CONSIDERATIONS GENERALES SI II LES RESEAUX DE TRIANGLES

En résumé, le cas (b) donne lieu aux 4 types

v3=oc,

Fis. 18.

Nous avons Gguré les quatre réseaux correspondants; ils posièdent toutes les propriétés énoncées au 11" 76, sauf la cinquième; !€ sont des réseaux infinis.

énéral d'un triangle fon-

Si Ton passe maintenant au cas plus damental quelconque n'ayant plus deux côtés rectilignes, on aura, au lieu de droites, c'est-à-dire de cercles passant par le point à l'infini, une infinité de cercles passant tous par le même point. On peul donc dire que le cas (b) donne lieu à des réseaux infinis recouvrant tout le plan et formés de cercles passant tous par un même point.

78. Le cas (c) donne lieu évidemment à un nombre infini de types.

Soit ABC le tiiangle donné, où l'on suppose AB et. AC rectilignes, BC circulaire et tournant sa convexité vers A. De A nous pourrons mener deux tangentes au cercle contenant BC, et

l'angle BAC sera intérieur à l'angle DAE ou pourra tout au plus coïncider avec lui (si les angles B et C sont nuls). Le cercle de centre A, passant par D et E, coupera donc orthogonalement les prolongements des trois côtés du triangle donné.

Construisons le triangle symétrique de ABC par rapport à l'un de ses côtés. Le cercle DE étant orthogonal aux trois côtés est son propre symétrique par rapport à l'un quelconque d'entre eux, et, puisque la symétrie conserve les angles, il coupe encore orthogonalement le prolongement des trois côtés du nouveau triangle. On en conclut que:

Dans un réseau du type (c), tous les côtés sont orthogonaux à un même cercle et sont situés a" un même côté de ce cercle ; s'il y a des angles nuls, les sommets correspondants, et ceux-là seulement, sont situés sur le cercle.

On voit, d'après cela, que ces derniers réseaux ont la propriété 4° du n° 76; ils recouvrent en effet seulement l'une des deux régions en lesquelles le plan est partagé par un certain cercle.

Un réseau spécial du type (c) nous occupera d'ici peu; c'est le réseau représentatif du groupe modulaire.

79. Un réseau de triangles est V image d'un groupe de substitutions linéaires et de son groupe amplifié.

CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SLR LES RÉSEAUX DE TRIANGLES. iog

Soient a un triangle du réseau, b un autre triangle blanc du réseau se déduisant de a par symétrie. On passe de a à b par un nombre pair de transformations par symétrie; mais chacune d'elles est (n° il) l'image d'une pseudosubstitution, et, comme le produit d'un nombre pair de pseudosubstitutions est une substitution, on voit qu'on passe de a à b au moyen d'une substitution linéaire. Donc, si l'on se donne un réseau, on peut lui faire correspondre un ensemble de substitutions linéaires : ce sont les substitutions qui changent le réseau en lui-même. Si l'on regarde un des triangles blancs comme triangle primitif, il existe une correspondance biunivoque entre les substitutions de l'ensemble et les triangles blancs du réseau.

Il est clair que l'ensemble des substitutions ainsi formées est indépendant du triangle du réseau choisi pour triangle primitif.

Vppelons S la substitution qui transforme a et 6, et soit c un troisième triangle blanc. Puisque b peut être aussi considéré comme triangle fondamental, il existera une substitution S' de l'ensemble changeant b en c. Le produit SS' sera une substitution changeant a en c, et, comme dans l'ensemble considéré il existe une substitution et une seule S" ayant cette propriété, on aura