II
et les formules (1) (n° 143) donnent, à un fadeur constant près facile à déterminer,
Or, nous avons trouvé (n° 139)
(') Nous appelons pour abréger irrationalité polyédrique ou modulaire la fonction « de Z définie par Z = F(s), Fêtant une équation polyédrique ou modulaire.
Remplaçons dans le second membre z par l'expression (i), ), sera exprimée en fonction de Z, ce qui nous permettra de résoudre l'équation diédrique dans le cas de m = 3.
On parviendrait, d'une façon analogue, à la résolution des autres équations polyédriques.
Etude algébrique des équations polyédriques et de l'équation modulaire. Résolvantes.
145. Avant d'étudier les équations polyédriques au point de vue exclusivement algébrique, il convient de rappeler certaines propositions dont nous ferons usage dans la suite.
Etant donnée une fonction rationnelle/de plusieurs variables .r,, x2, ..., x„, on appelle groupe appartenant à la fonction fie groupe des permutations des variables, qui laissent cette fonction invariable; on dit aussi que la fonction appartient au groupe considéré.
Si f est une fonction symétrique, le groupe correspondant appelé groupe symétrique comprend toutes les permutations en nombre ni des variables .r,, x2, . . ., x„.
Si, pour toutes les permutations possibles, une fonction f ne prend que deux valeurs, le groupe appartenant à cette fonction est
formé des n ! permutations paires; on l'appelle groupe alterné.
Tel serait, par exemple, le déterminant de Vandeumondf. qui, par reflet d'une permutation quelconque, reste invariable, ou bien change de signe.
Soit A le discriminant des n variables, c'est-à-dire le produit
des carrés de leurs différences. Toute fonction appartenant
au groupe alterné est de la forme
où 9 et <l sont des fonctions symétriques; pour toutes les permutations des variables cette fonction est susceptible des deux formes suivantes :
Si, pour toutes les permutations des variables, une fonction / est susceptible de s formes diverses
le nombre s est le quotient de n ! par l'ordre du groupe, c'està-dire l'indice de groupe de la fonction, considéré comme sousgroupe du groupe symétrique. Les groupes des fonctions /, /,, /2, ..., fs\ sont autant de sous-groupes du groupe symétrique, équivalents au groupe de /et non nécessairement distincts.
Soient G, H les groupes des fonctions /, o; si H est un sousgroupe de G, / peut s'exprimer rationnellement à l'aide de cp et des fonctions symétriques, et réciproquement.
En particulier, quand deux fonctions /et cp ont le môme groupe, elles peuvent s'exprimer rationnellement l'une par l'autre, les coefficients étant des fonctions symétriques.
Etant donnée une équation algébrique, ses coefficients nous donnent les valeurs des fonctions symétriques des racines. Il peut arriver qu'on connaisse en même temps la valeur de quelque fonction ts des racines non symétrique. Si G est le groupe de cp, on connaîtra en même temps que ce la valeur de toute autre fonction du groupe G, puisqu'une telle fonclion est exprimable rationnellement à l'aide de cp et des coefficients de l'équation.
Si l'on connaissait les valeurs de plusieurs fonctions cp, i|», y, appartenant à différents groupes G, H, K, ..., on connaîtrait aussi la valeur de la fonclion
F = acp -t- $i> -4- XL -+-•••!
a, [i, y, ... élant des nombres quelconques distincts ou encore des quantités indéterminées. Le groupe de F est le plus grand sous-groupe commun à G, H, K, puisque la condition nécessaire pour que F reste invariable est qu'il en soit de même de chacune des fonctions cp, di, ^, .... On voit donc qu'on peut toujours se borner au cas où l'on connaît la valeur d'une fonction (et avec elle naturellement celle de toutes les autres fonctions appartenant au même groupe). Le groupe auquel appartient cette fonction s'appelle le groupe de V équation.
Pour une équation générale, c'est-à-dire où les seules fonctions
rationnelles connues des racines sont les fonctions symétriques, le groupe est le groupe symétrique.
Si, au contraire, on connaît par exemple la valeur de la racine carrée du discriminant, le groupe de l'équation est le groupe alterné.
Lorsqu'une équation est irréductible, son groupe est transitif ( m ' lp) et réciproquement.
