CONSIDERATIONS GKNKRVLES SUR LES RESEAUX DE TRIANGLES. , III

tu lions d'ordre n, un point quelconque du plan appartient à un système de n points homologues.

81. Soient un réseau de triangles et a un quelconque de ses bitriangles ; un point intérieur à a n'a pas d'autre homologue dans a que lui-même, mais il a un homologue dans chacun des autres bitriangles.

Au contraire, un point situé sur l'un des côtés du bitriangle a, pouvant être considéré comme appartenant aussi au bitriangle adjacent, aura son homologue sur le contour de a. Donc, chaque point du contour de a, et qui n'est pas un sommet, a un homologue et un seul sur ce même contour (cet homologue, dans certains cas, pouvant coïncider avec le point donné).

Enfin, un sommet de a a pour homologues autant de sommets de a (non nécessairement distincts) qu'il y a de bitriangles se croisant en ce point.

Soit donc un bitriangle quelconque; ne conservons de son contour qu'une portion convenablement choisie. Nous obtenons un champ connexe possédant la propriété de ne renfermer aucun couple de points homologues et de contenir un point homologue de chaque point du réseau.

Un tel champ est dit champ fondamental.

Pour un réseau donné, le champ fondamental peut être choisi de bien des façons. En effet, soient /, /' deux parties homologues du contour n'ayant aucun point commun ; on peut retrancher du bitriangle une région attenant à l, et la remplacer par la partie homologue du réseau s'appuyant sur /'. La figure ainsi obtenue, moyennant les conventions relatives au contour, est encore un champ fondamental. Des modifications de ce genre, permettant de passer d'un champ fondamental à un autre, sont dites modifications permises.

82. Soient un réseau, G le groupe de substitutions linéaires qui lui correspond, H un sous-groupe de G d'indice fini s. Reprenons les notations du n° 9. Soient

les substitutions de H. Celles de G pourront être rangées dans un

112 PREMIÈRE PARTIE. — GROUPES POLYEDRIQUES ET MODULAIRES.

Tableau de la forme suivante :

Po=", P., P2,

Qi Po=Q., Q1P1, QiPt, •••, (i) { Q2 Po=Q2. QiPi, Q2P2, ....

Q,-iPo=Q,-„ Q,-.Pi, Q*-iP«,

Représentons par 1 le bitriangle générateur du réseau, que nous supposerons de forme triangulaire. Soient S,, S3, S3 les symboles des bitriangles adjacents à (i) et qu'on déduit de 1 en lui appliquant les substitutions S,, S2, S3 génératrices du groupe G. Relativement à H, ces triangles ne peuvent»être tous les trois homologues du bitriangle 1 ; sinon H contiendrait les substitutions S,, Sa, S3, par suite toutes les substitutions de G, et se confondrait alors avec G.

Supposons, par exemple, que 1 soit homologue de S2, S:, et non de S,; et soient S,2, S,3 les bitriangles autres que 1. adjacents à S,. Si S)2 et S)3 sont homologues de 1 ou de S(, nous limiterons nos considérations au champ formé par les bitriangles 1, S,. Si, au contraire, Sl2, par exemple, n'est homologue ni de 1, ni de S,, nous considérerons le champ formé par les bitriangles 1, S,, S)2. Et nous continuerons toujours de la même façon. Je dis que l'application de ce procédé donnera lieu à un nombre fini d'opérations. En effet, les bitriangles correspondant aux substitutions d'une même ligne du Tableau (i) étant homologues dans H, après avoir rencontré au plus s bitriangles non homologues, on retombera nécessairement sur des bitriangles homologues de certains des précédents. Nous sommes donc conduits à former un champ connexe C, composé de bitriangles, dont s au plus non homologues entre eux. Si nous démontrons que chaque point du réseau a un homologue dans C, il en résultera que C est composé précisément de s bitriangles; car, si le nombre de bitriangles était inférieur à s, il existerait une ligne du Tableau (î) pour laquelle aucun des bitriangles correspondants n'appartiendrait à C et alors certains points du réseau n'auraient pas d'homologue dans C.

Pour établir notre assertion, faisons une remarque préliminaire. Soient» un bitriangle extérieur, mais attenant au champ C; 0 le triangle intérieur à C et attenant à a. Du moment que a est

CONSIDÉRATIONS GENERALES SUR LES RESEAUX DE TRIANGLES. - Il3

extérieur à C, c'est qu'il existe dans C un bitriangle a! homologue de a. Parmi les bitriangles contigus à a', il doit y en avoir un, soit b', homologue de b; mais il est nécessairement extérieur à C, puisque b est intérieur; par suite b' s'appuie sur le contour de C. Nous avons donc sur le contour de G deux arcs homologues, séparant respectivement a de b et a' de b' .

Le raisonnement précédent montre que les points du contour de G sont deux à deux homologues dans le groupe H.

Gela posé, soit z un point quelconque de la région du plan recouverte par le réseau. Prenons un point quelconque z0 intérieur à G, et joignons z0 k z par une ligne / qui ne sorte pas du champ occupé par le réseau et qui rencontre un nombre fini de triangles. Soient z{ le point où /rencontre pour la première fois le contour de C; a,, a2, ••• les bitriangles extérieurs à C qu'elle traverse successivement; /,, l2, ... les portions de cette ligne comprises respectivement dans ces bitriangles; m la portion aboutissant à z.

D'après ce qui précède, il existera sur le contour de G un point z\ homologue de £,, et l'on pourra tracer à l'intérieur de G et à partir de z\ une ligne /', homologue de /, , puis une ligne /!, homologue de L2 et ainsi de suite. Le tracé sera achevé après un nombre fini d'opérations, et l'extrémité de la portion m' homologue de m sera le point homologue de z dans le champ C.

Donc, tout point du réseau a un homologue dans C. En définitive : Si H est un sous-groupe de G d'indice fini s, on peut, à t'aide de s bitriangles du réseau représentatif de G, constituer pour H un champ fondamental C.

Le réseau enlier correspondant à G pourra être décomposé en champs homologues de C relativement à H; ces champs formeront le réseau (polygonal) relatif au groupe H et l'on pourra dire que ce réseau est contenu dans celui de G, en ce sens que les côtés et les nœuds de H seront aussi des côtés et des nœuds de G, sans que l'inverse ait lieu. On peut en conclure que : Etant donnés un groupe et un de ses sous-groupes, le réseau du second est contenu dans celui du premier.