Dans le cas actuel, on a
4 \vj »l vï / 4*3
d'où
et, par suite,
-1, » = JL, [»'=--L,
2v2 av, 2V|
el
EQUATIONS POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES. ' 26l
Les deux intégrales trouvées prennent donc la forme
P = Z ïv«(i-Z)^ v^F(a',6',c',Z), (1) < v ' '
a, 6, c, «', b\ c' ayant les valeurs qu'on vient d'indiquer.
A l'aide de ces deux intégrales, on pourra exprimer sans difficulté les deux intégrales cherchées z{, z2; le rapport z = — donnera z en fonction de Z et permettra de résoudre l'équation polyédrique ou modulaire.
Pour faciliter cette résolution, modifions l'orientation des polyèdres de façon que le pôle d'une face coïncide avec le point de la sphère correspondant au point z = o du plan. Alors, pour z = o, on a Z = o, d'où (n° 130), k désignant une constante différente de zéro,
z = kZ**-h....
D'autre part, F3, s'annulant aux pôles des faces, doit contenir, une fois et une fois seulement, le facteur z, tandis que ce facteur ne figure ni dans F1? ni dans F3 ; alors dans le domaine de l'origine, on a
h désignant une constantcdifférente de zéro, et par suite
•2Ô2 . DEUXIEME PARTIE. — FONCTIONS POLYEDRIQUES ET MODULAIRES.
ou bien, eri désignant par X|, X2 deux constantes non nulles,
Donc, dans le cas considéré, les deux intégrales cherchées ne sont autres, à des facteurs constants près, que les intégrales (1).
144. Au lieu d'exprimer directement les irrationnelles polyédriques et modulaires (') par un développement en séries hypergéométriques de Z, on peut en se bornant à l'équation modulaire employer la méthode qu'on vient d'exposer. On cherchera ensuite à exprimer l'irrationalité diédrique pour m = 3, et les irrationalités tétraédrique, octaédrique et icosaédrique en fonction uniforme de l'irrationalité modulaire, ce qui est possible en vertu du théorème du n° 131. La construction effective de telles fonctions se confond avec celles des fonctions invariantes dans les sous-groupes rc, T(2, r24, r60 de T, problème dont nous nous sommes occupé précédemment.
Pour l'irrationalité modulaire, on a
Vi«* îj v2=3, v3=oc, d'où
