se recouvrant jamais lui-même et formé de triangles qui se déduisent de l'un d'eux par symétrie, est un réseau régulier; et les triangles de ce réseau ont pour angles des sous-multiples de n.
Il peut arriver qu'un tel réseau ne possède pas les propriétés 4" ci 5°.
Considérons un des réseaux finis déjà étudiés. Nous savons que,
s'il comprend m triangles dont les angles sont — > — > — , on a
d'où
<>u bien
Supposons maintenant que l'on se donne un triangle dont les
angles — > — . — ne satisfassent pas à la condition (a). ° Vi V| v3 r v '
Deux cas pourront se présenter :
/ / iii
Vi v, v3
Pour distinguer facilement ces trois cas, procédons ainsi. Soient a, b, c les trois côtés du triangle; a, [3, y les sommets qui leur sont respectivement opposés. Si le triangle a deux côtés non rectilignes, b et c par exemple, soit a, le second point d'intersection des cercles auxquels ils appartiennent. Faisons une inversion (n" 19) de pôle a,. Les cercles dont font partie b et c
(') Cette relation est immédiate si l'on remarque que la somme des angles d'un triangle sphérique est supérieure à deux droits et que chacun des triangles considérés, étant la projection slcréographique d'un triangle sphérique, a les mêmes angles que ce triangle sphérique.
