Etant donnée une substitution linéaire non identique
on peut se demander s'il existe des valeurs de z égales aux valeurs z' qui leur correspondent.
En faisant dans (i) zf = z, on obtient
(») Y-32-H(0 — <x)z — fj = O.
Cette équation admet deux racines distinctes ou non, sauf dans le cas de la substitution identique (a=8=i, ^ = y = o); nous avons exclu ce cas exceptionnel, où (2) se réduit à une identité. Donc : Une substitution linéaire non identique laisse invariables une ou deux valeurs de z. On donne à ces valeurs de z le nom de pôles de la substitution.
19. Examinons maintenant quelques types particuliers de substitutions :
(«) z'=z->rh.
Tous les points du plan subissent un déplacement mesuré par un vecteur égal à h ; d'où le nom de translation donné à la substitution correspondante. Toute figure est transformée en une figure égale. La substitution a un seul pôle, qui est le point à l'infini du plan (*) :
(b) z'=kz.
Posons
z = p e'?, z' = p' e'Y, k = c eix ; d'où
p'= cp, <p' = cp -+- a.
( ' ) On sait que, dans la théorie des fonctions de variables complexes, on considère le plan comme ayant un seul point à l'infini.
'20 PREMIERE PARTIE. — GROUPES POLYEDRIQUES ET MODULAIRES.
On voit que le rayon vecteur de chaque point se trouve multiplié par un facteur constant, tandis que son argument esl augmenté d'une quantité constante. C'est donc une transformation par similitude ayant pour centre l'origine, suivie d'une rotation autour du même point; nous désignerons cette substitution sous le nom de torsion. Les deux pôles sont ici l'origine et le point à l'infini.
Indiquons comme cas particuliers de la torsion : la rotation et V extension, correspondant respectivement aux hypothèses c= i, a = o.
Posons
z = x -+- i y. z' = x' -f- i y' ; d'où
La dernière relation écrite laisse inaltéré le cercle de rayon un ayant pour centre l'origine et change la région intérieure à ce cercle en la région extérieure et réciproquement. D'où le nom d'inversion donné à cette substitution. Les deux pôles sont ici les points -+- i et — f.
L'équation
a(x--hy-) -f- i(bx ■+- cy ) -+- d = o
représente en général un cercle. Ce cercle se réduit à une droite si a = o.
En lui appliquant la substitution précédente, on obtient
d(x'i-{- y'*) -4- a( — bx' ■+- cy') + a = o,
équation d'un cercle, qui, pour d= o, se réduit à une droite.
Donc, en considérant la ligne droite comme un cas particulier du cercle, on peut dire que l'inversion transforme un cercle en un autre cercle.
Il est évident que cette dernière propriété appartient également aux deux autres types de substitutions considérés.
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SUBSTITUTIONS LINEAIRES. 21
S change z en
, xz -+- (â z - Y*-*-8' et S' change 5' en
de sorte que la substitution S S' change z en
on voit donc que le produit de deux substitutions linéaires est une substitution linéaire, donnée par la formule suivante :
