Les nœuds du réseau diédrique (n = ini) sont les m som

200 DEUXIÈME PARTIIC. — FONCTIONS POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES.

mets du polygone équatorial, les m points milieux des arcs soustendus par les côtés et les deux pôles. Puisque les sommets du polygone divisent l'équateur en m parties égales. Puisque le polygone régulier a m côtés et que l'un des sommets est situé au point z = i , les valeurs de z correspondantes seront les racines de l'équation

binôme

Le second ensemble de points divise aussi l'équateur en m parlies égales, et comme l'un d'eux est z = <?'", les m valeurs de z correspondantes sont racines de l'équation

En coordonnées homogènes, les deux équations deviennent

Z'(! z'.!l—0, Z'{' -h Z'.il = O.

De plus l'équation dont les racines sont les deux pôles de la sphère est

ZvZo — O.

Donc, on a pour les trois formes cherchées

F, = ï {zf.— MÏ ), F-2 = \ (z? -+- z'f ), F3 = s, *,.

Voyons comment varient ces formes par les substitutions du groupe diédrique (n° 71)

La substitution a nous donne

F',= l(Z'{»- z'>»)= l-(-iy>(z>?- Z>»)=(-l)>'Fi,

d'où

'l -rH r 2 — r 21 r3 — r3 •

h ni i e '" :■■>.

Pour la substitution b, on a

F'i « \X*\m~- *'f"> = ^"<(-0*(^"-*ï') =-»«(I)/.Fl,

F; = ^-'i'"-+-^'2,") = ^'"'(-0/'(5'1'' + ^')= *»(-rl)*Ftl Fj = ^i-22 = — ZiZz =— F3,

d'où

ï)m¥\, F22 = (— i)"«F|, F'3"l=(— i)'"Ff

Les formes <ï>, , <î>2, <ï>3, pour chaque substitution sont donc chacune multipliées par le même facteur, et l'on a pour type général de la forme fondamentale

La relation (i) du n° 123 devient ici

(z m s m \ 2 f Xm 1 Z '.n \ 2

Développons, il vient

I ^' ~^~ ia2 ^ 2 ,„

d'ot

par suite

en sorte que la relation cherchée est

FÏ=/F«+FJ«=o.

On peut vérifier que F, est, à un facteur constant près, le déterminant fonctionnel de F2 et F3. Si l'on représente par J(o, <]>) le déterminant fonctionnel ou jacobien des deux fonctions de deux variables o, (|/, on a

202 DEUXIEME PARTIE. — FONCTIONS POLYEDRIQUES ET MODULAIRES.

i2o. Les nœuds du réseau tétraédrique sont les 6 milieux des arêtes, les 4 centres des faces et les 4 sommets du tétraèdre sphérique.

Les premiers sont les intersections des trois axes de coordonnées avec la sphère de rayon i , c'est-à-dire les points

S = L, — i, i, — i, o, oc.

Par suite la forme correspondante est

F, as (St— *t)(z !■+-*,) (Zi— izt) (z1-hizs)zl zi = zlzt{z\ — z\).

Nous la désignerons par t.

Les points du deuxième et du troisième ensemble constituent les sommets du cube rencontré dans la théorie du tétraèdre. Les coordonnées de ces sommets ont tous (n° 63) pour valeur absolue —

et s'obtiennent en prenant toutes les combinaisons possibles de signes. On voit facilement que, dans la disposition adoptée précédemment (voir jig. 5), on a pour les coordonnées des centres des faces (ou bien encore des sommets du tétraèdre polaire)

V y/l s/Z s/iy

s/f fi' y/37

et pour les coordonnées des sommets

FORMES ET FONCTIONS POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES. 2o3

Les valeurs correspondantes de z se calculent à l'aide des formules (4) (n° 3). On obtient ainsi (3 et z pouvant prendre indépendamment l'un de l'autre les valeurs -h i et — i), pour les centres des faces,

/3 + ■t pour les sommets

y/3 + e Les formes F2, F3 qui s'annulent en ces points sont F,= «}.-t-ait/3«f«g-t.«|,

nous les représenterons respectivement par cp elà. En résumé les trois formes simples sont

F,= t = ziz«(z\-z\), V*=<i=z\+-xifiz\z\ + z\, F,= (^ = ^t— *ifîz\z\+-z\.

