TT/ 2T.I
Si /i est pair, e " =e 2" est une racine d'ordre in de l'unité ; au contraire si /i est impair, en posant n = 2/) -h 1 , on
n -1- 1 /' -t- 1 ■Kl '- 2-Kl
a e = e " , qui est une racine d'ordre n de l'unité (').
On peut donc dire que par la substitution (4) ou encore pour la substitution S", la fonction
( ' ) La relation n sa a (/? -t- 1) — i montre que n et /? -+- 1 sont premiers entre
eux.
23o DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES.
est multipliée par une racine d'ordre iîi ou n de l'unité, suivant que n est pair ou impair.
Posons maintenant
lAn,-f-sAn./ /jr)+*i.\ , , ,
(6) <taa(m|5i,-5ï) = c » \ « /»(« —
2(/iï],-t-*Y),l<*3,
et appliquons à £,, ^2 la substitution modulaire homogène
/a 3\ /an + 1 6/1 \
(8) V = ( 'J = )■=, (mod/i),
\Y o/ \ c/i rf/n-i/
désignons par o>tA.M ce que devient cr^M, quand on lui applique la substitution (8) et observons que
tji == a.t]i-h Bï]2= (a/i -)- i)r(1-4- brir^,
"Jl — Tril "+■ 3lT]2 = 0/17;!+ (<3?/l -+- 1)7)2.
Posons pour abréger
ha •+- ko = L, hd -+- kd — M ,
hrtï -+- Â-7J2 = ÏJ, /l-St-l- 6^2 = 3,
L7i,-hMTj,= H, L,-,+ M5i=Z; on tire de (6), en tenant compte de ( i ),
Or, d'après (2),
ï(„az-^)=(~,)LM-KL+Me-8H(a~z-7r)<r(«-li),
et, d'après (6),
<x(a — — J =e " \ »/3,tku;
on a donc, après quelques réductions,
»A*W = (— i)LM + L + Me" <*A*«-
De plus LM + L + M = h*ab-hhk(ad-+- bc) -4- Ar*ctf-+- A(a -+- &*)-*- A(c -f- rf):
par suite
/ 1 \LMH-L-f-M — / l\/i-^/n-(i-t-b)+/i/i{,irt+bc)-hk^irJ+t-hd)t
D'autre part (3) donne Hz-riZ = (Lnt-hMit)(h*i + k*,) — (Ai)i + Ai)i)(Ljft-t-Mjt)
= (MA — LA-) (*, r„— 5,7)0= (M/t — LA) —
= [h*b -4- M( rf — a) — *»c] — .
Donc
— [A»/; + hhd-a)- k*c] [l^ynab + na + nb-h 6) -H hk(nad + nbc + d—a) + k*[ncd -+- ne + nd — O]
J — '/,'miib + na + nb+ b) ■+- hk\nad + nbc + d — a) + k*(ncd + ne -+- nd — c)
Ainsi, par les substitutions (8), c'est-à-dire par les substitutions du groupe homogène T.2[L(/i), ?hkU est multipliée par une racine de l'unité, ce qui montre qu'une certaine puissance de tm« reste invariable; en d'autres termes, vrhku où /• est un certain nombre entier est une forme invariante dans le groupe homogène T2^ny
13o. Voyons maintenant quelles sont parmi les substitutions (8) celles qui laissent invariables toutes les fonctions <3nkU- De la relation
i = xo — 3y = (an -+- i)(dn -4- i) — bcni = (ad — èc)/i2-i-(a-f- d)n -+■ i
on déduit
(i) n(ad — 6c) -4- a ■+■ d = o.
Distinguons plusieurs cas :
i° Soit n impair. Alors ( i ) donne
ad -+■ bc == ad — bc == — (a -4- d) = d — a (moài).
D'autre part, en écrivant ( i ) sous la forme
d(an -+- 1) -f- a — ben = a(dn -+■ i) -4- d — ben = o,
on voit que si a ou d est impair, b et c le sont également, en sorte que les produits a(b -+- i) et d(c -{- i) sont toujours pairs
ab — a = de -+- b = o ( mod 2 ).
23a DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES.
D'après cela la relation (9) du paragraphe précédent (p. 23 1) peut s'écrire
■—[/jSi + AA-lrf-rtl-AV]
ou bien
, ni [-/iV; + /i*(rt— rf) + *v]
(2) c/lA.u = e n <jhku.
Pour que toutes les <J/tku restent invariables, il faut et il suffit (en tenant compte de ce que n — 1 est pair) que la quantité entre crochets soit un multiple de n pour tout système de valeurs de A, k, c'est-à-dire que l'on ait
6 = c = a — d = o (mod/i).
D'autre part, d'après ( 1 ),
a-!-c?=o (mod/i); d'où
«ss6 = c = rf = o (mod/i),
et a', &', c', ci' étant des nombres entiers,
nous avons alors
V=( ) = ( |=i (modn*).
\y y/ \ c'ai2 d'n*-^-\)
Donc : Pour n impair les substitutions de ^{{), laissant invariables toutes les «t^m, sont les substitutions du sous-groupe homogène 1%^,^.
20 Soit maintenant n pair. Puisque toutes les a/ikU restent invariables, la quantité entre crochets figurant au second nombre de la relation (9) (p. 23i) est un multiple de %n pour tous les couples de valeurs h, k. On aura donc
/ nab -+- na ■+- nb -t- b == 0 J
{3) l nad -+- nbc -+- d — a = o ,> (modîn).
