P* = PAP

on aurait nécessairement / >> u, — 1 et Gp devrait contenir aussi l'opération

(Q/P/t)-,Q/P/tP/=P/,

tandis que, par hypothèse,

sont les seules opérations qu'il comprenne.

Il résulte de là que, si Gp contient une opération d'une ligne du Tableau (1), il en contient ia appartenant à la même ligne. La considération des colonnes du Tableau ( 1 ) donne lieu à des conclusions analogues.

Si p > [xv, Gp contient, outre les éléments (1), d'autres éléments qui, moyennant des changements convenables d'indices, peuvent être rangés comme il suit :

QvP|i QvP(x+i ••• QvP2^-i

'[A Qv+lP[X+l ••• Qv-mPîh,-!

el ainsi de suite. Les rectangles (2), (3), etc. sont contenus dans le rectangle (1) et sont tous groupés autour d'une même oblique, qu'ils admettent pour diagonale, comme on le voit sur la

l4 PREMIÈRE PARTIE. — GROUPES POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES.

figure, où l'on suppose

On a représenté par des points les éléments de Gmn, et indiqué d'une façon plus apparente ceux d'entre eux qui appartiennent à Gp :

Posons p = Quiv. Nous pouvons choisir comme opérations représentantes de Gp relativement à G^ les opérations

•l QvP[A> QîvPïlAî •••, Q(8-l)vP(6-l)[A-

Les opérations

i, Pt, P2, ..., P(6 1)!A

forment un sous-groupe G^ de Gm. Montrons qu'elles forment effectivement un groupe. En effet, si QtP/,, QaP/ sont deux opérations de Gp avec les conditions h 1 9[x — i , Z ^ Ojj. — i ,

QiPAQ*P/«Q/Q*P*P/«QrP.

appartient à Gp, s étant ^9u— i. Donc le produit de deux opérations

Py (y'^V-0

est une opération du même ensemble.

De même les opérations

h Qi. Q», .... Q(e-

forment un sous-groupe Gqv de G„.

En combinant G^ et Gev, sous-groupes de Gm et G„, on obtient un sous-groupe ;

tic G/nni contenant Gp comme sous-groupe ('); c'est évidemment le plus petit sous-groupe combiné ayant une telle propriété.

Donc, si Gp est un sous-groupe ne provenant pas d'une combinaison, on peut construire deux sous-groupes combinés, l'un G p. contenu dans Gp, l'autre Ge!p.v qui renferme Gp. Si l'on désigne les sous-groupes non combinés sous le nom de sous-groupes intermédiaires, on peut dire que les sous-groupes de Gmn sont ou combinés, ou intermédiaires.

On peut observer que Gp, est un sous-groupe invariant de Gôp.. Ed effet, si Pt- appartient à Gp. et P* à Gep., il existe dans Gp une opération Q^ P*, donc aussi l'opération

.Mais Gp est le plus grand sous-groupe commun à Gp et à G,„; donc P/, qui appartient à chacun d'eux, fait partie de Gp.. De même Gv est un sous-groupe invariant de Gqv; on en déduit immédiatement que Gp,v est un sous-groupe invariant de G^^ et par suite de Gp.

Observons encore que, comme représentantes de G^ par rapport à Gjx et de Gev par rapport à Gv, on peut prendre respectivement les opérations

i{ti

D'après cela, étant donnés deux groupes G,„, G„ et deux de leurs sous-groupes respectifs Gp., Gv, cherchons à construire deux sous-groupes Gp.', GV' de Gm, Gn, admettant respectivement Gp. et Gv comme sous-groupes invariants, et dont les ordres soient proportionnels à pi et v.

Posons u,' = 8jjl, v' = Ov et choisissons un système de représentantes de Gqjj. relativement à Gp., soit 1, Pp., P2p., . . . , t*(6— »)jxt et un gy&tème de représentantes de Gqv, soit i, Qv, Q2v> • • .? Q(6-»)v Avec ces éléments nous pourrons construire un sous-groupe intermédiaire de Gmn- Il est clair que si, laissant fixe par exemple l'ordre des premières représentantes, nous faisons varier celui des

(') Il serait représenté sur la figure par un carré de dimensions 6 dont un sommet coïncide avec le sommet supérieur de gauche du rectangle principal.

l6 PREMIERE PARTIE. — GROUPES POLYEDRIQUES ET MODULAIRES.

secondes, nous obtiendrons en général des sous-groupes intermédiaires différents.

15. Tout groupe contient au moins deux sous-groupes invariants: le groupe lui-même et le groupe formé de la seule substitution identique. Si un groupe ne contient pas d'autres sous-groupes invariants que les deux précédents, il est dit simple; dans le cas contraire, le groupe est dit composé.

