SS
Si l'on échange S et S' on aura
/a' p'\ /« |3\ /aa'-+- 3v' a[3'+ p8'\ \Y' 87 \Y 8j"V^'-+-V T^'+SS'.j
On voit qu'en général SS' et S' S sont deux opérations différentes.
21. Toute substitution linéaire peut être mise sous la forme d' un produit de translations, de torsions et d'inversions.
En effet, en tenant compte des relations (3) et (4) du numéro 17, on vérifie facilement que
Y V \° Y/ \i ° / \° YV \° t)
Des quatre substitutions qui figurent dans le second membre, la première et la dernière sont des translations, la deuxième est une inversion et la troisième une torsion. D'où il suit (n° 19), la ligne droite étant toujours considérée comme un cas particulier du cercle, que :
Toute substitution linéaire change un cercle en un autre cercle.
22. Étant donnés deux triangles ayant leurs côtés formés de segments de droites ou d 'arcs de cercle et leurs angles respectivement égaux, il existe une substitution linéaire, les transformant l'un dans l'autre (').
Soient les triangles ABC, A, B, C( , dont les angles de même nom sont égaux. Supposons d'abord les côtés AB et AG rectilignes. Une translation T amènera le point A au point A(, puis une rotation R fera coïncider les côtés AB et A, B,, et, à cause de l'égalité des angles, le côté AC coïncidera avec le côté A, G,.
Dans cette nouvelle position les figures ABC, A,B)C, seront homothétiques, et, au moyen d'une extension H, on pourra changer ABC en A|B,C|. Donc, dans le cas considéré, ABC se transformera en A, B, C, par la substitution linéaire TRH.
Supposons maintenant que AB et AC ne soient pas tous deux rectilignes; appelons D le second point d'intersection des deux cercles ou du cercle de la droite, auxquels AB et AG appartiennent. Toute substitution S, pour laquelle D devient le point à l'infini, changera ABC en un triangle A'B'C' ayant les côtés A'B' et A'C rectilignes.
Soit S, la substitution analogue à S, transformant A,B,C| en A', B', G', . Alors, moyennant une substitution TRH, A'B'C' se transformera en A', B'( C(', et l'on pourra passer de ABC à A, B, C{ par la substitution
STRHSt1.
23. Soit I ) une substitution linéaire ayant deux pôles distincts p et q. Ils ont pour expression
P \ a — 5±y/(« — S )» -4- 4 Sy a-S±v/(a + Sii-j q \ ~~ »Y 2T
Comme p et q satisfont à l'équation (2) (n° 18), on aura
d'où successivement
(') Le lecteur est prié de faire la figure.
SUBSTITUTIONS LINÉAIRES. a3
et
? ^z H- S " Y2-4-8 ys-l-S
et enfin
Calculons la valeur de 6 :
■V((p-+-q)-h^pq
Mais
Par suite
a2 — aY(i° "+" 9) "t" YV(7 = a^ "
-ft-i.
d'où
Cette expression de 6 montre que le genre d'une substitution unitaire dépend uniquement de la somme de ses coefficients extrêmes.
La substitution (1) a reçu des dénominations diverses, suivant la valeur de 9.
Si | G | = 1 , on dit que la substitution est elliptique; si 6 est réel et positif, la substitution est hyperbolique; dans tous les autres cas, elle est loxodromique.
24. Si a + S est réel, la substitution ne peut être loxodromique.
Soit d'abord
alors 8 est réel et la substitution est hyperbolique.
( l ) Si y = o, un des pôles, q par exemple, est à l'infini et la substitution prend la forme plus simple
z' — p = b(z— p) avec 6 = a3.
Soit au contraire
|on-8|<2 (»).
Posons
a + 8 = 2£ (j*|<i); on a
o = (/f tyr^)2.
Mais
alors | 6 | = i et la substitution est elliptique.
Une substitution loxodromique est le produit d'une substitution elliptique et d'une substitution hyperbolique.
En effet, si 8 = ce'a, la substitution
est le produit des deux substitutions suivantes, prises dans un ordre quelconque,
dont la première est elliptique, et la seconde hyperbolique.
25. Soit maintenant ( „ ) une substitution linéaire dont les \g Y/ deux pôles coïncident. La condition pour qu'il en soit ainsi est
L'unique pôle r est
avec
On a de plus (n° 23)
— r{tx — fr) = p —
d'où
(a — yr) (-—/•)
y (s — '")•+■ Yr "+" °
y(> — r)-+-a- yr
( ' ) Si a ~f- ô est réel, on ne peut avoir | a -+- ô | = 2, car il en résulterait (a + S)2= 4 et les deux pôles ne seraient pas distincts.
qu'on peut écrire
1) avant pour valeur
? aJL=±T a — y /• a -f- y
Les substitutions à pôle unique sont dites paraboliques.
26. Z,<z transformée d'une substitution par une autre est de même espèce que la substitution primitive. Soient
deux substitutions quelconques. Comme (n° 17)
on a (n° 20)
Q-tp= (*d~$c -oeb + pa \yd — oc — yè + ôa et, par suite,
/xad — fiac-hybd — obe — %ab -+- [3 a2 — Y^ï-,~8a6 \acrf — (E c2 -h ydz — 8 ca" — a 6c -4- J3 «c — y 6t/ -4- ô arf / '
en sorte que, si l'on pose
Q-i PQ = P
a' = aarf — ^ac-^-ybd — 86c,
S' = — aa6-i-3#2 — y62 -r-8a6,
' y ' = *cd — (3 c2 -h y d2 — o cd,
8' = — a 6c -f- (3 ac — y ^ "+" 8 #^- En tenant compte de ad — bc = i , on obtient
relation qui établit le théorème.
