S'=SS
Les substitutions trouvées forment donc un groupe G. Ce groupe contient évidemment l'identité; de plus, il renferme l'inverse de chacune de ses substitutions.
En effet, en considérant a comme triangle fondamental, S est la substitution changeant a en b; inversement, si l'on prend b comme triangle fondamental, S-' sera la substitution changeant b en a .
11 est évident ensuite que l'ensemble des opérations transformant un triangle blanc déterminé du réseau en tous les autres triangles tant blancs qu'ombrés n'est autre que le groupe amplifié G.
\ppelons bitriangle la figure formée par deux triangles adjacents et supposons que nos bitriangles aient eui-mèmes la forme triangulaire ('); soient a le triangle générateur, a,, a2, «a les
(') Cela a toujours lieu quand les triangles ont un angle droit, et dans ce cas seulement.
tlO PREMIERE PARTIE. — GROUPES POLYEDRIQUES ET MODULAIRES.
bitriangles qui lui sont adjacents; S,, S2, S3 les substitutions changeante respectivement en a,, a.2, a3. Les produits composés avec les substitutions précédentes changeront a, , ou, <73 en des triangles respectivement adjacents, et ainsi de suite. Comme le réseau constitue un champ connexe, la substitution changeant a en un bitriangle quelconque b du <réseau pourra s'exprimer à l'aide d'un produit renfermant les seules substitutions S(, S2, S3. Ces dernières substitutions sont dites les substitutions génératrices du groupe (,).
80. Nous dirons que deux points du plan sont homologues dans un groupe d'opérations, s'il existe une opération du groupe transformant l'un d'eux dans l'autre. Deux champs formés de points respectivement homologues sont dits homologues.
L'homologie jouit des trois propriétés fondamentales de l'égalité, pourvu que le groupe renferme l'opération identique et l'inverse de chacune de ses opérations. En effet :
a. Tout point est son propre homologue, puisque le groupe contient l'opération identique permettant de passer d'un point quelconque au même point;
b. Si A est homologue de B, B est homologue de A, car, si l'opération P du groupe change A en B, l'opération P-1 appartient au même groupe et change B en A;
c. Si A est homologue de B et si B est homologue de C, A est homologue de C, car, si P change A en B et si Q change B en C, PQ appartient encore au groupe et change A en C.
Relativement à un groupe de substitutions d'ordre fini n\ les points d'un plan se partagent en système des n points homologues. 11 y a exception pour les nœuds du réseau, ceux-ci formant respectivement des systèmes de —, — , — points homologues.
1 J V] vs v3 I &
Donc, en considérant les nœuds comme des points multiples d'ordre v,, on peut dire que, par rapport à un groupe de subsli-
(') Il n'est pas inutile de remarquer que S„ S„ S, ne sont pas nécessairement indépendantes entre elles. Si les bitriangles n'avaient pas la forme triangulaire, le nombre des substitutions génératrices serait supérieur à 3.
