BC=IM=U

93. Passons maintenant à l'étude d'un sous-groupe très important du groupe T, que pour des raisons exposées un peu plus loin

nous désignerons par T6.

(a BN | du groupe modulaire pour

lesquelles (3 et y sont des nombres pairs. Ces substitutions forment un groupe. En effet, si nous posons

Vy 0) \y g7 Vf »•

il résulte des formules (1) (n° 20) qne, si [3, y, (3', y' sont pairs, il en est de même de fU", y".

Le sous-groupe formé des substitutions ( * ) du groupe

modulaire, pour lesquelles ^ et y sont pairs, est précisément le sous-groupe qu'on désigne par IV

Pour tontes les substitutions de T6 les éléments a et 0 sont impairs.

En effet, (3 et y étant pairs, la relation

montre que le produit aô est impair; il en est donc de même de ses deux facteurs.

Le groupe T6 ne contient aucune substitution elliptique.

Tout d'abord on ne peut avoir a -f- 8 = db i , puisque a et o sont tous deux impairs. Si a+ o était nul, on aurait, d'après (i),

al£s — i (mod 4 ), ce qui est impossible.

Il suit de là (n° 87) que les nœuds du réseau correspondant à T6 sont situés sur V axe réel.

Démontrons que T6 est un sous-groupe invariant de T.

Soient

une substitution quelconque de T6 et Q

une substitution quelconque de T. Posons

on a (n° 68)

l y." = aa'ô' — §*'*{■+■ -y^'S' — t$'f,

\ 3" = — aa' 6' -+- 3a'2 —Y?'2 -+-Sa'3'; ï"= aY'o' — j3Y'2 -h y5'2 — 8v'8'i

Comme j3, y et a — S sont pairs, $" et y" le sont également, en sorte que Q~* PQ appartient à T6.

94. Passons maintenant à la détermination du champ fondamental de T6 en suivant la marche indiquée au n° 82. Considérons les trois bitriangles S, S*"1, T, adjacents au bi triangle 1.

Par rapport à T6 aucun d'eux n'est homologue du bitriangle I ;

mais S et S-1 sont homologues entre eux, car S2 =

appartient évidemment à T6. Nous retiendrons donc pour notre champ fondamental les bitriangles 1 , S, T. Les nouveaux bitriangles adjacents respectivement à S et T sont S2, TS, ST, S 1T; le premier est homologue de 1 et le dernier de ST, en sorte que nous De garderons que TS et ST.

Fig. 28.

Les nouveaux bitriangles qui leur sont respectivement adjacents sont STS, S-,TS, S2T, TST. Le second et le quatrième sont homologues du premier ('), le troisième est homologue de T; nous ne garderons donc que STS. Des bitriangles adjacents à T, un seul est nouveau, S2TS; mais il est homologue de TS. En définitive, le champ fondamental comprend les six bitriangles (fig- ^) (!) 1, S, T, TS, ST, STS.

Fig. 29.

Le nombre des bitriangles ainsi obtenu justifie la notation r6, que nous avons adoptée pour ce sous-groupe, dont l'indice est 6.

Modifions le champ fondamental, en remplaçant le bi triangle ST par son homologue S-1 T. On obtient un nouveau champ fonda-

(') En effet, de la formule (3) ST ST ST = 1 (p. 128) on déduit

TST = S-1 TS-' = S-2. STS. S -J, et S": appartient à T6.

l36 PREMIÈRE PARTU

GROUPES POLYEDRIQUES ET MODULAIRES.

mental (fig. 29), symétrique par rapport à la droite x = - et formé des six bilriangles