Déterminons les sous-groupes cycliques d'ordre

Si a est une racine primitive de p, au sens ordinaire, la substitution du groupe G^p^

engendre un groupe cyclique G„, d'ordre -■ En effet, on a

LE GROUPE MODULAIRE ET LES SOUS-GROUPES CORRESPOnDANTS. 171

avec ar ?â ± i pour /■ < P~l , tandis que

en sorte que la première puissance de R qui soit congrue à i est celle d'ordre p~ '■ On trouve (n° 26)

p ,RrP= r^^-^a-'- -ap(a''-a-'-)l

| Yo(ar— a-'-) aoa~r — £Yar I

Supposons d'abord que a|3 et yo ne sont pas tous deux nuls; pour que cette substitution soit une puissance de R, il faut que

c'est-à-dire «-' = i, ce qui est impossible pour /* <-

Donc on a nécessairement

aS = o, v8 au o, c'est-à-dire, soit

P == y = o, xo ai, soit

a = o = o, Py = — i .

Les deux substitutions correspondantes sont

La première est une puissance de R. En effet, puisque i, «, «-, . . ., ap~l est un système complet de résidus non congrus suivant /?, il existe, quel que soit a, un exposant s tel que as = a.

La seconde est une substitution d'ordre 2. Il existe - substi-

tutions de ce genre ; elles sont en nombre égal à la moitié du nombre

des valeurs distinctes non congrues à zéro, que peut prendre a.

Donc G/,, est permutable avec ses propres substitutions et

aussi avec ^ - substitutions d'ordre 2 ; c'est-à-dire en tout

avec/? — 1 substitutions.

l~2 PREMIERE PARTIE. — GROUPES POLYEDRIQUES ET MODULAIRES.

Il suit de là que le nombre des sous-groupes équivalents à ( L ,

y compris G/,j est — )J— : (p — i) ou - — ■

On peut démontrer que ces sous-groupes n'ont, deux à deux, d'autre opération commune que l'identité. Soient R,, R2 les opérations génératrices de deux des sous-groupes cycliques considérés, et soit une opération commune telle que l'on ait

R; s R$ , on pourra écrire

R'- m Rj = R71 R2 R2= R21 R', R2.

D'après cela, R2 serait permutable avec le premier des deux sous-groupes, sans lui appartenir et pour p << 5 ne serait pas d'ordre 2, ce qui est impossible (').

Le nombre total des substitutions diverses des '—1- - sous-

i iv 1 • >/?(/>t-i) P — 3 groupes est donc, outre 1 identité {—L- - x * :

Pour chacune de ces substitutions, on a, d'après la formule (1),

ar -+- a~r

ce qu'on peut écrire

aï — 1= R,

R désignant un résidu quadratique de p.

111. Déterminons maintenant les sous-groupes cycliques d'ordre

Le procédé est analogue à celui du paragraphe précédent,

avec cette différence que a est remplacé par t.

(*) Pour/? = 5 le sous-groupe Gp — \ et ses équivalents sont d'ordre 2 et par ï suite ne peuvent avoir d'autre substitution commune que l'identité.

LE GROUPE MODULAIRE ET LES SOUS-GROUPES CORRESPONDANTS. ,lj3

La substitution du groupe G^p)

engendre un sous-groupe G/(^i d'ordre — En effet, on a

et V^é ±z i pour /• < p 7~ , tandis que

En sorte que la première puissance de Rqui soit congrue à i est

celle d'ordre — Si

P~lbâ/'

on

faat' — bbt ' — ab(f — t~r) "1 |âb(t' — t -'•) aât ' — bbV J

Pour que cette substitution soit une puissance de R', il faut que l'on ait tout d'abord, en supposant que ni a, ni b ne soient nuls,

f-<-fso

ou t2r= i, ce qui est impossible pour /• -< — On doit donc

avoir soit b = o, soit a = o.

