partie imaginaire de — est positive

Or, on sait qu'une fonction elliptique admet une infinité de couples de périodes primitives et que si 2S(, 2Z2 désigne un tel couple, tout autre couple as',, 2z[2 est donné par des relations de la forme

1Z\ = a.2Zi-t- [3. 2-32,

Si, de plus, pour le nouveau couple, la partie imaginaire de -4

est positive, on aura

ao — Py = -+- i.

On peut donc dire .que si z{, z.x est un couple de demi-périodes primitives d'une fonction elliptique, tous les autres couples ana-

>.l6 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES.

logues relatifs à la même fonction s'obtiennent en appliquant au couple s,, z2 les substitutions du groupe modulaire homogène. Il en résulte que les fonctions g2, g3 et par suite A, J restent invariables, si on leur applique les substitutions de ce groupe. Et comme ce sont des fonctions homogènes de zt, z2 (de degrés — 4? — 6, — 12, o), nous les appellerons formes modulaires absolument invariantes; ou plus simplement formes modulaires. En particulier J est une fonction de z, qui ne change pas quand on lui applique les substitutions du groupe modulaire non homogène; c'est donc une fonction modulaire principale.

On sait que .g2, £r3? A s'annulent respectivement pour

z = — , i, oo. Donc la fonction 5 prend, aux nœuds de

première, deuxième et troisième espèce du réseau modulaire, respectivement les valeurs i , o, oo.

De plus, comme les relations (i) peuvent s'écrire

on voit que pour des points z, symétriques par rapport à l'axe imaginaire, z\g2, z\gi prennent chacune des valeurs conjuguées ('). J est donc une fonction modulaire, dont la valeur se transforme

(M Considérons, en effet, la somme > —L\ remplaçons z successive-

4J ( mz-Jt- rc) r '

ent par x -\- iy et x — iy, nous aurons

jLd ( mx ■+■ n -+- miy)'1 ' Zu ( — mx -+- n -+- miy )4 '

ou encore

jLd ( mx -t- n -t- miy ) ' A*

mx -+- n -h miy ) ' Xmd ( mx — n — miy y

Mais puisque n prend toutes les valeurs positives et négatives, nous pourrons, dans la seconde somme, écrire — n au lieu de n. Elle devient alors

y -. ; : — rr et l'on voit qu'elle est conjuguée de la première. On ferait

une démonstration analogue pour g3.

FORMKS ET FONCTIONS POLYEDRIQUES ET MODULAIRES. 21 7

en la valeur conjuguée par la pseudo-substitution z' = — z. On déduit de là que J est réelle sur tous les côtés du réseau modulaire .

130. Soit un réseau régulier représentant un groupe de substitutions linéaires; considérons plus généralement une fonction Z(s), qui, prenant la même valeur aux points homologues de ce réseau, prenne des valeurs conjuguées en des points symétriques par rapport à un quelconque des cercles du réseau et les valeurs i , o, oo aux nœuds de première, deuxième et troisième espèces. Elle sera réelle sur les côtés de tous les triangles, et, en désignant pour un instant par a, b, c les sommes de première, deuxième et troisième espèce d'un triangle quelconque, cette fonction variera sur le coté ab de i à o, sur le côté bc de oà — oo, et sur le côté ac de 1 àoo. De plus, dans un même triangle la partie imaginaire de Z(s) aura constamment le même signe, et dans deux triangles conjugués des signes contraires : elle aura, par exemple, le signe plus dans tous les triangles blancs, et le signe moins dans tous les triangles ombrés. Si l'on représente sur un plan les valeurs de la fonction Z, aux points a, 6, c du plan z correspondront dans le plan Z les points i, o, oo, et aux côtés ab, bc, ac les segments 1...0, o. . . — oc, 1... + 00 de l'axe réel; de plus, à un triangle blanc correspondra tout le demi-plan supérieur, et à un triangle ombré tout le demi-plan inférieur. On voit que dans chaque bitriangle la fonction prend toutes les valeurs possibles. Au réseau tout entier correspond sur le plan Z une s ui face de Riemann dont les feuillets sont en nombre n ou en nombre infini, suivant que le groupe est d'ordre fini n ou d'ordre infini. La correspondance entre les deux plans est conforme et cela en vertu des principes généraux de la théorie des fonctions. H y a exception toutefois aux points de ramification 1, o, 00 de la surface de Riemann, pour lesquels nous trouvons des angles tt correspondant aux angles — > — > — du plans. Il suit de là que z0 étant un point distinct des nœuds du réseau, et Z0 la valeur correspondante de Z, on a, A étant une constante différente de zéro,

Cette notation exprime que z — ;0 est égal à k(z — z0) aux infiniment petits près d'ordre supérieur.

218 DEUXIEME PARTIE. — FONCTIONS POLYEDRIQUES ET MODULAIRES.

Au contraire, pour les points a, &, c, on aura

(2) *~assA(Z— i)^,

(3) z-b = kr/F\

(4) *Css*Z".

Ces formules ne sont pas applicables si v/ = 00, c'est-à-dire si l'un des angles du réseau est nul. Supposons, par exemple, v2 = °c ; on remplacera la formule (3) par la suivante :

Nous représenterons par la notation .s(v,, v2, v3 ; . Z) la fonction s considérée comme fonction de Z.