EXISTENCE DES FONCTIONS MODULAIRES

être linéaires. On en conclut que Ui est liée à a par une relation linéaire de la forme

Recherchons maintenant si w, uu «2, . . . , «j( sont ou non toutes distinctes, en d'autres termes si les substitutions linéaires (7) forment, avec l'identité, un groupe d'ordre égal ou inférieur à s.

Observons que (n° 98), s'ip > 1, on a n > 6; par suite, dans le réseau considéré, il y a plus de 6 bitriangles se croisant en un nœud de troisième espèce, et l'opération S considérée comme appartenant à G.$ est d'ordre supérieur à 6.

Or les seuls groupes finis de substitutions contenant des opérations d'ordre supérieur à 6 sont certains groupes cycliques et diédriques ; d'autre part, les seuls groupes cycliques et diédriques appartenant au type G., correspondent aux symboles (2, 1 , 2), (2, 3, 2), ( 1 , 3, 3) (n°98) et ne contiennent pas de substitutions d'ordre 6. Donc le groupe formé par les substitutions (7), ne saurait coïncider avec G^ et par conséquent les u, m,, . . ., uS-\ ne sont pas toutes distinctes.

Il existe donc une transformation non identique de Cs en lui-même, à laquelle correspond la transformation de u en ellemême, c'est-à-dire un échange de deux feuillets de l\.'2 ; et il est bien clair que c'est la seule transformation de cette espèce. Donc

l'ordre du groupe (7) est -• En combinant ce groupe Gs avec la

substitution v1 = — f, on obtient le groupe G*.

Le groupe Gç est de genre zéro, parce que, en prenant une seule

fois chacune de ses valeurs sur la surface de Riemànn correspondante, cette surface peut se réduire à un plan unique.

Le polygone générateur de T t est l'ensemble des bitriangles de C^, qui, dans la transformation de Cs en Ks et ensuite en Rg, donnent lieu à un feuillet de R'2. Le sous-groupe T s est invariant,

parce que les w,, étant des fonctions rationnelles de ^/, appartiennent toutes *au même groupe.

Comme le nombre de bitriangles se croisant sur la surface S en

un nœud de troisième espèce, est supérieur à 6, pour la surface Cv, on aura n >> 3, c'est-à-dire n = 4 ou n=5, et par

suite -= 24, - = 60.

Ainsi donc, quand la surface R* est hjperelliptique, les seuls

cas possibles sont

La formule (2) (n" 98)

où l'on doit remplacer /• par n, donne ensuite dans les deux

cas

p — 2 et p = 5.

Construction des formes modulaires.

134. JNous venons d'établir l'existence des fonctions modulaires pour n'importe quel sous-groupe.

Occupons-nous maintenant de leur construction effective dans quelques cas simples.

D'après la théorie des fonctions elliptiques, on sait que, si 2Ziy 2Z2 et 2.Sj, 2s'2 sont deux couples de périodes primitives, on a

(1) <r(u\z'ltz't) = a(u\sl}zt).

De plus/»,, m 2 désignant deux nombres entiers quelconques

(2) <J(U -+- 2mi31+ imiZi)= (— \ynimi+ml+mie^(mi-f\i-^mirit){u+mtzi^m.z.)(SU i

avec

Les z-i et les f\i sont liés par la relation connue

(3) ^l?]2— -lT)l = — >

moyennant l'hypothèse déjà faite que la partie imaginaire de -i = z est positive.

En particulier, n étant un nombre entier, posons

(4) -s'i =*i-H/iss, s\ = zif

et remplaçons dans ( i ) u par

iz\ %zx

Nous aurons, à cause de (2),

(5) °(^\*\,*'>) = °(^\*u*>) = °fâ + *H\*u**)

Or, en tenant compte de

Vi = iii-r- w»)i, on a

et, à cause de (3),

ii » ni:»

d'où pour (5 )

— L *lï*l ) = e