TS, S-»T

el cela aux substitutions près de rc. Son champ fondamental est donc formé de deux des six bitriangles, constituant le champ fondamental <!<• r6. L'un d'entre eux peut être choisi arbitrairement;

<juanl à l'autre, il est adjacent au premier et soumis à la condition de ne pas avoir un symbole égal à celui du premier, aux substitutions ( i ) près ; en d'autres termes, il ne doit pas être homologue du premier dans F2.

Choisissons comme premier bitriangle S~'T, c'est-à-dire Q2. Le bitriangle adjacent STS = Q5 ne lui est pas homologue dans T2, puisque aucun des produits de substitutions (i) par STS n'est égal à S" 'T. Nous pouvons donc prendre pour champ fondamental (jig. 33) de T2 l'ensemble des bitriangles S~« T = Qa et STS = Q,.

On peut prendre encore le champ formé des deux bitriangles i = Q0 et T = Q/, (Jig. 34). Ce champ étant symétrique par rapport à l'axe imaginaire, T2 est (note p. i \/\) un sous-groupe invariant de F.

Reprenons le champ représenté par la figure 33. Comme S~'T et TS sont homologues dans T2, il en est de même de S-IT et du triangle S*TS adjacent à STS le long de bc. Donc les côtés ad et cd sont homologues et aussi ab, cb.

Fig. 34.

Déformons le champ comme l'indique la figure 35, appliquons-le sur une sphère, et pour fixer les idées donnons à b et d deux positions diamétralement opposées. Alors bed, bad, bcd sont disposés suivant des méridiens et aec suivant l'équateur. Fixons le méridien bed, et étendons notre surface sur la sphère jusqu'à ce

LE GROlI'i: MODULAIRE ET LES SOUS-GROUPES CORRESPONDANTS. I|[

qu'elle la recouvre complètement; dans ces conditions bad et bcd seront confondus.

Nous aurons alors sur la sphère un réseau qui, projeté stéréographiquement, avec e pour point de vue, sera représenté par la Bgure 36.

Procédons d'une façon analogue pour les groupes T8, r3, F,.

Le groupe T3 comprend toutes les substitutions de T égales, aux substitutions près de rc, à l'une ou l'autre des deux substitutions.

Pour former son champ fondamental, partons du bitriangle 1. Les deux bitriangles adjacents sont S et T* S qui est homologue de 1 dans T3 doit être laissé de coté; au contraire nous devons garder T. On peut prendre comme troisième bitriangle S~'T qui, dans r3, n'est homologue, ni de 1, ni de T; on obtient ainsi le champ représenté par la figure 37.

Fig. 37.

Fig. 38.

Ce champ peut être modifié de façon à devenir symétrique par rapport à l'axe imaginaire : on remplacera le triangle blanc S~'T par le triangle blanc ST qui est son homologue dans r„ et par suite dans Ts.

Puisque, dans T3, ST est homologue de STS et de S-,T et que I

1 4^ PRKMIÈRE PARTIE. — GROUPES POLYÉDRIQUES ET HODULAIRB8.

est homologue de S, les côtés ab, de; bc, cd; ag, eg sont des couples respectivement homologues. Déformons le champ comme l'indiquent les figures 39 et 4o; nous obtenons un plan ou une

sphère partagés en six champs. Il n'est pas inutile d'observer que le réseau de la figure 4o n'est pas régulier; cela tient (n° 83) à ce que

F3 n'est pas un sous-groupe invariant. Ainsi, tandis que b et/ sont tous deux des nœuds de première espèce, en b et f se croisent respectivement deux et quatre triangles. De même c et g sont tous deux des nœuds de troisième espèce, où se croisent respectivement quatre et deux triangles.

Passons au grouper!,. A.u lieu des substitutions (2) nous devons considérer les substitutions

Les considérations habituelles montrent qu'on peut former le champ fondamental de Y'3 avec les bitriangles 1 , S, TS. Remplaçons ensuite le triangle ombré S et le triangle blanc TS par le triangle ombré S-1 et le triangle blanc TS-1 qui leur sont respectivement

LE GROUPE MODULAIRE ET LES SOUS-GROUPES CORRESPONDANTS. l43

homologues; on obtient {fig. 4^) un champ symétrique par rapport à l'axe imaginaire.

Fig. 42.

Enfin, pour le groupe r,, on considérera les substitutions i, STS.

Le champ fondamental {fig. 43) peut être constitué par les bitriangles 1, S, T.

Fig. 43.

Fig. 44

On le rend symétrique par rapport à l'axe imaginaire {fig. 44) en remplaçant le triangle ombré S par son homologue, le triangle ombré S-1.

