Z/, = WY

Les relations

¥|ai, W* = i, (WY,)>si

montrent que G2l coïncide avec G ,j et est, par suite, un groupe octaédrique.

Il y a " groupes octaédriques, se partageant en deux

systèmes de sous-groupes équivalents, et ce sont les seuls sousgroupes octaédriques.

Les sous-groupes hémimétacycliques, diédriques, télraédriques et octaédriques trouvés ne conduisent pas à des sous-groupes plus amples, puisqu'ils ne sont permutables qu'avec leurs propres substitutions.

117. Voyons maintenant si le groupe G,l(/J) admet des sousgroupes icosaédriques.

Pour p = 5, G^p) est le groupe icosaédrique lui-même ;

soit donc p > 5. Dans ces conditions, il faut que soit

LE GROUPE MODULAIRE ET LES SOUS-GROUPES CORRESPONDANTS. l85

un mulliple de 5, d'où

p =± i (mod 10).

Soit d'abord

/>== i (mod 10).

Mors G,, contient quatre substitutions d'ordre 5

De plus, on peut trouver dans G^^ une substitution Z d'ordre 2 telle que ZH soit d'ordre 3. En effet, posons

nous aurons

%t« PW«r o \ /«T par

\Y 8/ \ o arj \ya~r or' Or Z étant d'ordre 2, et ZH d'ordre 3, on aura (n° 112)

a -t- 8 = o, aaf+ oa r= 1 (mod/)) (a), d'où

ct(ar— a -r) = i {modp),

relation qui détermine a, car si l'on avait ar — or-^BBO,

la substitution H se réduirait à l'identité. On a ensuite

Py = — H- ao = — 1 — a2 (mod/)), d'où

Py(«'"— «"r)2= — (ar — a-r)«-r- a» (a' — a-')* = — (a'1— « ')»— I = — [a2r-H ar**— ij.

Cette dernière expression ne peut être congrue à zéro, sinon on aurait

air-^- air= 1 (mod/)),

et alors ( n° 112) H2 serait d'ordre 3.

(') Il est inulile d'écrire dr 1 dans le second membre, puisque nous pouvons prendre arbitrairement le signe de a.

l86 PREMIÈRE PARTIE. — GROUPES POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES.

Nous obtenons ainsi pour chaque valeur arbitraire de [3 non divisible par/», une valeur correspondante de y, d'où la possibilité de déterminer/? — i substitutions Z, telles que

Z»SSI, (ZH)'»=I.

Ces relations, jointes àH5=i, montrent (n° 104) que le sousgroupe de Gp(P) engendré par les substitutions H et Z coïncide avec G(51, c'est donc un groupe icosaédrique.

Puisque Gp^t contient quatre substitutions d'ordre 5, et que,

pour chacune d'elles, on peut déterminer p — i substitutions d'ordre 2, on obtient 4(p — i) sous-groupes icosaédriques; et, en

tenant compte de ce que Gp t appartient à un système de — - — -

sous-groupes équivalents, on conclut que le nombre total des

sous-groupes icosaédriques de G^p) est 4(p — l)^~ ou

On arrive à la même conclusion dans le cas de

p == — i (mod 10).

D'ailleurs ces sous-groupes ne sont pas tous différents. Le nombre des sous-groupes distincts s'obtient en divisant 2/> (p2 — i) par le nombre de couples de substitutions analogues à Z, H contenues dans le groupe icosaédrique. Proposons-nous de déterminer ce nombre.

Soient S la substitution modulaire qui, considérée comme appartenant au groupe icosaédrique G(3J = G60 est d'ordre 5, et

une substitution d'ordre i du groupe icosaédrique précédent telle que ZS soit d'ordre 3.

Puisque

on doit avoir (n° 112)

a -+- 8 == o, a -+- y -+- o === i (mod5) ('),

ZS

(') Voir la note de la page i85.

et en tenant compte de

ao — (Sy == 1 (mod 5), il \ient

0= — a, y — 1' P= — i = a2 (mod 5),

en sorte que a peut prendre ici cinq valeurs différentes; mais une fois fixée la valeur de a, jii et y sont déterminés, et y est toujours congru à i.

Donc à la substitution S correspondent cinq substitutions Z, et l'on peut en dire autant de chacune des substitutions d'ordre 5 appartenant à CCo. Le nombre cherché est donc

et le nombre des sous-groupes icosaédriques distincts de G^/p) est

Comme nous le verrons plus loin, G^p) n'admet aucun sousgroupe comprenant un sous-groupe icosaédrique. Il suit de là qu'un sous-groupe icosaédrique de G^P) n'est permutable qu'avec ses propres substitutions et appartient par conséquent à un système de

Kp»-Q . 6o = p(p*-i) 2 120

sous-groupes équivalents.

Donc les — 1— sous-groupes icosaédriques se partagent en

deux systèmes de — sous-groupes équivalents, que nous désignerons par les notations abrégées A et B.

Puisque G,*^ admet p sous-groupes icosaédriques et

/ sous-groupes tétraédriques, que de plus (n°67) chaque

groupe icosaédrique comprend cinq sous-groupes tétraédriques,

il y a

sous-groupes icosaédriques admettant un même sous-groupe tétraédrique.

l88 PREMIERE PARTIE. — GROUPES POLYEDRIQUES ET MODULAIRES.

Rappelons, aussi, que les cinq sous-groupes" tétraédriques

sous-

d'un groupe icosaédrique sont équivalents, que les

groupes tétraédriques de Gy.(P) sont tous équivalents ou bien se partagent en deux systèmes de sous-groupes équivalents, suivant que

/>=±3 ou />=±i (mod8).