Soient f(z) = o une équation de degré /?, dont les coefficients appartiennent à un certain domaine de rationalité (') G, y une fonction rationnelle des racines z, s,, z-2, ..., £«.,, et dont les coefficients appartiennent au même domaine. Si, par l'effet des r permutations des racines, /• désignant l'ordre du groupe G de l'équation, la fonction^ prend s valeurs diverses
y, yx-, r«i • ■•> r* u
les fonctions symétriques de ces s valeurs appartiendront au domaine C.
En effet, ce sont des fonctions symétriques des racines de l'équation donnée, dont les coefficients appartiennent à C. Ainsi y-ijx-f y-i- •■•■>ys-\ seront les racines d'une équation de degré s, dont les coefficients appartiendront au domaine C. Celte équation, que nous écrirons
(') <?(jK)=o,
est dite une résolvante de l'équation donnée. Le groupe G de l'équation proposée et le groupe H de la résolvante sont isomorphes (-); l'isomorphisine peut être holoédrique ou mériédrique; il est nécessairement holoédrique si G est un groupe simple.
Si l'isomorphisine est holoédrique, à chaque permutation des s autre que l'identité correspond une permutation des y autre que l'identité et vice versa. Donc, il n'y a que la permutation iden-
(') On appelle domaine de rationalité [a,, a2, . ..,an] l'ensemble des fonctions rationnelles de a,, «,, . . ., a„. Ainsi, par exemple, le domaine de rationalité [i] est constitué par l'ensemble de tous les nombres rationnels.
(•) En effet à chaque permutation des z correspond une permutation déterminée des y, d'autre part au produit de deux permutations des z correspond le produit des deux permutations des y.
a66 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES.
tique des 2 qui laisse tous les y invariables. Il suit de là que le groupe de la fonction
( 2 ) Y) sr ty -4- qti^j -|- . . . -f- fs-ifs - 1 )
où les a sont des constantes distinctes, comprend seulement l'identité, que les z s'expriment rationnellement à l'aide de t\ et des quantités du domaine C, et que, par suite, l'équation proposée peut être regardée comme une résolvante de (i). On dit alors que (i) est une résolvante équivalente, puisque la résolution de l'équation f(z) = o et celle de v(y) = o constituent des problèmes équivalents.
Si l'isomorphisme est mériédrique, à la permutation identique du groupe H correspond dans le groupe G un sous-groupe invariant G' : c'est l'ensemble des permutations des :■ qui laissent invariable la fonction (2). Supposons qu'on sache résoudre l'équation (1) et qu'on connaisse par conséquent la valeur de la fonction yj, le groupe de l'équation donnée n'est plus G, mais se réduit à G' ('). Donc, étant donnée une résolvante non équivalente, sa résolution réduit le groupe de l'équation à un sous-groupe invariant du même groupe.
Une résolvante équivalente particulièrement importante est la résolvante de Galois. On désigne ainsi l'équation irréductible dont l'une des racines est
fi, fif, fi-,, ..., fin^i étant des constantes distinctes. Puisque chaque permutation des z change la valeur de p, le groupe de la fonction p comprend seulement l'identité, et tous les z peuvent s'exprimer rationnellement à l'aide de p. De plus, comme toutes les racines de cette résolvante se déduisent de p en échangeant les z entre eux, ces racines sont des fonctions appartenant au groupe formé de la seule identité, et peuvent donc s'exprimer rationnellement à l'aide d'une quelconque d'entre elles.
Soient p, p,, p2, ..., p,, ces racines, on a
( ' ) G' est le sous-groupe commun au groupe de la fonction y et aux groupes qui lui sont équivalents.
les !// étant des symboles de fonctions rationnelles. Chaque fonction 'li correspond à une permutation déterminée S,- du groupe G, celle qui change p en p/; au produit des deux permutations S/, S^ correspond la fonction «i/^/,. Donc les «J>/, regardés comme symboles d'opérations, constituent un groupe F, holoédriquement isomorphe au groupe G.
Soit
Ci) F ( u ) = o
la résolvante de Galois. Appliquons-lui le changement de variables
<?*=4>A(u), elle devient
Les racines de (3) sont
Celles de (4) sont les expressions de v que l'on déduit des relations
**»<*).« p, ta1 00 = ^i(?). ■••. ^'(0 = ,V-.(P)Î c'est-à-dire
(5) ps=f^A(p), p = -},6/i(p), ..., p = 4*# — i4*/*Cp)-
Mais puisque les opérations <b forment un groupe, les opérations (5) ne sont autres que <}, ^,, <i2, . . ., <br rangées dans un certain ordre. Donc les équations (3) et (4) ont les mêmes racines et par suite chacune des fonctions 'b transforme en elle-même la résolvante de Galois. Cette résolvante jouit donc de la propriété d'admettre des transformations rationnelles en elle-même, et le nombre de ces transformations est égal à son degré.