' ncd ■+- ne -+■ nd — c s 0 t
(') Pour plus de précision on devrait dire: du groupe homogène correspondant au groupe non homogène I*.
Ajoutant à la seconde de ces congruences la congruence
— a nbc = o ( mod a n ), on obtient
n(ad — bc)-hd — a = o (mod in),
ce qui donne avec ( i )
a = o?=o (mod/i).
La première des relations (3) devient alors, / désignant un nombre entier,
n2 /-+-(« -I- i)b = o (modî/i),
ou, remarquant que, si n est pair, n2 est divisible par 2«,
(ra-+-i)6 = o (modan),
et comme n + i est premier avec n,
b = o (mod'in).
La dernière des relations (3) donne, en opérant d'une façon
analogue,
e = o (mod?.«).
Nous pouvons par suite écrire, a', &', c', d' étant des entiers,
a = a'n, b=-ib'n, c = ic' n, d = d' n,
et transportant ces valeurs dans la seconde des relations (3)
n3(a'd'-h ^b'c') -h n(d' — a ') = o (moAin) ou bien
d' — a'=o (mod a).
Posons donc
a' as a a" -+- e,
où e est égal à o ou à i ; on aura aussi d'= a«f-H«,
c'est-à-dire
(mod an1 1
ou bien encore
/tt24-l o \
VseI ) (modm2).
\ o rc5-j-i/
Les substitutions V définissent un sous-groupe homogène d'indice jjl(2/i2). Donc :
Pour n pair les substitutions de Y qui laissent invariables toutes les ?mu forment un sous-groupe homogène T^o/*5).
136. Un problème d'un autre génie consiste à rechercher les substitutions de T laissant invariable une fonction rshku particulière.
Pour cela formons tout d'abord l'équation de périodicité de ?hk relative aux indices.
La relation (6) (n° 134) donne
(— +tif) (»---*■) / 2* A
(i) <y/l+pnii,+f/nu = e\ " M « Ulu 2*),
7), z ayant la même signification qu'au n" 134, avec
V = />*il-+-<n2, z' = pZt-]-CJZ2.
D'autre part, d'après la formule (2) (n" 134)
(2) a( « — — — iz'\ = (— ])/"r+-p+ie~i'] \~ ~*~*'a(u— — ) ; de plus (6) peut s'écrire
(3) C7(M__j:j:=e n \ *)<ihku.
Multiplions membre à membre (1), (2), (3) et observons que d'après (3) (n° 134) on a
, , iti ;
rt z — 7]Z = — (— pk -+- qh),
il vient
(4) 9h+,m,k+,in={— ly-l+f+V e n '' '> g^fc,
qu'on peut écrire encore
(5) a,l+rn>k+,,nU = (—i)p*+f»/ + ^e~T{p/'-1,')a/i/(U.
Cette relation montre que si l'on ajoute aux indices de VhkU des multiples de n la fonction se reproduit multipliée par un facteur constant qui est une racine de l'unité. Il suffit donc de considérer les fonctions VhkU dans lesquelles les h, k ne sont ni l'un ni l'autre congrus à n.
Voici une autre fcmnule importante.
Soient a, (3, y, o les éléments d'une substitution modulaire quelconque, les formules (i) et (7) du n° 134 donnent
(6) <JAa+*Y,/,p-^o(-i, -S2) = <7/iA-0-i-+- 3-î, Y*|-t- 0-2)-
Cela posé, si une substitution modulaire I ^ ) change •"Aà^i, -:>) en elle-même, c'est-à-dire si l'on a identiquement
»A*(**1 H" 0^2, Y-i-H 0-2) = <T/tyt(-i, S2),
on aura aussi, en tenant compte de (6),
Il suit de là
/ix -4- A :y = /1, /* p -4- A3 = A- ;
d'où successivement
et comme
on obtient finalement
Donc la substitution considérée est parabolique (n° 2o) Posons
d'où
soit cl le plus grand .commun diviseur de /i, /•, posons h — dh', k = dk' ; on aura
-Pr-
ao —
et, en désignant par d el p deux entiers,
— Y = X/t', 6 = XA' = ; jl /* ' , [i = iik'.
De la relation \k' = ]xh' il suit, h' et k' étant premiers entre eux,
X = rh', \i = rk', d'où
a = i -+- rh' A', [3 = /-A'2, Y = — rA'*, o = i — rh' k' .
La substitution considérée ( „ j est donc la puissance d'ordre r
de la substitution parabolique d'amplitude i
hh'k' k'»
Supposons que les trois nombres /i, /:, /i soient premiers entre eux. Alors deux puissances de V seront congrues à /*, s'il en est de même de leurs exposants, et dans ce cas seulement. En efl'el si Vs = V7, c'est-à-dire si
i -h sh'k = i -+- th'k', sA'2 = fA'2, — -s/i'2 = — */t'2, i — sh'k'=n — th'k' (modn),
on conclut nécessairement, d'après l'hypothèse,
5 = £ (mod n);
et réciproquement si cette dernière relation a lieu, il en est de même des précédentes et l'on a Ys = V7.
Donc les seules puissances de V qui soient distinctes sont
En combinant ces dernières substitutions avec celles qui laissent invariables toutes les o-^a, on obtient toutes les substitutions qui laissent invariable la fonction particulière o^a considérée.