Dans le premier cas, aa = i , donc (n° 108) a est une puissance de t, soit a = t*, d'où

et alors P appartient à G/)+1> Dans le second cas, on a

bb=-i.

est alors une opération de période 2. Le nombre des opérations de

ce genre est > c'est-à-dire la moitié de celui des solutions de

la congruence bb = — I, nombre qui est précisément p -f- 1 ('). Donc G„+1 est permutable avec ses propres substitutions et aussi

avec substitutions d'ordre 2 ; en tout avec p + 1 substituai 1

tutions. Il en résulte que le nombre des sous-groupes équivalents à Cxp+t ou à G/)+1 y compris le groupe lui-même, est

Pour chacune de ces substitutions [voir formule (1)]

d'où

Mais V — t-r, différence de deux nombres conjugués, est égal au produit d'un nombre ordinaire / par s

par suite

ou plus simplement en désignant par N le non-résidu — N

a'- — i = N, formule applicable également aux substitutions de G„+1 et de ses

(') Si k est une solution de la congruence bb^ — 1, toutes ses solutions sont

k, kt, kt2, . . . , kt'\

En effet soit k' une autre solution, les congruences

kk'--i, k'k' = — 1 donnent

k k-1 = f ou k' = kf ,

équivalents, puisque (n° 108) <r a la même valeur pour les substitutions correspondantes des deux groupes G^) et G^p^

112. Puisque pour les substitutions des groupes cycliques d'ordre/?, t2 — i est congru à zéro, que c'est un résidu de p différent de zéro pour les groupes cycliques d'ordre et un nonrésidu de p pour les groupes cycliques d'ordre > les groupes

des trois espèces ne peuvent avoir d'autre substitution commune que l'identité.

Le nombre total des substitutions qu'ils contiennent est, en y comprenant l'identité,

c'est-à-dire

Ces groupes considérés dans leur ensemble contiennent donc toutes les substitutions de G^p^ et par conséquent G^p} ne contient comme groupes cycliques que ceux que nous avons trouvés et leurs sous-groupes.

La formation de ces sous-groupes ne présente aucune difficulté.

Tout d'abord p étant premier, G^, et les groupes équivalents ne contiennent aucun sous-groupe.

Pour G,__i ou un de ses équivalents, si t est un diviseur de ^ ~l,

R/ engendrera un groupe cyclique d'ordre ^-H-1, et l'on peut en dire autant de G^, et de ses équivalents.

En particulier, suivant que p=±i (mod 3) ('), c'est-à-dire suivant que le nombre P ~! ou le nombre p + ' est divisible par 3, le sous-groupe G/)=f:1 et ses équivalents contiendront chacun un

sous-groupe cyclique d'ordre 3. Le nombre des sous-groupes

(') Nous laissons de côté le cas de/? = 3, correspondant au groupe tétraédrique, dont nous avons déjà fait une étude détaillée.

cycliques d'ordre 3 de G^p^ est donc ~~ — et, puisque chaque

groupe cyclique d'ordre 3 contient deux substitutions d'ordre 3, le nombre des substitutions d'ordre 3 de G^p^ eslp(p ± i).

Considérons le cas du signe supérieur ( + ). Chaque substitution

de G;,, a la forme ( ]; pour qu'elle soit d'ordre 3 on doit

avoir

«3r = qzi (modp)

ou

«•""■-h i bh o (modp , qu'on peut écrire

(ar ± i) (a2rq= ar +- i) = o ( modp ). Et comme les facteurs ar, a7' ± i ne peuvent être congrus à zéro

a'-\-a-r = ±i (modp) ou

2i = ±l (mod/>).

De même, dans l'autre cas, pour que la substitution ( )

de G/, + 1 soit d'ordre 3, on doit avoir

t3'" = zj= (modp), d'où, comme plus haut,

f-f- t-r = ± i (modp) ou

2a = dri (modp).