On voit alors que, dans le premier cas (/? = ±3), tous les^ p — sous-groupes tétraédriques devront figurer dans les deux systèmes A et B, tandis que, dans le second cas (p = ± i), — - figu-

reront dans le système A et les p . ~ autres dans le système B.

Donc les deux sous-groupes icosaédriques qui contiennent un même sous-groupe tétraédrique ne sont pas équivalents si/? = ± 3, et le sont au contraire si p = db i (mod8).

118. Démontrons maintenant que Gnp) n'admet pas d'autres sous-groupes que les sous-groupes trouvés précédemment.

On a déjà déterminé complètement (n° 113) les sous-groupes contenant un groupe cyclique d'ordre /?; on peut donc se borner aux sous-groupes G^, ne renfermant aucun groupe cyclique d'ordre />, de sorte que q devra être un diviseur

de

Or, les seuls sous-groupes cycliques, dont l'ordre soit différent de p, sont d'ordre égal à^ ""*"" ' ou à un diviseur d'un de

ces deux nombres. Si donc on désigne par G;.( un sous-groupe cyclique de Gq qui ne soit contenu dans aucun autre sous-groupe

cyclique de Gq, rt sera un diviseur de — — ou de - et G,, sera le

plus grand sous-groupe commun à Gq et à Gp7fi. Les substitutions de G,.( permutables avec G„j comprennent, comme on l'a vu, celles

du groupe lui-même et "*" autres< substitutions d'ordre deux, obtenues en multipliant l'une d'elles par les substitutions de G^.

Donc, suivant que Gq contient ou non une substitution de ce genre, permutable avec Gri, il y aura irK ou /-, substitutions de Gq per-

U GROUPE MODULAIRE ET LES SOUS-GROLPES CORRKSPONDANTS. 189

mutables avec G,v Indiquons en général par a-, /•, le nombre de telles substitutions, a- pouvant prendre les valeurs i et 2 ; G,, appartient à un système de -*— sous-groupes équivalents qui, dans leur

ensemble, contiennent, outre l'identité, — ■ — substitutions

distinctes.

Si G^ contient encore d'autres substitutions, cherchons dans l'ensemble de ces substitutions (auxquelles nous adjoindrons l'unité) un sous-groupe Grj analogue à Gri, et poursuivons cette recherche jusqu'à ce que nous ayons considéré toutes les substitutions de Gq. INous aurons ainsi décomposé G^ en plusieurs systèmes de sous-groupes équivalents respectivement à G,., G,.s, ..., G,., et nous en conclurons

/= 1 c'est-à-dire

(rj—\)q 3M

Nous avons, d'autre part, la relation évidente

(2) qà*tn (* = i, 2, •-., X),

car Gq devant contenir 07/7 substitutions permutables avec Gn, ne peut être d'ordre inférieur à 07/',.

On obtient enfin une troisième relation de la façon suivante. Soient G/v>, G,.,,, des groupes d'ordre impair, X^, X* leurs substitutions génératrices. Les sous-groupes

Xï'GrjXfc (* = o, 1, a, ..., rà—i)

sont tous distincts. En effet, G,.h n'est permutable qu'avec ses propres substitutions, et avec des substitutions d'ordre pair. Or X*, appartenant à un groupe Grk d'ordre impair, ne peut être d'ordre pair.

De même, les sous-groupes

Xî'GrjXJ

sont tous distincts et ils n'ont évidemment aucun élément commun

avec les sous-groupes précédents. Or les premiers sous-groupes contiennent, outre l'identité, /'* (r/j — i) substitutions, et les seconds en contiennent r/i(rk — i). On a donc pour chaque couple de nombres impairs r/,, /•*

f =M H" /V,(/7i— i) + r,t(rA — i), c'est-à-dire

(3) 0 la /•/*/•*— >/* — r*-+-i.

119. L'étude des relations (i), (2), (3) va nous conduire au résultat cherché.

Tout d'abord, les coefficients 07 étant égaux à 1 ou à 2, on a

et comme dans le second nombre de (1) le dénominateur doit être positif, on a \^ 3, d'où trois cas à examiner : \ = 1, \ = 2, \= 3, Soit d'abord X==i. Les relations (1) et (2) deviennent

et, par conséquent,

<*i ''i — r§ -+- 1 £ 1 ou bien

(ffl— i)/'i^o,

d'où

(Jj — 1^0

et, par suite,

Soit maintenant \ = 2. La relation (1) donne

g==, n-l rt=I-

Pour a, = a2 = 2,

# sa = < 2 /'i = aj /-, ,

/'i — 1 i\— 1 rt-h r2

relation en contradiction avec l'inégalité (2).

LE GROUPE MODULAIRE ET LES SOLS-GROUPES CORRESPONDANTS. , igi Pour T, == 2, <T2= ' 5

ce qui exige qu'on ait

Puisque r, >• 1 , on doit avoir /*2<!4) d'où r%= 2 ou ra==3'. Si ra= 2, /% peut prendre une valeur quelconque, et il en résulte que q = a/v Si r2= 3, on a nécessairement r4 = 2, d'où </ = 12.

Dans les deux cas, l'inégalité (2) est satisfaite.

Quant à l'inégalité (3), il n'y a pas lieu de s'en servir puisque l'une des quantités/' est paire.

Enfin, pour <j, = <ra = 1 ,

d'où nécessairement

ce qui est impossible, puisque /*, et r2 sont au moins égaux à 2. Soit enfin \ — 3 ; alors

Pour (7, = <T2 = <T3 = 2,

rt— 1 __ /-3 — 1 L ^ L J

c'est-à-dire

rj /-2 r, q

C'est la relation (2) du paragraphe 37, où n est remplacé par q:

et dont on a déterminé les solutions qui sont les suivantes :

/-, = 2, ri=2, r3 quelconque, q = -zr3,

rt=i, r2=3, r3=3, q = \i,