Les sous-groupes ainsi formés sont équivalents, puisque le sous-groupe formé des substitutions qui laissent invariables toutes les <3hk, est un sous-groupe invariant; et les sous-groupes tels que
sont tous équivalents, car cette propriété appartient à toutes les substitutions paraboliques ayant un pour amplitude (n° 97).
Proposons-nous de déterminer le nombre des fonctions <tm, pour lesquelles h, k, n sont premiers entre eux.
Soit p{ un facteur premier de n. Pour former un couple de nombres />, k plus pelits que n et ne renfermant pas tous deux le facteur />,, on peut combiner un des — nombres inférieurs à n et
divisibles par />, avec un des (n — — j autres nombres restants,
ou bien un de ces derniers avec un quelconque des nombres inférieurs à n, de sorte qu'on a en tout
— ( n — — J -+- ( n — — ) n = n2 ( i — , Pi\ PiJ \ PU \ Pï.
combinaisons. Or si p2 est un facteur premier de n. autre que/?,, parmi les —, ( n j et« nombres considérés, il y en a respectivement
divisibles par/>2) en sorte que, parmi les combinaisons formées, il y en aura
-(,,iU(n Jt)» »!(,')
PiPt\ PU \ PU PÎ PÏ\ PÏ/ constituées par deux nombres divisibles paryp2- Il reste donc
H1-à)-Fi(,-à}=n'(?-?î)('-à)
combinaisons de deux nombres n'ayant pour facteur commun ni/>i, ni p2. En continuant de la sorte, on trouve que le nombre des combinaisons de deux nombres h, k inférieurs à n, et tels que /*, k, n n'aient aucun facteur commun est
-('-sr)(-à)~(-A>
pr étant les différents facteurs premie
/>,, /?2, . . ., pr étant les différents facteurs premiers de n. Posons
(l) On sait que dans la théorie des nombres la notation cp(n) indique combien il y a de nombres inférieurs à n et premiers avec n.
Alors l'expression (7) peut s'écrire d'où
Calculons maintenant le nombre des sous-groupes équivalents au sous-groupe, qui laisse invariable l'une des <taa.
Ce dernier sous-groupe a été obtenu en combinant V et ses puissances avec le sous-groupe qui laisse invariable toutes les <t/m et qui se compose de substitution toutes congrues à un, suivant le module n. Par suite au sous-groupe considéré de T correspondra dans G^h) le sous-groupe (I, V, V2, . . . , V"-1 ).
Pour résoudre le problème proposé, nous chercherons donc à déterminer le plus grand sous-groupe de G^,^ admettant ( 1 , V, ...,V"~*) comme sous-groupe invariant.
Considérons, pour simplifier la fonction u0| ('), dans le cas actuel
h = 0, k = i, d'où
et
est permutable avec le groupe (1, S, S2, . . ., S"-') on a U-iSU = S'\
c'est-à-dire
' 1 — ay
(mod n);
( ' ) Il est à peine besoin de dire que le raisonnement s'étend à n'importe quel couple de valeurs h, k.
CONSTRUCTION DES FORMES MODULAIRES. 23o,
d'où il suit
(8) i-*im±i \ x
(9) i-+-ay = ±:i t (mod n).
En faisant la somme des congruences (8) et (9), on obtient 1 =± x (mod n),
en sorte que, si n > 4> on doit prendre le signe -h, et la relation (8) montre que
(1 1) ay = o (mod n).
Multiplions la congruence (11) par 0, puis (10) par — (3 et sommons ; nous aurons, en tenant compte de ad — (3y == 1 ,
yso (mod n), d'où
aô st 1 (mod n).
On peut donc donner à x une quelconque des <p(/i) valeurs non congrues à n et premières avec « ; pour chacune d'elles 0 est déterminé, et (3 peut prendre n valeurs.
Par conséquent, le nombre des substitutions U permutables avec S est ncp(/i); elles se réduisent à - no(n), car on peut considérer comme égales deux substitutions dont les éléments sont égaux et opposés. Par suite, le nombre des sous-groupes distincts équivalents au sous-groupe qui laisse invariable l'une des <7/,k est \J.(n) :-n'b(n), c'est-à-dire ty(n).
Donc : Les fonctions cr^*, pour lesquels h, k, n n'ont aucun diviseur commun, sont au nombre de o(n)ty(n) et se partagent en^(n) systèmes, chacun d'eux comprenant o{n) fonctions invariantes dans un même sous-groupe de r(').
( ■ ) Ces conclusions ont encore lieu pour n = 3 ; il en est de même pour n = 2, car alors il est indifférent de prendre le signe -+- ou le signe — dans les relations (8) et (9). Pour n — 4, outre les substitutions formées à l'aide du raisonnement précédent, il en existe detix autres qu'on obtient en prenant le signe — dans les équations (8) et (9), ce qui donne
9.\o DEUXIEME PARTIE. — FONCTIONS POLYEDRIQUES ET MODULAIRES.
Supposons maintenant que h, k, n aient un diviseur commun t.
h = th', k = tk\ n = tn' .
La formule (6) (n° 134) donne
" —, :) / ih'zi-+- 2A.S2 \
en sorte que dans le cas considéré, <Shk peut être regardée comme une fonction <jw relative au diviseur n'. Donc :
Les t^a, pour lesquels h, k, n ont un plus grand commun
diviseur t > 1 , sont au nombre de o(-) <b(-j, et se partagent
en <[» ( — ) systèmes, chacun d'eux comprenant o (- ) fonctions
invariantes dans un même sous-groupe de T.