Tout groupe fini dont V ordre est un nombre premier est un groupe simple (voir n° 9).

Un groupe est dit transitif relativement à une classe déterminée de quantités, si, étant données deux quantités quelconques de cette classe, il existe toujours dans le groupe une opération permettant de passer de l'une quelconque de ces deux quantités à l'autre. Dans le cas contraire, le groupe est dit intransitif.

16. Soient deux groupes G et G'; si l'on peut établir entre eux une correspondance telle qu'à chaque opération de G corresponde dans G' une opération, et une seule, et que, au produit de deux opérations de G, corresponde le produit des deux opérations correspondantes de G', on dit que les deux groupes sont isomorphes. L'isomorphisme est dit holoédrique quand, à des opérations différentes de G, correspondent toujours des opérations différentes de G'; il est dit mériédrique dans le cas contraire.

Deux groupes holoédriquement isomorphes sont identiques entre eux au point de vue formel et ne peuvent différer que par la nature de6 opérations qui les constituent. Si les deux groupes sont finis, ils ont le même ordre.

Soient G et G' deux groupes isomorphes; je dis qu'à l'identité clans G correspond l'identité dans G'. Supposons, en effet, qu'à l'opération i de G corresponde dans G' une opération Q différente de i ; alors, P et P' étant deux opérations correspondantes de G et G', à i . P = P dans G correspondrait dans G' l'opération QP', qui est différente de P'. Maintenant, si l'isomorphisme est mériédrique, il y aura plusieurs opérations de G correspondant dans G' à l'identité. De telles opérations forment un groupe, car, si à P et Q correspond dans G' l'opération i , cette même opération correspondra

encore dans G' à l'opération PQ de G. De plus ce groupe, que nous représentons par G0, est un sous-groupe invariant de G (' ). En effet, si P est une opération de G0 et Q' l'opération de G' correspondant à P, à l'opération Q-' PQ de G correspondra dans G' l'opération

en sorte que Q-' PQ appartient aussi à G0.

11 est ensuite facile de voir que, si à l'opération R de G correspond l'opération R' de G', on obtient l'ensemble des opérations de < 1 correspondant à R' en multipliant par R les opérations de G0. D'où il suit que l'ordre de G0 est le quotient des ordres de G cl Ci'. Ce quotient est appelé degré de mériédrie. Dans le cas particulier où ce quotient est égal à 2, l'isomorphisme est dit hémiédrique.

ir/i

Substitutions linéaires.

17. Appliquons les généralités précédentes à une classe importante d'opérations : les substitutions linéaires.

On appelle substitution linéaire l'opération permettant de passer d'une valeur quelconque à une autre s' ', liée à z par une relation de la forme

st, j3, y, 3 étant des quantités réelles ou complexes, assujetties à l'unique condition

(■>,) at— Py^o.

La substitution (1) se représente quelquefois par la notation

abrégée

La quantité a8 — (ây s'appelle le déterminant de la substitution. Observons que, quel que soit c, pourvu qu'il ne soit pas nul, on

(') Il suit de là que, si G est un groupe simple, l'isomorphisme ne saurait être hémiédrique.

l8 PREMIERE PARTIE. — GROUPES POLYEDRIQUES ET MODULAIRES.

a toujours

d'où il résulte, en tenant compte de (2), qu'on peut toujours, sans altérer le sens d'une substitution, l'amener à une forme telle qu'on ait

(4) «S — Pv = I-

Nous appellerons substitution unitaire toute substitution linéaire dont le déterminant est égal à 1 ; et, sauf avertissement contraire, nous ne considérons dans la suite que des substitutions linéaires de cette espèce.

Résolvant (1) par rapport à z,

puis échangeant z' et s, on obtient

qui est l'opération inverse de (1). Donc :

L'opération inverse d'une substitution linéaire est une substitution linéaire.

Pour

4 a = 8 =s 1 , $ ss -y = o,

(1) devient z' = z, c'est-à-dire la substitution identique.

Les formules (1) et (5) montrent qu'une substitution linéaire fait correspondre à toute valeur de z une valeur de z' et une seule et réciproquement à toute valeur de s' une valeur unique de *.

Si l'on se reporte à la représentation géométrique connue des nombres complexes, on peut considérer une substitution linéaire comme une transformation biunivoque des points d'un plan en ceux d'un autre plan, ou encore, quand z et z' sont deux points d'un même plan, comme une transformation biunivoque d'un plan en lui-même.

On sait que, dans une telle transformation, les angles sont con-

SUBSTITUTIONS LINÉAIRES. ig

serves ; il en est de même, d'ailleurs, pour toutes celles de la forme

f(z) étant une fonction analytique de la variable complexe z au sens de Cauchy-Riemann.