Si

p=±.i (mod 8),

un groupe trirectangle G4 appartient à un système de - %

sous-groupes équivalents et, par suite, est permutable avec

*~i£ : /o = 24 substitutions,

formant un groupe G2i qui admet G* comme sous-groupe invariant.

Soient

i, X|SR4, X2, X3

les substitutions de G4 ; on sait que

X1XS=X,;

de plus, comme on l'a observé (n° 114), les substitutions permutables avec G4

i, Y,, Y2, Y„ X2, Y,X2, Y?X2=X3, Y-1X2 = Y,X3, où

Y1==X*sR \

forment un groupe diédrique G8 dontG^ est un sous-groupe inva-

riant. Puisque G8 est sous-groupe de G24, on trouve, en suivant la marche habituelle, que G24 doit contenir une substitution Z d'ordre 3 qui, combinée avec G4, donne un sous-groupe tétraédrique G)2 de G24. Or, G2,, renferme deux autres sous-groupes analogues à G8 et qu'on peut construire en prenant, au lieu de Y,,

Y2^Xf ou Y3^Xf, il contient donc les neuf substitutions suivantes d'ordre •>.

A], A-2, A.3, YjA^; *|X.3, Y2X15 Y2X.3, Y3X1, Y3 Xj.

D'autre part, si Z; (7 = i , 2, 3, ..., 8) sont les huit substitutions d'ordre 3 de G,2, il est impossible que les ordres des produits Z/Y^1 soient tous différents de 2, car alors il resterait au plus sept substitutions d'ordre 2, tandis que nous savons, d'autre part, qu'il y en a neuf. Indiquons par

Z,<YTi = W

un des produils considérés d'ordre 2, d'où