11 est intéressant d'avoir également l'expression de ces formes à

l'aide des variables z,, Z> liées parla relation — =zà la variable z

employée à la fin du n° 63. La première des relations (5) (n° 63) permet de poser

i ■+■ i zt = — ;=-*ii -2= z?

on obtient ainsi

t = =-Bil|(c|4-'s|),

foi

tp = — (zj-h 2 /3z|zl — z|), "^ = — (zt — 2 y/3 zf zl — z| ),

rmes auxquelles on peut substituer les suivantes :

t= Ziz2(zt-+-z£) = ■

^ = z\ — ■?. s/iz\z\ — z\= — ty.

?.o4 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES.

Les substitutions du groupe tétraédrique sont : i° Les substitutions d'un sous-groupe trirectangulaire, à savoir :

(a) z\ — ihZi, z'.2 = i~u *«>

2° Celles qu'on obtient, en combinant ces dernières avec la substitution

(c) z\ = olzx— j3z2, *', = a^!-+- (i,*,, ou avec son carré

Pour la substitution (a) on a

d'où

/'= *b*tW—!*f) = zizt(z\ — aj) =*,

f' = -s'i4 -+- 2 i y/3 ^',2 s22 -+- z'£ = z \ -+- 2 i y/3 Z2 z\ -+- s| = cp, <J/ =*',* — atV^-z'i2^2 -+-*',* = s4 — ai v/3 af^î-HaJ= $».

Pour la substitution (6) on a

z'f = z\, s\z'i = —ztzi, z'£ = z\, d'où

t'= z\z'2(z\ — z\) = —Zlzt(z\ — z\) = t,

cp' sa ^'j4 -+- 2 i y/3 z't2 z22 + 44=s|+2i y/3 sf *J -+- z\ — cp,

<]/ = z'{ — 2 f y/3 z'f *'22 -+- *'24 = z\ — 2 i y/3 z\ z\ -+- z| = if.

Pour la substitution (c) on a

+ 3^?2l-iz|,

s']4 — *',V = — 2 I Zt Z2 (Sf — Z.2 ),

z\ z'1 = — iizizi(z\ — z\), d'où

*' = z\z'%{z'{ — z';') = SiZt{z\— z\) = t,

^=z'^-ii^z\^z'i + ^=-l-±^{z\^-ii^z\z\ + z\)=-^^

FOIIMES ET FONCTIONS rOLYÉDRIQUES ET MODULAIRES. 205

On a donc, dans tous les cas,

lL'3 = .1>3

et le type général des forces fondamentales des groupes tétraédriques est

La relation linéaire devient ici

JJL] f1 -f- |JU «3 -+■ [l-i ty3 = O.

Pour en déterminer les coefficients, il suffit de développer le premier membre et d'égaler à zéro les coefficients de deux des termes du développement. On a

+ K3(z{2 — etys-s}»^ + ...) = O, d'où

f*i-i- l*8=o, Ki-l-6iV3({*s— K«) = o, ou bien

Ki '. f*t : n» = 1 2 i v/3 : — 1 : 1 .

La relation cherchée est donc

1 2 i y$ t1 — cp3 -+- <^3 = o.

Elle devient, avec le second système de coordonnées,

Vérifions que t est le déterminant fonctionnel de cp, <!/. On a, en effet,

4*? -+■ 4 ifî*t*\ f\i\fZz\ z, -+- 4 z\ k*\ — \ i /3 *| z\ — 4 i /3 *?*j-+- 4 *î

On peut encore observer que <!/ est le hessien de cp. En effet

I I2*î-+-4tv^3*î *8t'v/3-i52

H(cp) =

= 48eV3^.