137. Les puissances /iièmesdes ^m sont aussi des fonctions invariantes dans certains sous-groupes de T.
Pour n impair, les formules (2) (n° 13o) donnent
( a)lku)n = el"-') Tù[-h*b + hk,a-d\ + kU] [ ahk u j«( c'est-à-dire puisque n — 1 est pair
Pour n pair, les formules (9) (n° 134) donnent immédiatement
(«A*»)**— (qptt)»».
Donc les substitutions V=i(mod/i) laissent invariables les fonctions {?hku)~n et, dans le cas où n est impair, les fonctions (<7hku)n*
138. Les fonctions 07,* considérées jusqu'à présent sont des fonctions homogènes, ou comme on dit encore des formes, de s(,
z-o, de degré 1 .
Rappelons la formule
r13«î °° / sin2 \
(0 „«2f!#%rij1«fT/ , î£L\.
«,111 sin2y^i/
Posons, comme plus haut,
h rii ■+■ kri2= 7), hsi -+- kzi = z, nous aurons, d'après la formule (7) (n° 134),
ou, tenant compte de (3) (n" 134),
km* , -. / mu" -— ■ \ (1) cr/,/, (*,,*,) = eni-* sin Il 1 1 •
Comme on le voit, à l'exception du facteur s2, toutes les autres dépendent uniquement du rapport — ; c'est ce que nous voulions établir.
En conséquence, si l'on prend les quotients de puissances égales
des <j/,k, on aura des fonctions de — > invariantes dans certains
sous-groupes de T, c'est-à-dire des fonctions modulaires.
139. Pour de ne pas dépasser les limites du cadre assigné à cet Ouvrage, nous n'appliquerons les théories précédentes qu'à un seul exemple, le plus simple de tous, celui des fonctions invariantes dans le sous-groupe T0. Ici n — 2 ; les fonctions <s"hk sont des formes invariantes, et leurs rapports sont des fonctions invariantes.
JNons nous proposons d'exprimer, à l'aide de ces fonctions invariantes, une fonction invariante A, que nous allons définir.
Nous savons (n" 131 ) que si Z, z et z' sont liées par les relations
z' est une fonction uniforme de £, ou, d'une façon plus précise, une fonction modulaire appartenant au sous-groupe rc.
Il en est de même si, au lieu des relations (1), on considère les relations
ii) Z'=i^-til, Z = i(z),
Z et Z' étant exprimables rationnellement l'un par l'autre, c'està-dire liés par une relation linéaire.
Nous supposerons
(3) Z'=^li'
de plus, au lieu de z* nous introduirons une fonction linéaire de z'. Ce sera encore une fonction modulaire du groupe T6. Soit
T ah 1—
,lS , A + fi/ a
la relation que nous établissons entre z' et a.
En tenant compte de (3) et (4), la première des relations (2)
devient
Z — 1 (aX* — 3X2— 3X-4-2)*
On en déduit facilement
■27X»(X — i)« qu'on peut écrire
Z — 1 : z : 1 = (aX«— 3X2 — 3 X -h 2)2 : 4(X«— X -+-ij8 : 27X2(X — 1)2
ou encore, Z étant égal à J,
v]g\'.g\ :A-(2X3= 3X>— 3X -4-2)«:4(Xs— X + i)3 : 2jX2(X — 1)*.
Ces formules montrent que les valeurs de X, correspondant à J = oo, sont X=i, o, 00. Or, les nœuds du réseau de T6 sont des points de l'axe réel, c'est-à-dire des points homologues dans T du point à l'infini; d'autre part pour s = 00 on a J = 00, donc en tous les nœuds du réseau de Tc, on a J = oo, et par suite en ces nœuds X prend les trois valeurs 1, o, 00. Comme parmi les nœuds du réseau considéré figurent les points z = 1, o, 00, on voit qu'aux valeurs 1, o, 00 de z correspondent dans un certain ordre les valeurs 1, o, 00 de À. Cet ordre est arbitraire; car z1, et par suite X, n'a pas été défini d'une façon unique, mais seulement comme racine d'une équation algébrique. En fixant cet ordre d'une certaine manière on définira X sans ambiguïté.
Nous adopterons la correspondance suivante
(5) MO = i, X(o) = o, X(oo) = oo.
Si l'on fait subir à z une substitution modulaire, A devient une autre racine de l'équation entre J et A; mais ro étant de genre zéro (n°98), toutes les racines de l'équation sont des fonctions linéaires de l'une quelconque d'entre elles (n° 133, a). En d'autres termes, à chaque substitution modulaire de z correspond une substitution linéaire de A.
Cherchons les substitutions linéaires de A correspondant aux substitutions S, T de z.
Soient
ces substitutions, de sorte que
Remplaçons dans ces relations z successivement par i, 0,00, en tenant compte de (5) et observant que
X(z) = X(o), X(— 1) = X(i), nous aurons
a-hb 0 — j'
d'où
en sorte qu'on peut poser
et les relations (6) deviennent
Les substitutions S, T engendrent un groupe holoédriquement isomorphe au groupe GG, c'est-à-dire un groupe diédrique. Les
1r\f\ DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS POLYEDRIQUES ET MODULAIRES.
