EXISTENCE DES FONCTIONS MODULAIRES
un bitriangle du réseau modulaire. Puisque J prend des valeurs réelles sur les côtés du réseau, aux deux moitiés du bitriangle correspondront respectivement les deux moitiés du plan J séparées par l'axe réel. Nous établirons qu'au triangle blanc correspond le demi-plan supérieur, au triangle ombré le demi-plan inférieur.
La représentation cesse d'être conforme aux points i, o, go du plan J; en effet au point i du plan J par exemple les deux portions de l'axe des x font un angle plat (angle de 1800), tandis que les lignes correspondantes du plan z font un angle de 900.
Aux bitriangles en nombre infini du réseau modulaire correspondent des feuillets en nombre infini coïncidant avec le plan J; et, si dans le plan z on passe d'un bitriangle à un autre en tournant autour d'un nœud du réseau, on passera en même temps dans le plan J d'un feuillet à un autre en tournant autour d'un des points 1, 0, 00. L'ensemble des feuillets coïncidant avec le plan J constitue une sur/ace de Riemann, à un nombre infini de feuillets, ayant pour points de ramification les points 1, o, ce.
Soient donc Ys un sous-groupe d'indice fini s, Cs son champ fondamental. A Cs correspondra un ensemble R* de s feuillets de la surface de Riemajnjv située sur le plan J.
Pour réaliser cette correspondance nous pouvons déformer le bitriangle et l'amener à coïncider avec le plan des J tout entier, de façon que les nœuds tombent aux points 1, o, 00.
Entre la surface R^ et la surface fermée à laquelle se ramène le champ Cs (cf. n° 83) il existe une correspondance biunivoque; donc, d'après un théorème connu, les deux surfaces sont du même genre.
On peut d'ailleurs le vérifier directement. En effet, on a trouvé pour le genre/? de la surface fermée C, (n° 86)
p^i-s+i^Oz-i), J = l
2 mi désignant le nombre des arêtes aboutissant à un nœud d'ordre 1, et S le nombre des nœuds. D'autre part la théorie des surfaces algébriques nous donne, pour le genre d'une surface de Riemann,
s étant le nombre des feuillets de la surface, m,- le nombre des feuillets qui se croisent à point de ramification d'ordre i et S le nombre de points de ramification. Or, le nombre des bitriangles de Cf est égal au nombre des feuillets de R^; à chaque nœud de C, correspond un point de ramification de R, ('), et à chaque bitriangle ayant pour sommet un nœud de Cj correspond dans R^ un feuillet qui se croise avec d'autres feuillets au point de ramification correspondant. Donc les deux valeurs de p sont égales.
En vertu des théorèmes d'existence de Riemann, il existe des fonctions de J, uniformes sur la surface Rs. Soit y l'une d'elles, y et J sont liés par une relation algébrique
Puisque y est uniforme sur R,,, et que Cç et J\.s se correspondent point par point, on peut dire que y prend une valeur unique en chaque point de Cs. De plus, comme chaque point de R* correspond à une infinité de points du plan z et correspond par suite à tous les points de Ts homologues d'un même point de Cf, on peut dire que y, regardée comme fonction de z, reprend la même valeur aux points homologues dans Cy. En d'autres termes, y est une fonction modulaire relative au sousgroupe TV Donc :
Etant donné un sous-groupe Ts de T d'indice fini s, il existe des fonctions modulaires relatives à ce sous-groupe; elles sont liées à i par des relations algébriques.
Toute autre fonction modulaire relative à Ts est une fonction uniforme surR5 et par conséquent une fonction rationnelle de j', J.
Il est facile de voir que les différentes racines de l'équation (i) sont des fonctions modulaires relatives à autant de sous-groupes équivalents à Vs et par suite représentés par le réseau C*. Soient i, S4, S2, ..., S.ç, les symboles des 5 bilriangles du réseau modulaire qui constituent le champ Cs; les valeurs de y en s points du
(') Les seuls points de ramification de Rf sont les points 1,0, oc; considérons un de ces points et supposons que les feuillets qui s'y croisent comprennent hv hit ..., hr feuillets formant chacun un cycle, on considérera le point correspondant comme un ensemble de r points de ramification respectivement d'ordres h l — 1 , A2 — 1 , . . . , hr — 1 .
EXISTENCE DES FONCTIONS MODULAIRES. 2'i3
champ Cs homologues dans F, ou bien en s points superposés de R* seront
ys^(z)=y[Ss^(z)].
Or, P étant une substitution quelconque de Ts, on a
y[P(z)]=y(z); si dans cette relation on remplace z par S,(z), on a (3) y[SiP(z)] = y[S,(z)] = yi(z).
D'autre part les relations (2) peuvent s'écrire
Remplaçons z par StP(^), il vient
r/rs/PSr*(*)] = .r[s,P(*)]
et, par suite, à cause de (3),
^[SiPSt1^)]»^*).
Donc JK/(*) es£ une fonction modulaire relative au sous-groupe S,TçS7' équivalent à Ts.
133. Examinons en particulier le cas où Ts est un sous-groupe invariant. Alors toutes les racines de
sont des fonctions modulaires appartenant au sous- groupe Ts et sont par suite des fonctions rationnelles de l'une d'elles et de J
(1) yt=?t(y, J) (*' = i,2, ...,* — »)•
La relation (1 ) peut être considérée comme une transformation de Rj en elle-même, dans laquelle le point (y, J) se change en (yi, J). 11 est clair que les transformations (1) auxquelles on adjoindrait l'identité, forment un groupe qui, aux notations près, coïncide avec le groupe Gs des transformations de la surface fermée Cs en elle-même (n° 83).