Réciproquement si une équation irréductible de degré /•
F(u) = o admet /• transformations rationnelles en elle-même
on a, en désignant par h l'un quelconque des nombres 1,2,..., /• — 1 ,
On voit que si p est une racine de l'équation donnée, il en est de même de la quantité u donnée par
c'est-à-dire de
Donc les racines de l'équation sont toutes des fonctions rationnelles de l'une d'entre elles, et l'équation peut être regardée comme sa propre résolvante de Galois. En outre, le groupe formé des opérations <j> est holoédriquement isomorphe au groupe de l'équation, et peut être pris évidemment pour groupe de l'équation.
146. Appliquons les considérations précédentes aux équations polyédriques.
Soient
une équation polyédrique (ou cyclique), G le groupe correspondant, n l'ordre de ce groupe. Si l'on soumet l'équation aux n substitutions linéaires de G, l'équation ne change pas, en sorte que G peut être considéré comme le groupe de cette équation. De plus G est transitif, car, si l'on prend deux points homologues quelconques, il existe toujours dans G une substitution qui échange ces deux points. L'équation est par suite irréductible. Donc :
Toute équation polyédrique est irréductible; son groupe est le groupe polyédrique correspondant, et elle peut être considérée comme sa propre résolvante de Galois.
147. a. La résolution des, équations cycliques est du domaine de l'Algèbre élémentaire.
(') Les deux membres pourraient aussi différer par un facteur constant, cela n'a pour nous aucune importance.
En efl'et, l'équation (l) Z' = Z
se résout au moyen d'une simple extraction de racine
h. De même les équations diédriques
sont des équations élémentaires; elles appartiennent à la classe des équations qui se ramènent au second degré. Nous pouvons, cependant, leur appliquer les théories générales précédentes.
Puisque le groupe diédrique d'ordre n = am contient un sousgroupe cyclique invariant d'ordre m, nous prendrons comme résolvante (non équivalente) de (2) une équation ayant pour racine une fonction appartenant à ce sous-groupe, par exemple la fonction zm = Z, . Cette équation
se réduit par voie élémentaire à l'équation cyclique du deuxième ordre
(Z,-2Z + i)*=4Z(Z-i), d'où
Z1 = 2Z — i-+-2v/Z(,Z — 1) et enfin
z=.s/'iL — 1 + 3 </Z{Z — i).
En particulier pour le groupe trirectangle (m = 2)
(3) z = \JiZ — \-^i\/'L{'L — \) = <JZ + */Z — \.
c. Le groupe tétraédrique admet comme sous-groupe invariant un groupe trirectrangle. Or l'équation tétraédrique
a.3 / z'* -+- 2 ty/3 z* -4- l \ 3 „ P ~ \z^—2i^z9-^-iJ
270 DEUXIEME PARTIE. — FONCTIONS POLYEDRIQUES ET MODULAIRES.
peut s'écrire, en posant a = e 3 ,
ou encore
LO*+-i)2+4a2*2J
Prenons pour résolvante une équation ayant pour racine une fonction invariante dans le groupe trirectangle, par exemple la fonction
L'équation cherchée, qu'on déduit aussitôt de (4), est
C'est une équation cyclique, d'où l'on tire
y/Z - i et, en tenant compte de (3),
(6) ^^/zi+v/ZT^T,
Z( étant donné par la relation (5).
cl. Le groupe octaédrique contient comme sous-groupe invariant un groupe tétraédrique.
Or, l'équation octaédrique
en vertu des relations (n° 125 et n" 126)
W = otJ>, iii \/3t-— œ3-t- <{,* = o,
peut s écrire
Prenons comme résolvante une équation dont l'une des racine;
KTUDE ALGEBRIQUE DES EQUATIONS POLYEDRIQUES ET MODULAIRES. 27 1
soit une fonclion invariante dans le groupe tétraédrique, par exemple la fonction
Une telle équation, qu'on déduit aussitôt de (7),
se réduit à une équation cyclique qui, résolue, donne (8) Z^7-2^^7^.