6 substitutions de ce groupe sont
ST
Ainsi, en désignant simplement par a une des valeurs de a correspondant à une valeur déterminée de J, les 6 valeurs de a correspondantes, c'est-à-dire les 6 racines de l'équation
4(Al-A-t-l)3
seront
..il X — i X
Posons
et donnons à a,, a2 la signification plus précise suivante :
Kl i 71 1
v/tc v^X' v'71 V X'
a' représentant la dérivée de a par rapport à z. Nous aurons
= ( aXJ — 3 Xf X2 - 3 X! XI — 2X3,)2 : 4 (X? — Xj X2 + X|)« : 27X2 X|( X, — X2 )K,
ou bien, en désignantpar h un facteur que nous déterminerons plus
loin
l -i.-jhg\ = (2Xf— 3X?X2— 3X,X| + i\\y,
( /tA = 27X?Xl(X1 — X2)2.
Puisque a,, a2 sont des formes du premier degré en £<,£*, tandis que g2, gz, A sont respectivement (n° 129) de degrés — 45 — 6, — 12, il en résulte que h est une forme du 18e degré.
Pour déterminer cette forme, il faut trouver les substitutions linéaires et homogènes que subissent a, et a2, quand À subit les substitutions S, T.
Soit, en général, ( ) la substitution subie par "k, quand on
ipplique à 3 la substitution ( J, on aura
(9) Xfi^4) = ^fi
En dérivant, il vient (dans l'hypothèse aô — fio = i)
i ,,/ag-f-ft\ ad—bc .
ou bien
, /<-rrf — 6c(y-3-+-8) cl(z)-*-d /X'(*)
iA(ê
Or, la seconde des relations (7) donne
mm
et, par suite, il vient pour (10), en tenant compte de (7),
(11) ±.s/ad— 6cXs(as,-{- (3s,, y-Si-1- 0*2) = cXi(.= t, s2)-h dX2(zu zt), et enfin, pour (9),
(12) ± \/ad — bc\i(zzl-+- Jî s2, Y^i-t- Ssj) = a'ki(zi, zt) •+■ 6X2(«i, z2).
Les formules (1 1) et (12) donnent les deux substitutions homogènes correspondant à la substitution non homogène (9).
En particulier, aux substitutions non homogènes S, T correspondent les substitutions homogènes suivantes, que nous désignerons par les mêmes lettres :
\ ±ili(zl^-z2,tzt)= — X,(*t,*«) + Xj('3„*,) ( ± ilt(*i -+- *«i *«) = Xj(*„ **)
j ±iX,(— *,, *i) = Xt(*i,**)
) ± »Xj(— *j, *|) = Xj(*t, *j)'
Pour donner à ces formules une forme plus concise désignons respectivement par )v a" les transformées de X; par les substitu-
•346 DEUXrÈME PARTIE. — FONCTIONS POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES.
tions S, T, nous aurons
JX'jsa-Xt + X, . ( ±»Xï = X,
:X'2 = X2 ( ± i'X'i = Xt
Il est facile de vérifier que S et T transforment en elle-même la forme [À,)^^, — X2)]% qui estî Par suite, une forme modulaire principale, et eomme cela a lieu également pour A, il en sera de même pour le produit
mais ce produit est de degré zéro; c'est donc une fonction principale, c'est-à-dire une fonction rationnelle de J. D'autre part, il résulte de la dernière équation (8)
(i3) S'AtXjX^X!— X,)]*=A*A»,
en sorte que A2 A3 est une fonction modulaire principale, donc une fonction rationnelle de J, soit p(J), que nous nous proposons de déterminer.
Dans ce but, observons tout d'abord que si l'on représente sur un plan les valeurs de la fonction X(.z), et que sur ce plan l'on construise la surface de Riemajnn, dont chaque feuillet correspond à un bi triangle du réseau T6, les points de ramification de cette, surface correspondront aux nœuds du réseau considéré, et par conséquent c'est seulement en ces nœuds qu'on aura X'(*) = o.
Il suit de là que X;(«) n'est jamais nulle en des points extérieurs à l'axe réel.
Or, comme dans le réseau modulaire, le seul point du triangle fondamental où X = oo est le point à l'infini, X( et X2 auront des valeurs finies pour toute valeur finie de z située dans ce triangle. On peut en dire autant de A, comme cela résulte de son expression; et dans le réseau modulaire, le seul point du triangle fondamental, où la fonction (i3) pourrait devenir infinie, est le point à l'infini. Or, onaT=o pour z = icc (n° 129) et les valeurs approchées de g2, g*, A pourz = ioo sont {voir les formules du n° 129)
d'où
**=-(-;> tt-sisu,''
CONSTRUCTION DKS FORMES MODULAIRES. 247
D'autre part
d'où la formule approchée
ou bien
Prenant la dérivée et remarquant que -7- = aiciT, il vient
dz •ni
puis, d'après (7)
lZ1 -i Ot-ôj .y-
d'où et enfin
Donc, la fonction considérée ne devient infinie en aucun point du triangle fondamental, par suite en aucun point du plan; elle se réduit par conséquent à une constante qui est précisément 3e. ik .
On a ensuite
et les formules (8) deviennent
aXf — 3XJX,— 3X,X|-HaX|« ^-s
Xf — X,X«-»-X|»i îç,
XiX|(Xi— Xi)=P -y-
--X.XKX.-X,)-
Jl{8 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES.
