Voyons quelle est la signification de ces solutions

La solution (a) représente évidemment des groupes cycliques.

Les solutions (b) el(d) représentent des groupes diédriques, la

première pour - impair, la seconde pour y- pair. En effet, dans le

premier cas, les sous-groupes du second ordre sont tous équivalents, et chacun d'eux n'est permutable qu'avec ses propres substitutions (?2= 1). Dans le second cas, ils se partagent en deux systèmes de sous-groupes équivalents ( ' ) ; chacun d'eux est permutable avec ses propres substitutions et avec deux autres (0-2= 2, t3:= 2); correspondant respectivement aux deux rotations d'ordre 2 autour de l'axe polaire et de l'axe équatorial perpendiculaire à l'axe de la rotation non nulle de ce sous-groupe.

La solution (c) représente un groupe tétraédrique. En effet, le groupe correspondant contient un sous-groupe d'ordre 3 permutable avec ses propres substitutions (r2= 3, <r2= 1) et appartenant par

conséquent à un système de -»- = 4 sous-groupes équivalents. Ces

sous-groupes contiennent en tout huit substitutions d'ordre 3. Les trois substitutions restantes (outre l'identité) sont d'ordre 2 (/•, = 2) et permutables entre elles (c, = 2 ) ; elles forment donc avec l'identité un groupe trirectangle qui, étant unique, est nécessairement invariant. Il suit de là [cf. n° Ho) que le groupe considéré est tétraédrique.

La solution (e) représente un groupe octaédrique. En effet, le

(') Ces sous-groupes se composent de la rotation nulle et d'une rotation 7: autour d'un axe. Ces axes sont tous situés dans le plan équatorial du dièdre. V. i3

groupe correspondant contient tout d'abord -2- = 3 sous-groupes

cycliques d'ordre 4 équivalents G4, G',, G^. Soient Y, Y', Y" leurs substitutions génératrices, on a

y-ig'4y = g;, y-ig;y = g;

et aussi

y-ig'4y = g;, y-ig'(y=g;.

Donc, dans tous les cas,

et, puisqu'une substitution et sa transformée sont du même ordre Y-2Y'2Y2=Y'* y~2Y"2Y2=Y"2

on aura de même

Le groupe contient donc trois substitutions d'ordre 2, permutables entre elles, Y2, Y'2, Y"2 qui, avec l'identité, forment un sous-groupe trirectangle. De plus, comme les sous-groupes G/(, G^, G^ forment un système complet de sous-groupes équivalents, les substitutions Y2, Y'2, Y"2 sont équivalentes entre elles et le sous-groupe trirectangle auquel elles appartiennent est invariant. Il résulte de là {cf. n° 116) que le groupe considéré est octaédrique.

Enfin, la solution (/) représente un groupe icosaédrique.

Le groupe GCo, défini par /, contient — — = 1 5 groupes G2 équivalents (a-, ss 2, r{ = 2), -%— = 10 groupes G3 équivalents (<r2=2, /-2=3), et -2-- =6 groupes G5 équivalents (t3=2, r3= 5).

Soient X,, X2, . . ., X,5 les quinze substitutions d'ordre 2, et soit \ une substitution d'ordre 3. Considérons un des produits X,Y, et supposons d'abord qu'il représente une substitution d'ordre 2. Posons

d'où

LE GROUPE MODULAIRE KT LES SOUS-GROUPES CORRESPONDANTS. ig5

Les trois relations

XgJi, XJ-i, (X,XA)*«i

montrent (n° 104) que les Xj et X^ ou, ce qui revient au même, les X/ et Y engendrent un groupe diédrique G0 d'ordre 6. Or, o-., étant égal à 2, chaque sous-groupe G3 est lui-même sous-groupe invariant d'un sous-groupe diédrique G6 de G00, et par conséquent Geo renferme dix sous-groupes diédriques d'ordre 6.

Parmi les substitutions de ces derniers sous-groupes pris dans leur ensemble figurent vingt substitutions d'ordre 3, et comme dans le groupe G00 il y a précisément vingt substitutions d'ordre 3, on en conclut que chacune de ces substitutions figure dans un seul des groupes Gc. D'autre part, chacun des G0 contient trois substitutions d'ordre 2; donc, à chaque substitution Y d'ordre 3 correspondent trois produits Xt-Y d'ordre 2.

Supposons au contraire X,Y d'ordre 3, alors

les Y, X, engendrent (n° 104) un groupe tétraédrique. Puisque chaque groupe G2 est permutable avec deux autres substitutions d'ordre 2 (<7, = 1), les i5 groupes G2 se partagent en 5 systèmes de 3 substitutions, les substitutions de chaque système étant permutables entre elles. Nous aurons donc 5 groupes trirectangles, et, par suite, 5 groupes tétraédriques. Ces derniers comprennent en tout 4° substitutions d'ordre 3, et, puisque les substitutions de cet ordre sont au nombre de 20, chacune d'elles figurera dans deux groupes tétraédriques. D'autre part, chaque groupe tétraédrique contient 3 opérations d'ordre 2; donc à chaque substitution Y d'ordre 3 correspondent 6 produits XtY d'ordre 3.

Les 6 produits restants XtY seront nécessairement d'ordre 5. Soit Z l'un d'eux, on a

Z==X,Y, Y = X71Z = XJZ,

et les relations

Zs=i, X? = i, (X*Z)»aBi

montrent que les substitutions Z, X/, ou bien encore X/, Y engendrent un groupe icosaédrique.

Donc notre groupe G00 contient un sous-groupe icosaédrique; or, tout groupe icosaédrique étant d'ordre 60, G60 est lui-même un groupe icosaédrique.

On voit donc bien que G^p^ n'admet pas d'autres sous-groupes que les sous-groupes cycliques, hémimétacycliques, diédriques, octaédriques et icosaédriques.

Et comme chacun des sous-groupes trouvés est invariant, on en conclut encore que, si p est un nombre premier, Onp) est un groupe simple.