Voici maintenant les différents cas possibles :
a. Si p = o, on peut faire correspondre R5 point par point à un
29-4 DEUXIÈME PAHTIE. — FONCTIONS POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES.
plan w, y et J sont exprimables rationnellement à l'aide de u y=zE(u), J=F(a),
u étant elle-même une fonction modulaire du sous-groupe considéré ; et l'équation
n'est autre que l'équation ( i ) du paragraphe précédent (p. 222) sous la forme spéciale qu'elle prend dans le cas considéré. On peut la mettre aussi sous la forme
cp(«), <K")' %(u) étant trois fonctions rationnelles liées par la relation
cp(u) = ty(u) — %(u).
Toutes les racines de (2) pouvent s'exprimer rationnellement à l'aide de J et d'une quelconque d'entre elles; mais J étant une fonction rationnelle de u, on peut dire que toutes les racines peuvent s'exprimer rationnellement à l'aide d'une quelconque d'entre elles. Il suit de là que deux racines quelconques sont fonctions linéaires l'une de l'autre; on aura par exemple
Ui= £- (1 = 1, 2, . . ., s — 1).
b. Soit en second lieuy? = 1 , la surface Bs est elliptique. Nous pouvons prendre deux fonctions u, v régulières sur R$, liées par la relation
"2= pO),
p(«) étant un polynôme du troisième degré ; et toutes les fonctions régulières surRy s'exprimeront rationnellement en u et p, de sorte que, en posant
u[Si(z)] = ui(x), v[Si(z)] = n<*\ on aura
H„ K/ étant des symboles de fonctions rationnelles. Si l'on considère m, v comme les coordonnées des points d'une cubique, les
EXISTENCE DES FONCTIONS MODULAIRES. 2a5
équations (3) représentent un groupe de transformations rationnelles de cette courbe en elle même.
c. Soit maintenant p >2et supposons que la surface Rç ne soit pas hyperelliptique. Désignons par
un système de polynômes adjoints d'ordre n — 3, linéairement indépendants; il leur correspond un système d'intégrales abéliennes de première espèce linéairement indépendantes
rf
Si dans I/i, nous remplaçons y par yi, U se change en une autre intégrale
Les valeurs que prend 1^ en s points de Ry, où J a une même valeur, coïncident avec celles que prend 1}/' aux mêmes points ; I/i étant toujours fini, il en est de même de V/^. I,'' est une intégrale de première espèce et Qa (jK/5 J) .un polynôme adjoint d'ordre n — 3, par conséquent une fonction linéaire deQ,(y,J), Q2(r,J),...,Q^(r,J), d'où
Q.(//,J) =<Qi(r, J)+... + *$Q/»(.r,J),.
Qt(^»J) = a«i Qt (r> J) ■+••••-+•«»* rp (y,i),
Qp(yt, J) = t.% Q,(^, J) ■+-. . ,-+■ *ftQP(y,S) (i = i, 2, . . ., s — i).
Les Qa(.X, J)(/i= i, 2, 3, ...,/>) sont/> fonctions modulaires linéairement indépendantes du sous-groupe considéré, et les relations (4) représentent la transformation qu'elles subissent quand on passe de y à y^ c'est-à-dire quand on applique à z la substitution S,. Donc les transformations (4) constituent, avec l'identité, un groupe holoédriquement isomorphe au groupe Gs.
Le groupe des transformations (4) est susceptible d'une interprétation géométrique remarquable.
"(i DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES.
On sait qu'on appelle courbe normale de Noether la courbe de l'espace àp — I dimensions dont les points ont pour coordonnées homogènes Q, (y, J), Qa(y, J), •••> Q/>(r> J)- °r? les restions (4) représentent une collinéation, pour laquelle la courbe normale se transforme en elle-même. Nous pouvons donc dire que le groupe Gs coïncide aux notations près avec le groupe des collinéationsqui transforment en elle-même la courbe normale de Noether.
d. Les considérations précédentes ne s'appliquent plus, quand p étant supérieur ou égal à 2, la surface R^ est hyper-elliptique (ce qui a lieu nécessairement ûp = 2).
Dans ce cas, on peut remplacer Ry par une autre surface de Riemann, RI à deux feuillets et ip + 1 ou ip + 2 points de ramification; en d'autre termes, on peut choisir deux fonctions u, 9 régulières sur Ks, liées par une relation de la forme
p étant un polynôme de degré ip -j- 1 ou 2/>-(-2. Alors toute fonction W régulière surR, est de la forme
)v(m), p.(«), v(u) étant des polynômes en u premiers entre eux. Désignons par u(s) l'expression 1/ considérée comme fonction de ; et posons
Puisque, sur R5, u prend deux fois la même valeur, il en sera de même pour m,-, en sorte que, en posant d'après (5)
X(«) -+- v\i(u) "<- v(tt) '
la fonction
(6) X(«) + (.'jji(a) — h(-v(m)
devra pour chaque valeur de m s'annuler en deux points de Rs. Mais v prenant une même valeur en ip + 1 ou 2/? -f- 2 points, c'est-à-dire en plus de deux points, il ne peut y avoir dans (6) de terme en v et, d'après, la nature de m, X(«) et v(w) devront