Comme V reste invariable par les mêmes substitutions que X, -^- est une fonction modulaire du sous-groupe T6. D'autre pari, a*, est une forme modulaire de degré 4 du même groupe, de sorte que -2^ est une fonction modulaire.
De même 9 = -^- est une fonction modulaire du groupe T6. Je dis que t0) et pi restent tous deux invariables par la substitution S.
En effet, tout d'abord, en faisant dans la formule (i) (n° 138)
h = o, k = i , n = 2, on obtient
ff0l =
et il est facile de voir que <70i reste invariable par la substitution homogène S
Quant à jjl, on peut remarquer que si l'on applique à zt, z2 la substitution S, X subit la substitution linéaire correspondante
, de sorte que
l'(z-hi) = —l'(z) et, par suite,
{Jt(^l -t- ZS, -Z2) = — "T — TTTT 1
- -y FT77I)? ~ rt*11 Z2)-
Donc la fonction 9 = — est invariante par la substitution S. Si maintenant nous considérons la partie d'un champ fondamental de r6 comprise entre deux droites parallèles à l'axe des^K, distantes entre elles de la longueur i , 9 prendra dans cette aire toutes les valeurs dont elle est susceptible. Prenons, en particulier, pour champ fondamental celui de la figure 29 (p. 1 35), et comme bande, la bande comprise entre les droites d'abscisse ± -• Dans ce champ, 9, si
CONSTRUCTION DES FORMES MODULAIRES. . 24g
elle ne se réduit pas à une constante, doit prendre la valeur oo. On peut en dire autant de -r- Donc 9 doit prendre aussi la valeur o.
Or, on peut démontrer que dans le champ considéré, excepté aUx points z = o, z = i oo, 6 ne peut devenir ni nulle, ni infinie. La fonction a0l, comme cela résulte de son expression, est toujours finie et différente de zéro pour toutes les valeurs finies et complexes de — ; d'autre part, puisque pour z fini et différent de zéro,
A et k2 sont finis et différents de zéro, il en est de même pour p : c'est ce que nous voulions établir.
Il suit de là qu'au point z = *oo, 9 doit être nulle ou infinie.
Calculons maintenant directement la valeur approchée de ô au point à l'infini; Puisque
lim sin.s = ix, on a, comme expression approchée de o-01,
aoi = -»
D'autre part, les expressions approchées de X, X' donnent
ce qui prouve que 6 se réduit à une constante, de sorte que
Faisons maintenant, dans les formules (6) (n° 136),
h = o, k = \, a = o, fï= — i, Y = I> 8 = o; nous aurons
^loC^i, -32) = ^OlC zî, z\ )i
relation qui exprime que, par la substitution T, <70t se change en <x,0. D'autre part T change A2 et À, respectivement en ±:A,,
± A2, ce qui montre d'après la dernière formule ( i4)> que ^* se
25o DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES.
transforme en zp «A4. Il suit de là que
A* se transforme en
de sorte qu'on obtient la relation
En la combinant avec
ffo i = — % F
trouvée plus haut, on obtient
F ffJi ou bien
Nous sommes donc parvenus à exprimer X à l'aide des formes modulaires du sous-groupe homogène T0.
On peut, au moyen de l'expression trouvée, donner facilement une interprétation géométrique de la fonction \.
On sait que si zt est une des demi-périodes zt,z2,z3(z3 = — s, — z-2) on a
pu—pz; = S J i U..
D'ailleurs
<j(u — Zi) — — e^i'la(u-+- Z(),
donc on peut écrire
Donnons à i successivement les valeurs i et 2, faisons u = »,•, divisons membre à membre les deux équations résultantes, et posons comme d'habitude
p Zi = eti nous aurons
e3— e2 g8(f|,Y|.).. a'-Zj^iZi + Zz)
CONSTRUCTION, DES FORMES MODULAIRES. 9.5l
Or, <r« est une fonction impaire, de sorte que
ir(4j-»-Xj) = a( — .?2) as— Tz2, de plus, d'après la formule (3) (n° 134), fat — *)t)*s = (*)» — li )(*i-+- *t)
TU
et la formule précédente devient
e3 — e2 ./. . . i 0TVZ|
D'autre part [formule (7) (n° 134)]
<iio = — e 2 a-,, u01 = — e 2 <j,s2)
X = g2 (ïl.S.-ïl.S.) Zlfi (T*Z2
et enfin
Rappelons que e,, e2, £35 °° sont les quatre racines de la forme biquadratique fondamentale des fonctions elliptiques, réduite à la forme de Weierstrass
^2(4^1 — gi*\ Xi— g* x\);
on peut dire que la fonction X est le rapport anharmonique des points ayant pour abscisses ces quatre racines, prises dans un ordre convenable.
Il résulte de là :
i° Que les six valeurs de À nous donnent les six valeurs du rapport anharmonique des quatre points pris dans toutes les dispositions possibles (on le voit d'ailleurs directement sur les expressions déjà trouvées des six rapports);
20 Que, à cause de la propriété invariante du rapport anharmonique, \ exprime le rapport anharmonique des racines de la forme biquadratique, qu'elle soit ou non réduite à la forme de Weierstrass.
IVl DEUXIEME PARTIE. — KONCTIOXS POLYEDRIQUES ET MODULAIRES.