On a donc, en se reportant à la relation (6),
Z = /Z3-+- /Z3— 1, Z:! ayant pour valeur d'après (5)
Quant à Z2, elle est définie par (8).
148. Rien de ce qui vient d'être dit ne subsiste pour le groupe icosaédrique, qui, étant un groupe simple, ne peut donner lieu à des résolvantes non équivalentes. Construisons cependant une résolvante qui présentera pour nous un intérêt spécial.
Le groupe icosaédrique contient cinq sous-groupes tétraédriques équivalents. Or, si nous construisons une fonction invariable par les substitutions d'un de ces groupes; celte fonction, pour toutes les substitutions du groupe icosaédrique, prendra cinq valeurs distinctes. Ces cinq valeurs seront racines d'une équation du cinquième degré, qui sera une résolvante de l'équation icosaédrique. La fonction considérée est rationnelle en z et du douzième degré.
Choisissons, pour fixer les idées, le sous-groupe tétraédrique correspondant au système des trois médianes orthogonales, passant par le milieu de l'arête 1-2 et que nous avons désigné (n° 67) par la notation A,. Soit t' la forme du sixième degré qui s'annule aux extrémités de ces trois médianes, la fonction
272 DEUXIEME PARTIE. — FONCTIONS POLYEDRIQUES ET MODULAIRES.
sera une fonction du douzième degré invariante dans le sousgroupe télraédrique considéré.
La forme L' est celle que nous avions déjà représentée par t, dans une autre position du tétraèdre. Elle se déduit d'ailleurs de / par la substitution linéaire représentative de la rotation, amenant les trois médianes d'un même système en coïncidence avec les trois axes de coordonnées.
Cette rotation, comme il est facile de le voir, a pour amplitude - et s'effectue autour de l'axe vi. On doit donc, dans les for-
mules (6) du n° 61, poser
(3 « -, X = o, n = 90, d'où
a = c = o, 0= — sin , a = cos - ->
et la formule (3) du même paragraphe devient
z cos — H sin - 4 4
— z sin -
-+• COS -r
ou bien, sous forme homoirène unitaire,
cos- -+- s2 sin --, s, . = — Si sin - -4-s2 cos -:
on a ensuite
= — (s [ — zr,) cos - sin - -i- Si s2 cos2 - — sin2 -
x [(-t - *î) (cos2 ^ - sin2 -U^VîW + a|) sin - cos ^1
— - — (Sj — S;) Sin !- IZ1Z2 cos -
X (fî— »|)C0Sj -+-2 3iS2sin- (sj-i-s|) = J(^! + -i)[-^(^t + -s|-6s2s2)sin^2s,s2(s2-s2)cos/
Or(n°65)
sinl——— , cos/= — ,
ou bien, en supprimant le facteur p>
t — ~j — j*,,^2 — 3-'i-2 — ï* | * j -1- a»| *| -t- *|. Notre fonction est donc
(z\— 2«fjt — ôz\z\ — 5*»**-+- a'*i *!-+-*!)*
*i*ft*| — Il*î*i — «| j
ou encore
(;6-"5~ 5g*— 5-g» -+- as + i)*
»(*»• — II-55— i)
L'équation du cinquième degré entre r et Z peut s'écrire (*) Z-i Z = i
?('•) «Ko x(r>'
o(r), '}(/'), '/(/') étant trois polynômes de degré au plus égal à 5r dont l'un au moins est du cinquième degré, et dont les racines sont les valeurs que prend /• respectivement au milieu des arêtes, aux centres des faces et aux sommets de l'icosaèdre. Ces trois polynômes sont liés par la relation
(3) ?(r) = ty(r) -X('')-
Tout d'abord (i) montre que /• est infini en tous les sommets; donc les racines de '/(/*) doivent être toutes infinies, ce qui exige que '/(/*) se réduise à une constante. Nous poserons
11 résulte encore de (i) que r s'annule en 6 des milieux des 3o arêtes. Aux 24 autres points, /• doit prendre 4 autres valeurs. Mais puisque les substitutions du groupe tétraédrique laissent la fonction r invariable (ainsi que le système A, de trois médianes), mais ne laissent invariable aucun autre système de trois médianes, la valeur que prend /• aux extrémités de l'un des 4 systèmes fc2, k3y V. 18
/,, k$ devra être égale à celle qu'elle prend aux extrémités d'un autre système. Autrement dit, les quatre valeurs devront être égales deux à deux. La fonction © (/•) aura donc la forme suivante :
(5) ?(r)B|ir(r*+af+^.