En ramenant les champs fondamentaux de 1%, T"s à des surfaces fermées, on obtiendra deux figures qui, par suite de l'équivalence des trois sous-groupes r3, H,, T'31 ne différeront pas essentiellement de la figure relative à IV

97. Pour obtenir d'autres sous-groupes du groupe modulaire, nous utiliserons le principe suivant, dit principe d'existence des

soi S-GROUPES ( ' ) :

(') On pourrait établir un principe analogue pour des groupes plus généraux que le groupe modulaire; mais cela ne nous serait d'aucune utilité.

» 44 première partis. — groupes polyédriques kt modulaires.

Soient une surface fermée Cç et sur cette surface un réseau de 2 s triangles. Supposons qu'on puisse diviser les nœuds du réseau en trois espèces : ceux de première espèce où se croisent ■x ou \ triangles; ceux de deuxième espèce où se croisent i ou 6 triangles, et enfin ceux de troisième espèce où se croisent un nombre pair de triangles. Supposons de plus que les trois sommets de chaque triangle appartiennent respectivement à ces trois espèces. Il existe alors un système de sous-groupes de T d'indice s et équivalents.

Indiquons rapidement la démonstration de ce principe, laquelle résultera encore plus clairement des applications ultérieures.

Supposons les triangles de la surface Cj alternativement blancs et ombrés ; prenons l'un quelconque des triangles blancs et faisonslui correspondre le triangle blanc 1 du réseau modulaire. Établissons une correspondance analogue pour les triangles adjacents, et cela de façon que les nœuds de première, deuxième et troisième espèce correspondent respectivement aux nœuds de même espèce du réseau modulaire. Nous obtiendrons ainsi dans le plan une figure connexe Déformée de bitriangles. A chaque côté de Cs correspondra dans Dj ou un côté intérieur, ou un couple de côtés situés sur le contour. Soient /, /' un de ces couples, h le côté correspondant de Cy, b le triangle de Dy auquel appartient /, a le triangle correspondant de Cj, b' le triangle du réseau modulaire extérieur à \)SJ dont l' est un côté. Regardant comme correspondant au triangle a de Cj, non plus le triangle 6, mais le triangle b' du réseau modulaire, et procédant comme plus haut, nous pourrons construire une autre figure connexe D's composée de s bitriangles du réseau modulaire, et qu'on peut considérer également comme correspondant à Cs. En continuant de la sorte, on pourra trouver une infinité de figures du réseau modulaire, adjacentes entre elles, qui toutes pourront être considérées comme correspondantes à Cs; et, en vertu des hypothèses faites sur le nombre des triangles se croisant en chaque nœud de G,,, aucune partie du plan ne sera recouverte plus d'une fois.

Maintenant, comme on l'a vu, le champ D^ peut être pris pour champ fondamental d'un sous-groupe de T d'indice s, dont nous savons trouver les substitutions génératrices ; et Cs n'est autre

LE GROUPE MODULAIRE ET LES SOUS-GROUPES CORRESPONDANTS. l45

que la surface obtenue en déformant D^ de façon à amener la coïncidence des côtés homologues. De plus, si nous choisissons autrement le triangle de Cs. correspondant au triangle 1 du réseau modulaire, nous obtiendrons en général un champ différent de Dj, et un sous-groupe différent du sous-groupe précédent. Mais ces deux sous-groupes seront équivalents, parce que leurs champs fondamentaux peuvent être ramenés à une même surface fermée.

Ce principe permet de construire, à l'aide d'un nombre fini d'opérations, tous les sous-groupes de F, d'indice fini s donné; on forme tous les groupements connexes comprenant le bitriangle 1 et constitués par s bitriangles du réseau modulaire; on établit arbitrairement pour chacun de ces champs une correspondance entre les côtés extérieurs de la figure résultante, et on le ramène à une surface fermée, en amenant la coïncidence des côtés opposés. Si cette surface fermée satisfait aux conditions du principe d'existence, elle définit un système de sous-groupes équivalents d'indice s. 11 est bien évident que cette façon de procéder donne tous les sous-groupes d'indice s du groupe modulaire.

98. Occupons-nous en particulier du cas où le réseau tracé sur la surface fermée Cs est régulier. Soient (n° 86) 2/i{, 2«2, 2«3 les nombres de triangles se croisant aux nœuds de première, deuxième et troisième espèce, et désignons le réseau par le symbole (/*,, n-2-, n3). Pour que les conditions du principe d'existence soient satisfaites, nt doit avoir une des valeurs i ou i et /i2 une des valeurs a ou 3. Cherchons les cas les plus simples en utilisant (n° 86) la formule

en se rappelant que/» ne peut être négatif, et que s doit être mul tiple de n{, n2, ns.

