De là résulte un théorème important

Etant données lesdeux fonctions 3 (v, , v2, v3 ; Z), z'(y\ , vô, v'. ; Z) où v,, v2, v3 sont respectivement multiples de v',, v'â, v'g. Si v/ == 00, nous le considérerons comme multiple de v|-, que v't soit fini ou non. Il existera pour z' des relations analogues aux relations (i)r

(l) Voici comment on peut parvenir à cette formule :

Si v2 = 00, le point b est sur l'axe réel et les deux côtés du triangle passant par b ont leur tangente commune parallèle à l'axe imaginaire. Soient en grandeur et en signe a, p les rayons des cercles auxquels appartiennent ces côtés ; ces cercles auront pour équation

(x — b)2 +y2 — ia.(x — b) = 0, (x — b)2 -h y2 — i$(x — 6) = o.

Par la substitution *''=— ^ , les cercles se changent en deux droites parallèles à l'axe y', ayant pour équations

2a 2 fi

On sait qu'un faisceau de droites parallèles se change en un faisceau de droites concourantes par une transformation de la forme

Dans le cas actuel, nous poserons

z = e^'+lK

FORMES ET FONCTIONS POLYEDRIQUES ET MODULAIRES. 21 9

), (3), (4), (5) du paragraphe précédent. On a

* —zo= j(« — -0),

z —c == — (z — cy».

Si v2 = oc, v!, étant fini, on obtient

z'—b'==k'e V7 ev'i{z — b

Si Vo = 00, v, — 00, on obtient au contraire

p et q étant des constantes réelles. En efl'et, si Z = Re'®, nous aurons R = e-py, 6 = px' + $r,

en sorte que, aux droites x' — const. correspondront les droites 6 = const., et en particulier aux deux droites considérées les droites

2a -" ap *

Si enfin nous voulons que ces deux rayons soient les deux moitiés de l'axe des x, on devra avoir

d'où

2ira3 icp

on a donc

d'où

logZ — l?

220 DEUXIEME PARTIE. — FONCTIONS POLYEDRIQUES ET MODULAIRES.

Ces formules montrent que : Si les v, sont respectivement multiples des yj, z' est une fonction uniforme de z. Donnons de suite quelques applications de ce théorème.

a. Les réseaux du groupe diédrique pour m = 3 et des groupes tétraédrique, octaédrique et icosaédrique ont respectivement pour symboles

tandis que le réseau modulaire a pour symbole (2, 3, 00). Donc : Si les variables Z, z, z' sont liées par les deux relations

F désignant l'une des quatre fonctions

et J étant la fonction définie au n° 129, z' est une fonction uniforme de z.

b. Le triangle fondamental du sous-groupe rc de T a ses trois angles nuls. Si "k(z) représente une fonction ayant pour champ fondamental un couple de triangles du réseau r6, z considéré comme fonction de X pourra s'écrire z (00, 00, 00; X).

D'où il suit que, quelle que soit la fonction s'(v'0 v'2, v'3 ; X), s' sera une fonction uniforme de z.

Existence des fonctions modulaires.

132. JNous avons désigné sous le nom de fonction modulaire toute fonction invariante dans un sous-groupe du groupe modulaire.

Cherchons maintenant si à chaque sous-groupe deT correspondent des fonctions modulaires.

Nous démontrerons qu'il en est bien ainsi pour tout sousgroupe r„. de T, d'indice finie s.

La relation

J =ri(s)

établit une représentation conforme du plan de la variable J si