126. Les nœuds du réseau octaédrique sont les milieux des 12 arêtes, les centres des 8 faces et les 6 sommets. Ces derniers sont les racines de t et les centres des 8 faces sont les sommets des

206 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS POLYEDRIQUES ET MODULAIRES.

deux tétraèdres polaires; on a, par suite,

W désignant le produit o'h. Les milieux des arêtes ont une coordonnée nulle; les deux autres coordonnées ont pour valeurs ±z

de sorte que, en posant — = p, les coordonnées des milieux des

arêtes ont pour expression

(o, p, p), (o, p, — p), ( o, — p, — p), ( o, — ?, p), (p, o, o), (p, o, — p), (— p, o, — p), (— p, o, p), (P.P.o). (P> — P' ° )i (— P' — P» ° )' ("Pi Pi °)-

En désignant par 8 et s deux quantités pouvant prendre indépendamment l'une de l'autre les valeurs -f- i et — i, on a, pour les valeurs correspondantes de Z,

Bip op „ .

* = — , z = — , * = op(i -+- zi).

La forme admettant ces valeurs pour racines et que nous désignerons par X est

= {z\-Uz\z\-+- z\)(z\-^ z\)

En résumé, on obtient

Fj= x = *}2 — 33*?*| — 33**-! 4-*l2, Fs=W = *8-f-i4*|*2 + *5, F3= t =zxzi{z\-'zl).

La fonction W est le hessien de l, et la fonction X est le jacobien de t, W. En effet

5(«t-*tJ -2o*.

Or, on sait (et l'on démontre d'ailleurs facilement) que si une forme est invariante par rapport à une substitution, et que la

FORMES ET FONCTIONS POLYEDRIQUES ET MODULAIRES. - 207

substitution a pour effet de multiplier cette forme par X, son hessien qui est aussi une forme invariante est multiplié en même temps par A- ; si, dans les mêmes conditions, deux formes invariantes sont multipliées, l'une par X, l'autre par a, leur jacobien est multiplié par Xpu 11 suffira donc d'examiner comment varie la fonction t par les substitutions du groupe octaédrique pour connaître en même temps ce que deviennent les fonctions W et X.

Les substitutions du groupe octaédrique comprennent celles du groupe tétraédrique et leurs produits par la substitution

(i) -1= -„ S2== ——Zx.

On a vu que les substitutions du groupe tétraédrique laissent t inaltérée; quant aux substitutions (i), elles nous donnent

d'où

Donc par l'application des substitutions tétraédriques

et par les substitutions (i)

On a, par suite, dans tous les cas,

et le type général des formes fondamentales pour le groupe octaédrique est

FssXjx'-hXjW'h-X,^.

Pour déterminer les coefficients |A,- de la relation

ptx*-+- f*t Wa -+-{!»**= o,

il suffira de faire d'abord zK = i , z2 = o ; d'où

7 * = i , W3 = i , t* = o et

puis de faire z\ = i , z'l = — i , d'où

y* = o, W3=(— 12)3, **=— 2* et

On tire de là

La relation cherchée est donc

X2 — W3 -hio8/* = o.

127. Les nœuds du réseau icosaédrique sont les milieux des 3o arêtes, les centres des 20 faces et les 12 sommets. Nous calculerons directement la forme admettant pour racines les 1 2 sommets. Pour obtenir les deux autres formes, nous emploierons un raisonnement s'appliquant également au tétraèdre et à l'octaèdre, mais que nous n'avons pas voulu utiliser avant de donner un exemple de calcul direct.