En suivant la même marche que précédemment, mais avec des calculs toujours de plus en plus compliqués, on pourrait obtenir à l'aide de z les expressions des fonctions invariantes respectivement dans les sous-groupes r,2, T24, r00, fonctions dont nous pouvons a priori affirmer l'existence, en vertu du théorème du n° 132.
Équations polyédriques et modulaires (»).
140. En égalant à une constante une quelconque des fonctions polyédriques ou modulaires, on obtient ce qu'on appelle une équation polyédrique ou une équation modulaire.
Ces équations peuvent être résolues par une méthode unique, fondée sur la considération d'une équation différentielle, dite équation de Schwarz.
Soit en général Z(«) une fonction uniforme de s, prenant les
mêmes valeurs en tous les points homologues d'un réseau régulier
i î it u ajant pour angles — , — , — •
z peut être considérée comme une fonction de Z qui, pour chaque valeur de Z, prend plusieurs valeurs liées entre elles par des substitutions linéaires. Soient pour un instant pour s, Ç deux valeurs de 3, correspondant à une même valeur de Z, de sorte que
ou bien
Y*Ç -+- SÇ — az — p.
Dérivant successivement trois fois par rapport à z, et désignant les dérivées par des accents, on obtient
YOC-+--S' Ç) h-SÇ' — az' PS o, Y(*C'-+-3*' ?'-**** K) -+- K" — az" = o,
T(sC"+ 3-s'Ç'h- Zz'X'^-z'"t) 4- 8C— ««w= o,
(') Dans la théorie des fonctions elliptiques, l'expression équation modulaire est prise dans un tout autre sens; c'est la relation entre les modules de deux fonctions elliptiques liées par une transformation de degré supérieur au premier. M. Klein distingue ces deux espèces d'équations en leur donnant les dénominations de Modulgleichung et Modular gleichung . Pour nous, il n'y a pas de confusion possible puisque nous n'étudions que les équations modulaires au sens précis indiqué dans le texte.
EQUATIONS POLYKDIUQUES KT MODULAIHES.
d'où, en éliminant a, y, S,
i développant,
6 étant une fonction de Z, nous représenterons l'expression
6' 2^6'/ par la notation
Alors la dernière relation trouvée peut s'écrire
(O [CN"-E*Jii
elle exprime que [s]z est une fonction uniforme de Z.
Pour déterminer l'expression [s]z, observons que la formule (i) du n" 130 peut s'écrire
et que, d'après les formules (i), (2), (3), (4), (5) dfu même paragraphe, on a successivement :
Pour un point £0, distinct d'un nœud,
'our un nœud a
d'où (a)
.,„ k(\ — vi)(i — avi) lm --3
[z]zss iJ^ra-,) '•
«4 DEUXIEME PARTIE. — FONCTIONS POLYEDRIQUES ET MODULAIRES.
Pour un nœud b ou c, par un calcul analogue, on a respectivement
Dans le cas où l'une des quantités v, par exemple v2, serait infinie, en posant
A- —lz -h(k + bl)
on a d'où
v = LogZ, v' = Z-i, v" - — Z-«, p* as 2 Z-», et, par conséquent, en tenant compte de ( 1),
qui se déduirait de la formule obtenue dans le cas général, en y faisant v2 = 00.
Donc [^]z est une fonction uniforme de Z, qui admet Z = 00 pour zéro d'ordre deux, et n'a d'autres points singuliers que les deux pôles d'ordre deux z = i, s = o. C'est donc une fonction rationnelle (J) de Z de la forme suivante
,,, r -, p -+- sZ -+- 'Z2
p. a-, t étant trois constantes qu'il s'agit de déterminer. De (2) (3), (4 ) résulte
LimJ Z"-\z\L ! = - ,
Z = 0 '^Vj
Limj Z2[^lz |
(') D'après les principes de la théorie générale des fonctions, [z]t étant uniforme et ayant pour seules singularités des pôles est une fonction rationnelle; de plus, les pôles doivent être les zéros de son dénominateur. Comme l'infini est un zéro d'ordre 2, le degré du numérateur est inférieur de deux unités à celui du dénominateur, ce qui conduit à la formule (5).
KQIATIONS POLYEDRIQUES HT MODULAIRES. . 255
et, d'après (5), d'où
v*-. vl-I vî — I
La fonction cherchée est donc
ï\v? + vf vf 7z(Z-i^ + aVI v|/(z-i)*
On peut écrire aussi
'/JL L__L \ l aVv? vj vj VziZ-i)'
L'équation différentielle écrite sous l'une ou l'autre des deux formes (6) et (7) s'appelle équation de Schwarz.
141. L'intégration de l'équation de Schwarz peut se ramener à l'intégration d'une équation linéaire et homogène du second ordre. Soient l'équation linéaire
(0 y"^-py' '+-qy = 0
et 1 ,, JK2 deux de ses intégrales linéairement indépendantes; alors
s y\-Jrpy\-^qy\ = °:
' y\ •+■ py\ + qy* = °.
d'où il suit
y\yi—y\y\ y'\yt-y&i
et en posant
on aura
V' = y\yi—y\y\ 2 Zi , V y\y-2—yiy'2 y^
et, à cause de (3),
Par une nouvelle dérivation, on a
d'où
y* y\ » \ yt
= — p' — l p2 7 Zi 2/, Z* , où, d'après la seconde équation (a),
Donc le rapport de deux intégrales d'une équation linéaire et homogène du second ordre satisfait à une équation de Schwarz bien déterminée.
