DEUXIEME PARTIE

Formes et fonctions polyédriques et modulaires.

121. On dit qu'une forme algébrique binaire est invariante pour une substitution linéaire, si la substitution a pour effet de laisser la forme inaltérée ou de la multiplier par un facteur constant. Dans le premier cas, on dit aussi que la forme est absolument invariante.

On dit qu'une forme est invariante dans un groupe de substitutions linéaires et homogènes, si elle est invariante pour toutes les substitutions de ce groupe.

11 est évident qu'une forme est invariante pour une substitution, si cette substitution a pour effet de ne rien changer aux racines de la forme ou de les échanger entre elles, et ce sont les deux seuls cas possibles. Il suit de là qu'une forme n'est invariante dans un groupe fini de substitutions homogènes d'2in que si elle admet pour racines un ou plusieurs systèmes de points homologues relativement au groupe correspondant Gn de substitutions non homogènes.

On appelle formes invariantes fondamentales relatives à un groupe homogène G'2n ou au groupe non homogène correspondant G„, celles dont les racines constituent un système unique de points homologues. Toute forme invariante est un produit de formes fondamentales. Les formes fondamentales au nombre de deux pour les groupes cycliques, de trois pour les groupes polyédriques, sont de degré n (n° 80). Ce sont des puissances d'ordre v<

des formes de degré -, dont les racines sont des nœuds du réseau,

et on les désigne spécialement sous le nom de formes fondamentales simples.

Pour construire le type le plus général des formes fondamentales correspondant à chaque groupe fini, nous utiliserons la remarque suivante :

Une forme fondamentale est tout à fait déterminée, si l'on se donne une de ses racines, par suite l'expression la plus générale d'une forme fondamentale contient un seul paramètre arbitraire.

Nous construirons donc pour chaque groupe les formes fondamentales simples, nous en déduirons une forme invariante de degré n contenant un paramètre arbitraire, et nous aurons ainsi la forme fondamentale la plus générale invariante dans le groupe considéré.

122. L'application des considérations précédentes aux groupes cycliques est immédiate.

11 y a, dans ce cas, deux systèmes de nœuds formés chacun d'un seul nœud d'ordre n et situés respectivement à l'origine et au

point à l'infini. En désignant par (zt, z2) le point—, ces nœuds

zï sont représentés par (i, o) (o, i). Donc les deux formes simples sont

Soient <ï>|, F; les mêmes formes où zit z2 ont été remplacés

par z\, z'2

*', = Ff = z'(l , *', = F'^ = z'l\

Appliquant les substitutions (n° 71)

hizi /nzi

z\ — e " zt, z\ = e " zt (h = o, I, 2, . . ., m — i), du groupe cyclique homogène, nous trouvons

Posant ensuite (0 F = XiF'f-+-X,F?,

on aura, quel que soitr->

Donc (1) qui est une forme invariante contenant un seul paramètre représente la forme fondamentale la plus générale pour le groupe cyclique considéré.

123. Avant de passer aux groupes polyédriques, développons quelques considérations préliminaires.

Etant donné un groupe polyédrique, les nœuds du réseau correspondant se partagent en trois systèmes de points homologues, auxquels correspondent respectivement trois formes simples F^*,

F^2, F**; F,, F2, F3 désignant des formes de degrés — ,—,—. Si,

comme cela a lieu effectivement dans tous les cas que nous rencontrerons, une substitution du groupe a pour effet de multiplier chacune de ces trois formes par le même facteur, l'expression

F = X1FV + X,F^-hX3F^

sera une forme invariante fondamentale, quelles que soient les valeurs de A,, À2, ^3- Mais la forme fondamentale la plus générale contenant un seul paramètre, les fonctions F*1, F**, F,' ne peuvent être linéairement indépendantes, c'est-à-dire qu'il doit exister entre elles une relation linéaire et homogène à coefficients constants

(i ) (x, F'{' 4- [jl2 PJ -4- î*3 V'i3 = °-

En tenant compte de cette relation, F se réduit à

F = i- [(Xlfi8-X,jx1)F1-+-(X,fi»--X,fAS)P,]»X'1Ft-i-X'tFt>

et dans cette expression figure un seul paramètre.

Nous construirons pour chaque groupe polyédrique les formes F, , F2, F3 ; nous établirons la relation (i) correspondante et nous trouverons que dans tous les cas une des trois formes est le déterminant fonctionnel des deux autres.