TS
Donc le groupe correspondant à notre champ fondamental se compose de toutes les substitutions unitaires à coefficients entiers.
Pour des raisons que nous indiquerons plus loin, on le désigne sous le nom de groupe modulaire et on le représente généralement par T.
On peut considérer S et T comme les substitutions génératrices du groupe, en entendant par là que toute substitution du groupe
est un produit de puissances positives, nulles ou négatives de ces deux substitutions.
En se reportant aux développements donnés à propos des groupes finis, on pourra déterminer facilement les symboles correspondant à chacun des triangles du réseau. Disons seulement que, si P est le symbole d'un des triangles, les symboles des trois triangles adjacents seront
SP, S-iP, TP.
88. Le groupe modulaire ne comprend aucune substitution loxodromique (n° 24).
Supposons qu'on ait donné aux coefficients des signes tels que
a -+- o^o; alors une substitution du groupe modulaire sera elliptique si
a -+- 8 = o ou a-f-S = i, parabolique si
a-!- 8 = 2, hyperbolique si
Les substitutions pour lesquelles y = o sont toutes paraboliques ; en effet, dans ce cas, <x8 = i; par suite,
On peut se demander si le groupe modulaire comprend des substitutions d'ordre fini, c'est-à-dire (n° 33) des substitutions elliptiques.
Soit d'abord o. -+- o = o. On a alors (n° 33)
e= r, + a - •<« + 8j!=4j,=>1 , ja.
on a par suite une substitution d'ordre 2, dont les pôles sont
Soit maintenant a -+- o = ï . Alors
d'où une substitution d'ordre 3, ayant pour pôles
Donc :Les seules substitutions d'ordre fini du groupe modulaire sont, outre l'identité, celles pour lesquelles a -f- o = o; a + S = ± ï ; elles sont respectivement d'ordres 2 e£ 3.
Par exemple, la substitution
U = TS-i= ( '
est d'ordre 3, car a -f- 8 = ï . Son inverse ST = U2 est aussi d'ordre 3 (n(> o), ce qui donne entre S et T la relation simple
(3) STSTST = i.
Les triangles 1, U, U2 ont un sommet commun au point p.
89. Les formules (ï) et (2) appellent quelques observations. Des deux points p, q, un et un seul se trouve dans le demi-plan supérieur; supposons par exemple, ce qui est toujours permis, y >o;
alors c'est le point qui se trouve dans le demi-plan supérieur.
Cherchons quels sont ceux des points qui se trouvent dans le
champ fondamental. Puisque tous les points du champ ont une
F\ ordonnée au moins égale à —, on doit avoir y< — , ce qui donne
comme unique solution v= 1, et par suite =«-+-». D'autre
part, le seul point du champ fondamental dont l'abscisse soit un nombre entier est le point i; donc : Les pôles des substitutions d'ordre 1 du groupe modulaire sont les points homologues du point i.
Réciproquement/? étant un point homologue de i, si Q et Q' sont deux triangles ayant leur sommet en ce point, p est le pôle d'une substitution elliptique d'ordre 2 permettant de passer de Q à Q', c'est-à-dire de la substitution Q-1 Q'. Donc : Tout point homologue de i est pôle d'une substitution d'ordre 2.
On voit de même, p et p2 étant des quantités conjuguées, que un et un seul des points (2) appartient au demi-plan supérieur; par
exemple ' si y> o.
Cherchons quels sont ceux des points ' = ~ *' "*" * ■
situés dans le champ fondamental. On doit avoir tout d'abord
— - — c est-a-dire y i,
d'où nécessairement y = 1, et
a -t- p •.>. a — 1 . fë Y a 3
Mais le seul point du champ fondamental ayant pour ordonnée — est le point p ; donc a = o et par suite
rt -t- p
Z,<?5 /?d/e5 ofes substitutions d'ordre 3 </m groupe modulaire sont les points homologues du point p.
On peut démontrer comme précédemment que réciproquement tous les points homologues de p sont pôles d' une substitution d'ordre 3.
90. Cela posé, examinons les conditions d'équivalence de deux substitutions elliptiques du groupe modulaire.
Soit d'abord P une substitution d'ordre 2. Son pôle situé dans le demi-plan supérieur est un point/? homologue de 1, c'est-à-dire un nœud du réseau, où se croisent quatre triangles; soit Q le symbole d'un des deux triangles blancs; l'autre triangle blanc se déduit du premier par une rotation d'angle ic autour de /?, pôle de P, et aura pour symbole QP. D'ailleurs, une rotation d'angle autour du point /étant représentée par T, le produit TQ représente (n" 66) la même rotation que le produit QP. Ainsi
TQ = QP, d'où
P = Q~«TQ.
l3o PREMIÈRE PARTIE. — GROUPES POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES.
Donc :
Toute substitution d'ordre i. du groupe modulaire est équivalente à la substitution T.
Et par suite :
Toutes les substitutions d'ordre 2 du groupe modulaire sont équivalentes entre elles.
Soit maintenant P une substitution elliptique d'ordre 3. Son pôle placé dans le demi-plan supérieur sera un point/? homologue de p, donc un nœud du réseau autour duquel se croisent six triangles. Soit Q le symbole de l'un des trois triangles blancs situés autour de p; les deux autres triangles blancs seront QP et QP2.
D'autre part, puisque p est le transformé de p par Q, les produits UQ et U2Q représenteront les mêmes rotations que les produits QP et QP2; par conséquent, on aura Tune ou l'autre des
relations
UQ = QP, L'2Q = QP,
et, par suite,
P = Q-iTJQ ou P = Q->U2Q.
Donc : Toute substitution d'ordre 3 du groupe modulaire est équivalente ou àU ou à U2.
91. Traitons aussi le problème de l'équivalence pour les substitutions paraboliques.
Comme a + 6 = 2, toute substitution parabolique du groupe modulaire pourra s'écrire
où (3, y, o- sont des nombres entiers positifs, nuls ou négatifs, liés par la relation
(1) pY-t-a*=o.
Soit X le plus grand commun diviseur de [U, y, <r, pris avec le signe de [3; posons
P = Xp\ Y-Xv', a = Xa';
I.K GROUPE MODULAIRE ET LES SOl'S-GROl PES CORRESPONDANTS. ' l'il
on aura j >o. Soitde plus jjlIc plus grand commun diviseur dey', 3-', et posons
y' ~ lx! "' 5' = H0* !
jjl sera premier avec (3'. La relation (i) deviendra, en supprimant le facteur A2 lu.,
ÊY-+- î"*=o.
Hais, ,j étant positif ou nul, tu premier avec j3' et y" premier avec v, la relation précédente donne
r«v, y'=-ix,
d'où
(3 = Xv', -; = — X(u2, a = X ;jtv ,
eu sorte que la substitution prend la forme
