Nous avons dit, un peu plus haut, que, si les

sous-groupes trirectangles sont équivalents entre eux, ce quia lieu pour

/?=±3 (mod 8),

l'un de ces sous-groupes G4 est permutable avec douze substitutions. Le groupe G,2 formé par ces substitutions admet G4 comme sous-groupe invariant. Soient 1 , X,, X2, X3 les substitutions de G.,,

celles de G)2 peuvent être rangées dans Je Tableau suivant :

i, Xi, X„ X3, Zi, ZiX], Z[X2). ZjX3,

Puisque G4 est un sous-groupe invariant de G,2, on en conclut, au moyen d'un raisonnement déjà fail (n° 84), que G,2 se réduit, aux substitutions de G4 près, à un groupe G3 d'ordre 3, nécessairement cyclique. Soit ~ le symbole d'une congruenceaux substitutions près de G4, on aura

c'est-à-dire

Zf s 1 ou

d'où, dans tous les cas,

G, 2 contient donc une substitution ZJ d'ordre 3. Posons

Z* = Z3, zi = z;.

On pourra remplacer le Tableau précédent contenant les substitutions de G12 par le suivant

t, Xi, X2, X3, Z35 Z3Xt, Z3X2, Z3X3,

On a

(Z,X,)»~i, (Z»X,)*~i, (Z3XJ)2~Z4, d'où

(Z3X03^i ou (Z3X1)3=X/t.

Donc, dans tous les cas,