Ce résultat qui s'applique égalementà la substitution corresponpante de G^^ (voir n° 108, III) s'étend immédiatement à toutes les substitutions d'ordre 3 de G^^ ; car on voit facilement qu'elles appartiennent à des sous-groupes équivalents (d'ordre 3) des sousgroupes équivalents (d'ordre p ~*~ \-

Cette relation

25=±i ( mod/>),

caractérise les substitutions d'ordre 3 de G^). En effet de

LE GROUPE MODULAIRE ET LES SOUS-GROl'PES CORRESPONDANTS. - 177

on déduit, en élevant les deux membres au cube,

a3r-h a-3r-h 3(ar-t-a-'')==±i

ou successivement

a^-H 1 ± îa^s o,

aSr = + 1.

On peut faire un raisonnement analogue dans l'autre cas.

Ainsi, par exemple, selon que l'on a p = ± i (mod 4), c'est-à-

,. . p — i p -+- 1 ri

dire suivant que ou — ■ — est pair, G/)q-i contient un sous-

groupe cyclique d'ordre 2.

Le nombre des sous-groupes cycliques d'ordre de G,^) est donc

— ; c'est aussi le nombre des substitutions d'ordre 2.

Dans le cas du signe -+-, pour que la substitution ( J

de Gp t soit d'ordre 2, on doit avoir dir = — 1, et non pas

air = -h i , car on aurait en même temps ar = «/- = dr 1, et la substitution considérée serait l'identité; ou bien on aurait encore ar H- #-r = o, c'est-à-dire <r = o.

De même dans le cas du signe — .

La relation ar-\-a~r=o caractérise bien les substitutions d'ordre 2, puisqu'on en déduit

H3. Passons à la construction des sous-groupes non cycliques de G^.

Considérons d'abord le groupe maximum admettant comme sous-groupe invariant le sous-groupe Gp déjà étudié (n" 109).

Comme on l'a vu, il est d'ordre^-— et comprend les substitutions de la forme ( ) , où 3 est arbitraire et a soumis à la

seule condition de ne pas être congru à zéro. Prenons la substitution pour laquelle (3 = o, et où a est une racine primitive de p, elle engendre un groupe cyclique Gp i (n° 110).

Le groupe Gplp-11 contienl, outre G^,, les groupes équivalents

S~rG„1Sr, qui diffèrent tous entre eux, puisque, comme il est facile

de le vérifier, Gp t et S ne sont pas permutables. Le sous-groupe G^,

les p groupes cycliques précédents d'ordre — — et leurs sousgroupes sont les seuls sous-groupes cycliques de Gl){r h. Car le

nombre des substitutions distinctes comprises dans ces groupes est

C'est précisément le nombre total des substitutions de G„,„11.

Le sous-groupe G„ (»u, par sa définition même, n'étant pas 2" permutable avec ses propres substitutions, appartient à un système

de

sous-groupes équivalents à G^^j. On dit que ces sous-groupes sont hémimétacy cliques .

Si t est un diviseur de > le sbus-groupe cyclique Gry 1

it

(n° 112) nous permettra d'obtenir, comme plus haut, un sousgroupe non cyclique G/,(/)i) de Gy.(P)- Les sous-groupes ainsi construits sont les seuls renfermant un sous-groupe cyclique d'ordre p. Pour le démontrer, il suffit de faire voir que les seuls sous-groupes de G^(P) contenant Gp sont Gp (/,,, et quelques-uns de ses sous-groupes. Soit en effet G^, un

sous-groupe de G^ différent de Gptp h1 contenant Gp, mais non

contenu dans G^, ,,,!,.

Le groupe Gç contiendra au moins une substitution

dans laquelle y =^ o et comme S appartient à Gp et par suite à Gq,

on voit que les trois substitutions

SU-8)y-'QS(l-a)r-'=Q1=//l °\

QÏ-- '

SQT

appartiennent aussi à Gq. Donc Gq contenant S et T, doit coïncider avec Gp(p).

114. Considérons maintenant le groupe des substitutions de G{L(p) permutables avec Gp,. Il comprend les substitutions

de Gp i et - autres substitutions d'ordre 2 ; ces p — 1 substitutions forment un groupe diédrique. Il existe ^— ^- - groupes

de ce genre, tous équivalents.