Quant aux centres des 20 faces de l'icosaèdre, 8 d'entre eux coïncident (n° 75) avec les centres des faces de l'octaèdre, ayant pour sommets les extrémités du système kt , ou bien encore avec les sommets du cube polaire. Ces sommets, parles rotations du groupe tétraédrique se changent entre eux quatre à quatre (puisqu'ils forment deux tétraèdres polaires l'un de l'autre, dont chacun se change en lui-même); les 12 autres points, ne pouvant contenir aucun ensemble de 4 sommets, qui reste invariable, s'échangent tous entre eux. Et comme les centres des faces doivent être regardés comme des points triples, <!>(r) aura deux racines simples et une racine triple, d'où
Les coefficients figurant dans (5) et (6) se déterminent au moyen de (2), (3), (4). En vertu de ces relations, on a
7 v(,' + T)3('--+ or + e) Or (n° 128)
1728/5 Pour z = 00, il résulte cette formule et de l'expression de /*
Ensuite la comparaison des termes de plus haut degré dans (7) donne
fXs=V,
d'où
ETUDE ALGEBRIQUE DES EQUATIONS POLYEDRIQUES ET MODULAIRES. 27a
et
<p(/-) = r(r»+ar+ £)'-, <\>(r) = (r + y)'(r! + o/-+î),
(7) devient donc
(8) r(/'î+ar+^)! = (r + y)î(;'i+o/' + £)- 1728. Dérivons les deux membres de cette identité, nous aurons
(r!+ a/' + P)!+ 2r(r5 + ar + ^) (2/-+ a) = 3(/- 4- Y)2C'2-+- S/- -+- s) + (/• -+- y)*(2/- 4- 8) ou bien
(ri-^ar-H p) (5r2+- 3ar -h P)
Le facteur ;• + y ne peut diviser le trinôme r2 + ar -+- s, puisque les valeurs que prend /• aux centres des faces sont nécessairement différentes de celles qu'il prend aux milieux des arêtes.
On doit donc avoir
5/-2+3ar+ p = 5(r -h f)*,
3a = ioY, ^ = 5y*, 2Y-H4o = 5a, y8^-3s = 5P>
ce qui donne
(9) * = yY< P-5ï'
On tire en outre de (8)
Y*s = 1728 relation qui, à cause de z = —Y2, devient
(IO) Y«= A,7a8s5:3i.
Pour déterminer complètement y, il convient de faire une remarque. La valeur — y est celle que prend /• aux centres des faces de l'icosaèdre, qui ne sont pas en même temps centres des faces de l'octaèdre déterminé par le système kt. Or un de ces centres est certainement celui de la face 2, 9, 10 de l'icosaèdre ; il ne peut être centre d'une face de l'octaèdre, puisque précisément sur un de ses côtés (le côté 9, 10) se trouve un sommet
de l'octaèdre. Mais le centre de la face 2, 9, 10 se trouve évidemment (voir* fig. i3 et ij, n° 75) sur l'axe réel, et, d'autre part, l'expression de r montre que /• est toujours réel pour des valeurs réelles de z. Donc la valeur — y que prend /• au centre considéré, et par suite en tous les autres centres qui ne sont pas centres des faces de l'octaèdre, est nécessairement réelle et (10) nous donne l'unique solution y — 3.
Cela posé, on a, en vertu de (9),
a = 10, p = 45, 7 = 3, 8 = 11, e = 64, et la résolvante cherchée du cinquième degré peut s'écrire
Z — 1 :Z: 1= >(/-2-F-io/--+-45)2:(/- + 3)302-t-ur + 64): 1728, ou encore, en tenant compte des formules du n° 127, ^ «=i7a8(Z — i)=*r(r*4-ior-H45)*.
Remplaçons /' par son expression (1), et écrivons pour simplifier t au lieu de t', nous aurons
puis, extrayant la racine carrée, et remarquant que pour zt b= I, ;2 = o, on a
T = ,, ; = ,, il vient
(ii) *(^^io/r-H-45/2) — T = 0,
que nous appellerons néanmoins une résolvante, bien qu'elle soit mise sous forme homogène.