Pour simplifier, écrivons /• à la place de n3.

Voici les quatre types correspondants :

f 46 PREMIÈRE PARTIE. — GROUPES POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES.

Pour Je type (i, v, r), la formule (1) donne

d'où s < 2, par suite 5=1 et p = o. Dans le cas actuel, on a le symbole unique (1, 1, 1); le réseau se compose d'un seul couple de triangles et le sous-groupe correspondant est le groupe modulaire lui-même.

Pour le second type (2, 1, r)

P ~l~s 4 ,. 2 ""' "" 4 ~" âr ' 4 '

d'où/? = o, s < 4? et? puisque s doit être multiple de n, = 2, on a ,v = 2 et enfin r = 2. Le symbole correspondant est donc (2, 1,2); le réseau est celui de la figure 35; les quatre triangles se croisent tous au point e de première espèce et au point d de troisième espèce, tandis que les deux autres se croisent en chacun des points de deuxième espèce b, d.

Le sous-groupe correspondant est donc le groupe T2, déjà étudié.

Pour le troisième type, on a

d'où p = o, s < 6 et, comme s doit être multiple de /?2 = 3, s = 3. Il en résulte /• — 3, d'où le symbole (1, 3, 3). Nous ne nous occuperons pas du groupe correspondant, qui ne présente pour nous aucun intérêt particulier : il a pour champ fondamental les bitriangles 1, S, S2.

Arrivons enfin au quatrième type. On a

" 4 3 /• 2 \'t. ïi%>

d'où (a)

■xr(p-i)

Ici il y a un nombre infini de solutions ; nous ne considérerons que les plus simples et nous désignerons par Tin le sous-groupe correspondant au réseau (2, 3, /•).

Soit d'abord p = o ; alors

\ir

on doit avoir /• < 6, et, puisque /• est un diviseur de s, le quotient -— — doit être entier. Les valeurs possibles de r sont donc 2, 3, 4, 5, auxquelles correspondent respectivement les valeurs s = 6, 12, ■>. î. 60. On obtient alors les réseaux suivants :

(2, 3, 2), c'est le réseau diédrique pour m = 3; il donne lieu, comme on l'a déjà vu, au sous-groupe r0, que nous pouvons maintenant désigner aussi par la notation r(2, ;

(2, 3, 3), c'est le réseau tétraédrique qui, d'après le principe d'existence, donne lieu à un sous-groupe invariant r(3, d'indice 12;

(2, 3, 4)? c'est le réseau octaédrique qui donne lieu à un sousgroupe invariant T[A] d'indice 24;

(2, 3, 5), c'est le réseau icosaédrique qui donne lieu à un sousgroupe invariant r[51 d'indice 60.

Supposons maintenant/? = 1 . D'après (2), r = 6, quel que soit 5, d'où le symbole (2,3,6). On peut le vérifier en prenant une partie finie quelconque du réseau (fig. 17) et la faisant correspondre à une portion du réseau modulaire de façon que les

angles ^> -> j de la première correspondent aux angles -, -, ode

la seconde.

Faisons enfin p = 2. La formule (2) devient

/• — 6 doit être diviseur de 12, d'où r=7, 8, 9, 10, 12, 18 et .s = 84, 48, 36, 3o, 24, 18 : on a donc les symboles suivants :

io),

Il est à peine besoin de rappeler que tous les symboles trouvés

l/,8 PREMIÈRE PARTIE. — GROUPES POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES.

représentent des réseaux arilhmétiquement possibles; il resterait à examiner si, dans chaque cas, il existe effectivement un réseau régulier répondant aux données, et s'il en est ainsi on pourra affirmer, en vertu du principe d'existence, qu'il existe dans T un sousgroupe correspondant.

99. Comme on vient de le voir, le réseau diédrique pour m = 3 et les autres réseaux polyédriques donnent lieu à autant de sousgroupes de T. Nous ne donnerons la construction effective du sousgroupe que pour le réseau tétraédrique, nous bornant pour les autres cas à renvoyer le lecteur à l'Ouvrage classique de Klein- Fricke.

Reprenons la figure 1 1 , où pour simplifier nous désignerons les triangles blancs non plus par les symboles qui les caractérisent,

Fig 45.

mais par des numéros d'ordre allant de 1 à 12. Fendons la sphère suivant les lignes formées de gros traits et déformons convenablement le réseau. On pourra l'amener à coïncider avec une portion du réseau modulaire, ainsi que l'indique la figure 46. Cette partie du réseau est le champ fondamental du sous-groupe invariant r,3] ou T<2 de r.

