Q5 = STS

on trouve immédiatement les relations suivantes :

Qt=Qî, Q* = Q.QaS-«, Q5=S*QfQ3, Q? = i, Q!=S*.

Si nous introduisons la notation ~ pour désigner l'égalité aux

Q2~Q?, Q4~QiQ3, Qs~QïQ3, Q?~i, Qf~'î on peut dire alors que le groupe des transformations en elle-même

LE GROUPE MODULAIRE ET LES SOUS-GROUPES CORRESPONDANTS. l3j

<\e la surface fermée à laquelle se ramène le champ fondamental est le suivant :

i, Qi, Qï, Qs, QiQs, Q?Q3-

C'est évidemment (n° 85) un groupe diédrique (m = 3).

On parvient au même résultat par voie intuitive en montrant comment le champ fondamental de F6 peut être ramené par déformation continue à une sphère contenant un réseau de 12 triangles (m = 3). Les figures 3o et 3i représentent une phase intermédiaire et la phase finale de cette déformation.

La ligure 3i qui est identique à la figure 20 n'est autre qu'un réseau diédrique projeté stéréographiquement sur l'équateur, en prenant l'un des nœuds comme point de vue.

95. ElVectuons sur la figure 29 les modifications permises suivante :

Fig. 3a.

Remplaçons les triangles blancs TS, S"'T par leurs homologues blancs TS~f et ST. Remplaçons de même les triangles ombrés S, SIS par leurs homologues ombrés S~', TST.

Nous obtenons ainsi rc un nouveau champ fondamental {fîg. 32) symétrique par rapport à l'axe imaginaire (<).

Cela montre que le groupe r6 peut être amplifié parla réflexion A. On peut prendre comme champ fondamental du groupe amplifié T0 une des deux moitiés en lesquelles le champ fondamental de T6 est divisé par l'axe imaginaire, par exemple celle de gauche. Ce champ n'est autre qu'un triangle à cùtés rectilignes ou circulaires, ayant ses trois angles nuls et ses sommets aux points o, — i, ce. Donc le groupe F6 a pour image un réseau Iriangulaire dans lequel

qui appartient par conséquent au type (c) du n° 76, et admet l'axe réel pour cercle de symétrie.

Les opérations génératrices de F6 sont les trois réflexions par rapport aux trois côtés du triangle (o, — i, co). Les réflexions par rapport aux deux cotés rectilignes sont

*'*= À'(*)=5 — s, z'= B'(«) =— s — ■>.. Pour trouver l'expression analytique de la troisième, utilisons les formules dun°40. Le cercle de symétrie a pour centre le point

et pour rayon -• Par suite

Prenons y= — a, d'où

a = -+- 1 , aj = -t- i, a, = o, (} = o ;

mais d'autre part o = — a, d'où 2 = — i . En sorte que la réflexion cherchée est

Or, comme chacune des substitutions de r0 est le produit d'un nombre pair de facteurs A', B', C et que