Soit F3 la forme admettant pour racines les sommets d'un polyèdre régulier à faces triangulaires (tétraèdre, octaèdre ou icosaèdre). Le degré de cette forme est égal au nombre S des sommets du polyèdre. Son hessien H(F3) sera par suite de degré 2 S — 4; le jacobien de F3 et de H(F3), soit J[F3, H(F3)], sera de degré

S-+-(aS — 4) — 2 = 3S — 6.

Or ces formes sont des covariants, c'est-à-dire qu'elles restent invariables ou sont multipliées par un facteur constant lorsqu'on leur applique les substitutions linéaires pour lesquelles F est invariante, ces formes ont donc pour racines des systèmes de points homologues.

D'autre part, d'après les formules du n" 52,

FORMKS ET FONCTIONS POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES. - 20g

sont des formes simples et ont respectivement le même degré que les formes cherchées F2, F,. On a donc, à un facteur constant près

Gela posé, arrivons au calcul de F3.

Les sommets i et 12 ont pour coordonnées (o, o, ± 1); les valeurs correspondantes de z sont z = o, z = 00.

Le sommet 2 a pour coordonnées (sin/, o, cos/),ou bien (n° 65)

l->o,-j(r= y/5). La valeur correspondante de z est [n° 60,

formule (2)]

Le sommet 7 a pour coordonnées ( — sin/, o, — cos/), ou bien \y o, j ; la valeur correspondante de z est

Les points du plan représentés par les sommets 3, 4, 5, 6 forment avec le point représenté par le sommet 2 un pentagone régulier ayant pour centre l'origine; les points 8, 9, 10, 11 et le point 7 présentent la même disposition.

La forme cherchée est, par conséquent,

nous la désignerons par/.

On a

no*}*,— 33o*î.sJ il*»»- 396*f*f — il -sj« I

iui° — 396.3 ifs? — ii^l0 — 33o,sf s| — iio^ j| s*iai(— *î« — 228*}»*! — 494^|««J«-i-a2a^f*|I— s\*)t

I nz\°z2 — e6z5iz^— z},1 — 20*}9 — 34«o«l*«{ — 494o*5*i°-f-n4o^}z}8

I Si1 - 66.S«^— II*,*J« — ll4o^î5z|— 4940*}°3l-1- 3420zf 3|*— 20Z\»

|a 24?.O(3j0 522 -s f 5zf — iooo52f°z|° — iooo5*}°*|°-f- 5s>2.zf z|5-+-z|°).

(') On passe de cette forme à la forme de M. Klein par le changement de variable (cf. note p. 90)

*l — *li zi — ~ *V

210 DEUXIEME PARTIE. — FONCTIONS POLYEDRIQUES ET MODULAIRES.

Nous désignerons par H et T les expressions entre parenthèses, d'où

f =ZiZî{z\» — Il z\z\ — *J0),

H = — z\ ° - ii%z\ *z\ — 494^1°^!° ■+• m8.s{ z\* — z\\

T = z\° — 5nz\^z\ — iooo5.s20.z20 — 10 oo5,z}0z20 M- 522*f .s|5 + -z|0.

Le groupe icosaédrique est engendrée par les substitutions S, T, U liées entre elles par la relation

(i) S2TS3TS2T = U.

Les substitutions S et U ont respectivement pour expression

zx = z2, zi = — zl-

Il est facile de vérifier que y est invariable par ces deux substitutions. La substitution T étant d'ordre 2, ou bien laisse / invariable, ou bien le multiplie par — 1 . Ce dernier cas ne peut se présenter, car, autrement, en vertu de ( 1 ), U multiplierait /par — 1 , ce qui n'est pas. Donc T laisse également/ invariable. On en conclut que la fonction/, et par suite aussi H et T, est invariable par toutes les substitutions du groupe icosaédrique, et que le type le plus général des formes fondamentales pour le groupe icosaédrique

est

Pour déterminer les coefficients de la relation H,T2 4- |itH> •+•(«,/»***,

faisons d'abord z{ = 1, z2 =■ o, ensuite zt = z2 = 1; nous obtenons successivement

et, par suite,