En partant de Gp+l, on trouve de même — -groupes dié-

driques équivalents d'ordre p -+- 1.

La recherche des sous-groupes contenus dans ces groupes diédriques ne présente aucune difficulté.

Occupons-nous seulement de ceux d'entre eux qui sont trirectangles.

Soit d'abord p = 1 (mod 4). Alors, le groupe diédrique G^.,

contient l'opération R 4 qui est d'ordre 2. De plus, le polygone

auquel se réduit le polyèdre, ayant un nombre pair de côtés,

ses axes de symétrie sont deux à deux orthogonaux, de sorte qu'il

y a — — couples d'axes de symétrie orthogonaux (axes équato-

riaux) formant chacun un trièdre trircctangle avec l'axe de rotation R (axe polaire). Les deux rotations d'angle 7:, dont les axes

sont orthogonaux et la rotation R 4 forment donc, avec l'identité, un groupe trirectangle. On obtient ainsi ^—f — groupes.

l8o PREMIÈRE PARTIE. — GROUPES POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES.

Tous ces groupes sont équivalents si ^—7-^ est impair, parce que les couples d'axes précédents se composent chacun d'une médiane et d'une diagonale du polygone; tandis que, si p—r— est pair, une moitié de ces couples comprend deux médianes, et l'autre moitié deux diagonales, en sorte que les groupes trirectangles comprennent deux systèmes de p groupes équivalents.

Le sous-groupe G/,, appartient à un système de — sous-

groupes équivalents, puisqu ilyaentout — — — - sous-groupes

trirectangles. Mais il est évident que chacune de ces figures est répétée trois fois, puisque chacun des axes peut être considéré comme un axe polaire successivement dans les trois rotations.

Il y a donc P — - sous-groupes trirectangles de Gp{p) : ils sont tous équivalents ou se partagent en deux systèmes de sousgroupes équivalents suivant que/? = 5 ou p = 1 (mod8).

Soit, au contraire, p= — 1 (mod4). Par un raisonnement analogue, on trouve que le nombre des sous- groupes trirectangles

est t — — - ou encore — — — 1 — - et qu ils forment un ou

deux systèmes de sous-groupes équivalents, suivant que p~$

ou p = 7 (mod8)

En résumé, dans tous les cas, il y a sous-groupes tri-

rectangles formant un ou deux systèmes de sous-groupes selon

que

p=±3 ou /?=±4 (mod 8).

On pourrait supposer que, dans le cas

7?=±i (mod 8),

les sous-groupes trirectangles de Gp, ou de Gp+I , bien que n'étant pas équivalents entre eux, soient cependant équivalents, lorsqu'on les considère comme sous-groupes de G^P) ; il n'en est rien. En effet,

supposons que les — '—— — - sous-groupes trirectangles soient tous

équivalents, alors chacun d'eux (n° 13) est permutable avec î-^- : r r , ■ = 12 substitutions

LE GROUPE MODULAIRE ET LES SOUS-GROUPES CORRESPONDANTS. l8l

formant un certain groupe G,2, dont le groupe trirectangle considéré G4 est un sous-groupe invariant. Supposons que G4 soit un des groupes trirectangles contenus dans le groupe cyclique Gp±t. Les substitutions de G4 seront

i, R 4 , P, PR 4 ,

P étant une certaine substitution d'ordre 2. Mais si

/>=±i (mod8), en posant

le groupe diédrique d'ordre 8

i, Y, Y2, Ys, P, PY, PYî, PY»

se compose de substitutions permutables avec G4 ; il devrait donc être contenu dans G|2, ce qui est impossible.

On a vu qu'il y a p ~ — substitutions d'ordre 2 dans G^), et

que R et, par suite, toute autre substitution de ce genre appartient à

"1" sous-groupes trirectangles. Si l'on observe que tout groupe

trirectangle contient trois substitutions d'ordre 2, le nombre total des groupes trirectangles qui en résulte

est égal au nombre de groupes déjà trouvé. Donc il n'existe pas d'autres sous-groupes trirectangles que ceux qui ont été considérés.