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d'où l'on tire
FORMES ET KOXCTIONS POLYEDRIQUES ET MODULAIRES. ' l\ I
ou bien
La relation cherchée est donc
128. Les formes ainsi obtenues permettent de construire, dans tous les cas possibles, une fonction représentée par le quotient de deux formes invariantes de même degré, et qui reste invariable quand on lui applique les substitutions du groupe homogène correspondant. Une telle fonction, homogène et de degré zéro en zt, 52j est une fonction de z, invariable pour les substitutions du groupe non homogène relatif au polyèdre considéré.
Nous appellerons fonctio ns polyédriques, les fonctions rationnelles de z, qui restent invariables pour toutes les substitutions d'un groupe polyédrique.
Une fonction polyédrique prend la même valeur en un ou plusieurs systèmes de points homologues; si elle ne prend la même valeur qu'en un seul système de points homologues, elle est dite fondamentale.
Il est évident que le degré (') d'une fonction fondamentale est égal à l'ordre du groupe correspondant; et que, réciproquement, si le degré d'une fonction polyédrique est égal à l'ordre du groupe, cette fonction est fondamentale.
Donc V(a) désignant une fonction fondamentale, appartenant à un certain groupe, le type général des fonctions fondamentales relatives au même groupe est
q-V(*)-fr-6 c\(z) + d'
a, b, c, d étant des constantes. De plus une fonction fondamentale est tout à fait déterminée, quand on connaît les valeurs qu'elle prend en trois points du plan.
Nous désignerons par Z(s) la fonction polyédrique fondamentale prenant les valeurs 1, o, 00 respectivement aux milieux des
(l) On entend par degré d'une fonction rationnelle le plus grand des degrés de ses deux termes, la fonction étant supposée réduite à sa plus simple expression.
arêtes, aux centres des faces et aux sommets du polygone sphérique considéré. Bien entendu, nous laissons de côté les groupes cycliques; pour ces groupes on peut prendre
Revenons aux groupes polyédriques; la fonction Z correspondante étant rationnelle est déterminée à un facteur constant près, quand on connaît ses zéros et ses infinis. Nous poserons donc
Fvs FVi
Fv. FS"
h, k étant deux constantes. La relation (n° J23)
ï*i F i1 + V-2 F\* -+- fxt F£> = o
devient alors
et comme elle se réduit à une identité, on doit avoir
d'où et
ou bien
z — i : z : i = ;j.j F^1 : — fx2 F^ : ^ F£>,
ce qui donne, respectivement, pour les groupes cyclique, diédrique, tétraédrique, octaédrique et icosaédrique,
in
z fi, ?i« <
1*8 fÇ
K3 Pf
<P V-s4— 2iV3i;2^-i
08^ io8^4(-s4-Ov
FORMKS ET FONCTIONS POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES." 2l3
D'après un théorème d'Euler, le nombre des arêtes augmenté de 2 est égal à la somme du nombre des faces et du nombre des sommets. Comme ces trois nombres sont précisément les degrés <le F,, F2, F3, on voit que la forme
F,Fa F,
est de degré 2 et par suite, en appliquant un théorème connu sur les fonctions homogènes,
X(ZU52) = z\ X(*, I).
Donc
Ft(z, i)F,(g, 1)
est une fonction rationnelle de z. Si l'on écrit simplement X au lieu de X(.s,, z2), on aura
D'autre part, en désignant par c la constante — —
et comme le second membre est une fonction homogène de degré zéro en 3,, z2
[F.(*,0JV'
Désignons par F(z) le second membre, F est une fonction rationnelle de z, et l'équation
définit z comme fonction algébrique de z, de même que les équations (1) définissent £<, z2 comme fonctions algébrique de Z, X.
129. Un problème analogue au précédent se pose pour le groupe modulaire. Il s'agit de construire une fonction transcendante uniforme de z, possédant la propriété de prendre la même
valeur en des points homologues du réseau modulaire, et en ces points seulement, et de prendre les valeurs i, o, oo aux nœuds de première, deuxième et troisième espèce. Une telle fonction sera dite /on cl ion modulaire principale, tandis que nous appellerons plus généralement /onction modulaire toute fonction qui prend toujours la même valeur en des points homologues d'un sousgroupe de T (*) et seulement en ces points.
La résolution de ce problème nous sera donnée par la théorie des fonctions elliptiques.
On sait ( 2 ) qu'étant donné un couple de périodes primitives izir iZi de la fonction elliptique pu, celle-ci est complètement déterminée. On a, en effet,
PU u2 +2d l(u — s)* u*\
où s prend toutes les valeurs imzK + 'inzo, m et n étant deux entiers positifs ou négatifs qui ne sont pas nuls en même temps. Les invariants g2, g3 de la fonction elliptique ont des valeurs bien déterminées
A l'aide de ces invariants, on forme le discriminant A et l'invariant absolu J,
\ o-3 o-jo-2 I — Si
J est une fonction homogène, de degré zéro en zt, z2', c'est par suite une fonction du seul rapport — = z.
(') Les fonctions analogues pour les groupes polyédriques ne présentent aucun intérêt spécial, puisque les sous-groupes des groupes polyédriques sont des groupes cycliques ou polyédriques.
(2) Pour cette formule et toutes celles qui concernent les fonctions elliptiques,. voir par exemple Wkierstrass-Schwarz, Formeln und Lehrsàtze zum Gebrauche der elliptischen Funktionen, Gôttingen, i883.
FORMES ET FONCTIONS POLYEDRIQUES ET MODULAIRES.
Voici d'autres expressions de g2, g3, A :
2 TTt
Enfin A est, à un facteur constant près, le déterminant fonctionnel de g%, g%.
Des relations précédentes résulte
J — ! : j : i = <ilg\ \g\ :a.
D'après un théorème célèbre de Jacobi, le rapport — ne peut
être réel. Comme les parties imaginaires de — et — sont de signes
contraires, on peut admettre, sans nuire à la généralité, que la