Donnons-nous, au contraire, une équation de Schwarz
(4) hJz=/\ Posons
(5) r = -p'— ^P2-+- zq,
où p et g sont deux fonctions inconnues; si l'on prend/? arbitrairement, q sera bien déterminé et il en sera de même de l'équation du second ordre (i) correspondant à l'équation donnée (4). De l'intégrale générale de (i)
y = C1JK1-+ dy2 on déduit aussitôt l'intégrale générale de (4)
= CiJKi+C2JK2
Cs v, -h C472 '
ÉQUATIONS POLYEDRIQUES ET MODULAIRES. ' 2j;
Supposons au contraire qu'on connaisse l'intégrale 7) de (4) Posons
(<">) Art— yiy%—yW-9',
on a, d'après (3),
v'-'r pv = o;
d'où, en intégrant et désignant par C une constante arbitraire,
) v = Ce
La relation (6) donne ensuite
-CeS".
d'où enfin
li2. On pouvait prévoir qu'à une équation (4) donnée devaient correspondre une infinité d'équations (i); car, r\ étant donnée, il v a une infinité de couples de fonctions yt, y2 dont le rapport est égal à y;. Si donc nous choisissons un de ces couples, nous aurons par là même défini l'équation du second ordre correspondante. C'est bien le cas actuel, puisque les formules (i) du n° 128 déterminent £,, t-2 comme fonctions de Z (et d'une autre variable X).
Nous nous proposons de construire l'équation du second ordre, admettant comme intégrales /( et t2.
Posons, pour simplifier,
Fi(*i, *,).»* F/f FK*,i) = */,
az v,
nous aurons, en vertu des propriétés connues des fonctions homogènes,
F/=^, fi=4-.*;, ttVtwmMlp+M»it
1 dzi l dzi dzt
4>i = — F/ = — T (zt- h SS j-î
Cela posé, dérivons par rapport à ; la relation
Fv. <pV»
nous aurons
;<î>v3'-f-1. s^**-1 L/c3 àzx V1 d*i ~2 d«j
dZ
Or
et (théorème d'Euler sur les polyèdres n° 52)
kf+- a = A-2+ Â-3, d'où, c désignant une nouvelle constante,
*»,~1 » /^F« ^F, dF, à¥t\dz
1 C <P^+1 t% \àzi dz2 dS\ àzt / dZ '
Mais (n° 123) F, étant, à un facteur constant près, le déterminant fonctionnel de F2, F, ; en désignant par h, k deux constantes, on aura successivement
cp^--1 ^ i dz *\* 4», dz^ 11 dz = lz\Z dz
l==hW1Al dl~ V[> ***> d'L ~ X{z, i) dZ X 3Z
dz X
dZ ~ IzfZ'
c'est-à-dire (en considérant comme au n° 128 les 3,, S% comme fonctions de Z et de X)
dz\ dzj X
z*dx ~Zidï m W
ou bien, à cause de (7) (n° 141),
ÉQUATIONS POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES. »Sg
On tire de là
/ p d'L = LogZ -+■ Log =->
et dérivant par rapport à s
p une fois connue, /• et q sont données respectivement par le second membre de (6) (n° 140) et la formule (5) (n° 141). L'équation différentielle à laquelle satisfont zt et s2 est donc
»°^+^'-<-4z-lz'-l).[-.^ + (4+vi-^+')z-4z']r-
Elle appartient à la classe bien connue des équations de Riemw \
M p"+ZTT^zT(A + BZ>p't-z?riz?(C-,-DZ + EZ*)P = 0-
On désigne habituellement l'intégrale de (i) par la notation
a, [il, v, a'. P', y' étant six constantes satisfaisant à la condition
a -+- a' -h £ -+- ^ -4- y -+- y' == ! , et liées à A, B, C, D, E par les relations
A = i — a -a', Bs-i-f-l, G = aa',
D'à-.af—pP'-K'n't E = ^'.
Si l'on pose
P = Za(i — Z)Yç, a = a+p + v, 6 = jB'-h y -+- a, c = i-f-a — a',
l'équation (i) devient
(2) Z(i — Z)<p' -+.[<? — (a + A + i)Z]o'— aôtp = o.
C'est une équation hyper géométrique ou équation de Gactss. Il est facile de vérifier directement que cette équation est satis-
faite par la série hyper géométrique
!„, , n ab „ a(a-r-\)b{b^-i)
y = F(a>ft>c,Z) = i-H-Z-H |<ac(c + 1) ^ g(q + i)(a-<-2)&(6-+-0(p + a)Zi, | f..2.3c(C -i- !)(c -+-2)
Si l'on pose
l'équation (2) se transforme en une équation du même type Z(Z — i)J/'-+-[c'— (a'+6'4-i)Z]^'— a'6'^ = o,
qui admet l'intégrale
Il en résulte que (2) admet l'intégrale
(/,) <? = Z»-cF(a', 6', c', Z).
Aux intégrales (3) et (4) de (2) correspondent les deux intégrales suivantes de (1) :
P = Z«(i— Z)YF(a, b, c, Z), P =Z"+i-«(i-Z)TF(a', 6', c', Z) = Z«'(l — Z)TF(a', b',c',Z).