Les opérations génératrices du groupe sont celles qui transforment l'un dans l'autre les bords correspondants des coupures, c'est-à-dire, ici, celles qui changent ag, a'd, a"b, a'"c respectivement en a'" g, ad, a'b, a"c. Ce sont, comme on le voit sur la figure,

quatre substitutions paraboliques d'amplitude 3 dont les pôles sont respectivement les points oo, — i, o, + i.

Fig. 46.

Faisons dans la formule (2) du n° 91 successivement

l^ = o, ix= 1,

on obtient les quatre substitutions

100. Soit un réseau régulier (2, 3, n) de 25 triangles situé sur une surface fermée G,. Si l'on fend la surface suivant certaines lignes et qu'on la déforme ensuite convenablement, on pourra l'amener à coïncider avec un ensemble connexe D^ de 25 triangles du réseau modulaire. Le réseau modulaire est ainsi décomposé en une infinité de champs homologues de D„ dans le groupe r(rt, défini par le réseau primitif.

Puisque, en un nœud de première espèce aussi bien de Cs que du réseau modulaire se trouvent quatre triangles, à une ligne fermée de Cj, tracée autour d'un nœud de première espèce, correspondra sur le plan une ligne fermée analogue; il en est de même pour les nœuds de deuxième espèce. Au contraire, tandis que sur la surface G, en un nœud de troisième espèce se croisent

un triangles, au nœud correspondant du réseau modulaire il s'en trouve une infinité, et, par suite, à une ligne fermée de G^ entourant un nœud de troisième espèce, correspondra dans le plan une ligne ouverte allant d'un point à un de ses homologues, traversant n triangles ayant un sommet commun au nœud de troisième espèce correspondant à celui de Cs. Et puisque toute ligne fermée de G, équivaut à un ensemble de lignes fermées entourant chacune un seul nœud, on peut passer d'un point du plan à un quelconque de ses homologues dans Fin] au moyen d'une succession de mouvements analogues au précédent.

En se reportant aux développements indiqués au n° 91, on peut exprimer ce fait en disant que toute substitution de Ym est un produit de substitutions paraboliques d'amplitude n.

Or de telles substitutions sont équivalentes entre elles (n° 91), et comme d'autre part le sous-groupe Tin] est invariant, c'est-à-dire n'a d'autre équivalent que lui-même, T[tl] contient toutes les substitutions paraboliques d'amplitude n du groupe modulaire.

Le groupe T se réduit, aux substitutions près de r[B], à un groupe fini G(«, d'ordre s, qui lui est isomorphe; à la substitution identique de G|«] correspond dans T précisément le sous-groupe r[n], et à chaque sous-groupe de G[n] correspond un sous-groupe de T contenant Tin]. Le groupe G[W] peut aussi être considéré comme le groupe des transformations en elle-même de la surface C^.

101. Un sous-groupe important de T admettant à son tour T',n] comme sous-groupe est le groupe formé par toutes les substitutions

^ j de T pour lesquelles

(i) a = 8 = i, B = y = o (mod/ï);

nous le désignerons provisoirement par Tj,,}. Ces substitutions forment évidemment un groupe. En effet, de

a = 8 = i, 6 = y = o, a'=o'=i, [}'=y'=o (modn), /a SA /a' B'\ /«x'a + P'Y *'3 + &'5\ = /a' ?\ \ï 8/\y' S'/ \Yx-ho'y Y'p + 8'8/ \y" 8"/

il suit

a" = 8" = i , S" ai y es o ( mod n ).

On voit ensuite que T>lfl\ est un sous-groupe de T^'7 cela résulte (n°91)de ce que toute substitution parabolique d'amplitude n satisfait aux congruences (i), par suite appartient à Tj^j, et que chaque substitution de rjn} est un produit de substitutions paraboliques d'amplitude n.

Le sous-groupe Y\n\ est invariant.

Soient P = ( „) une substitution quelconque d-e rj„| et Q = ( , p, ) une substitution quelconque de I\ Si l'on pose

q-pq =(;:£>

les expressions de a", (3", y", Z" sont données par les formules (2) (n° 93), qu'on peut écrire en tenant compte de a'S' — [i'y' = 1 :

%" — (x — o)a'o' — (ix'y'-t- y^'o'-H 8» £" = — (a — 8)*'p'-j- Ba'2 — •$'», T"= (a — «)y'8'-^'« + Yô'2, 0"=— (a — o)a'o' -+- |Ja'y' — Y^'o'-H a.

Supposons de plus que a, (3, y, 0 satisfassent aux congruences (1); on aura

a"=o"=[, à"=Y"— ° (mod/i),

en sorte que Q l PQ appartient à F;,,;.

On peut ajouter que F;„; est aussi un sous- groupe invariant de T; en effet,

BPB =