149. Avant de passer à la construction d'une résolvante plus importante de l'équation de l'icosaèdre, que nous appellerons résolvante principale, cherchons l'expression de la forme W relative à l'octaèdre considéré précédemment, forme que nous indiquerons par W. On a
z\ et z[2 étant les variables, figurant dans la substitution du paragraphe précédent. Au lieu de faire directement la substitution,
ETUDE ALGEBRIQUE DES EQUATIONS POLYEDRIQUES ET MODULAIRES. 2j;
nous remarquerons que W est le hessien de t, et que le hesssien est une forme covariante. 11 suffira donc de former le hessien de t', qui, à un facteur constant près, sera W\ Ecrivons W au lieu de W; et, à cause de l'indétermination des coefficients a, b que nous introduirons un peu plus loin, on peut supprimer un facteur constant sans importance et commun à tous les termes de W. On trouve ainsi
vv „t s j zt — 7'*i*j^/'*ï'5i — 7*1 •« — 7*l*t^ *i*i •!•
Observons que la forme
Yaaf + ifW,
où a et b sont des quantités quelconques, étant une fonction à 5 valeurs, doit satisfaire à une équation du cinquième degré
(i) Y5-+-AY*-+-BY3-f-CY2^-DY-+-E = o,
A., B, G, D, E étant des fonctions homogènes de degrés i, 2, 3, 4, 5 en a et 6, contenant zs et z2. Indiquons par t/,, W/, (A = i, 2, 3, 4) les expressions de t, W relatives au système des trois médianes k/,+K ; les t/,, Wa se déduisent de t, W au moyen de la substitution Sh, et comme l'expression de la substitution homogène SA est
on trouve
rA=sg»Ajf — ae»**}^,— 5eAzt^|— 5e4/'s^ + at»**i*fH-t**«|-,
W> = — E***f — l*'*z\ Z, — 7S2/< *J Z\ 4- je7'-"? *\
— jiU>x\z\— Jt*1' z\x\ + z*h Xi*\ — thx\.
Si t0 et W0 désignent.* et W, on peut dire que les racines de (i)T
sont
Posons donc
Les formules de Newton (') donnent A=— S„
2B= — Sj-r-Sf,
6C = — aSj-t-SSiSj— Sf,
24 D=— 6S4-h8S3Si — 6S,S*-i-3S|+ Sj.
De plus,
E=-riv,
Nous avons donc tout d'abord
a=-2ya=-(«21W/'"{"ô2/aWa )•
Les expressions \ W^, N t/^W h étant symétriques par rapport
A = 0 A as 0
aux cinq octaèdres, sont des fonctions rationnelles entières de s,, s2, invariantes dans le groupe octaédrique, et qui, étant de degré inférieur à 60, peuvent s'exprimer rationnellement à l'aide de/, H, T. Elles sont de degrés 8 et 14. Or une fonction rationnelle entière de /, H, T ne peut être de degré 8 ou i4- Donc on a nécessairement
De même, en tenant compte de S, = 0, on a
B--,j2Y^=-î(rt22w^2aè2^w't+622^wj
Les fonctions figurant dans les trois termes de la dernière expression devraient être de degrés 16, 22, 28; or, cela est impossible pour une fonction formée à l'aide des/, H, T. Donc
( * ) Les formules de Newton lient les fonctions symétriques simples ch ( somme de plusieurs quantités, de leurs produits deux à deux, trois à trois, etc.) aux fonctions symétriques complètes Sh (somme des puissances semblables); elles peuvent se résumer dans la formule suivante:
hch = », c,,, — s,c,,2 + s3c;i 3 —...— (- 1 )'• $k.
Passons au calcul de C. Comme
Si = o,
c"-ïs'
Les quatre termes sont respectivement de degrés z4i 3o, 36, 42. Or, les seules fonctions qu'on puisse former avec/, H, T, et qui soient respectivement des degrés précédents, sont f\ T, /a, /T, .
d'où, en désignant par a„, a,, a2, a8 quatre constantes,
Pour déterminer ces constantes, il suffit d'égaler les termes de plus haut degré en z, dans les deux membres de chaque équation.
Dans le second membre de la première, le terme de plus haut degré en z-{ est a0;"^i;. D'autre part,
et comme, \e''A = o pour ;^o(mod5), le terme de plus haut
degré dans 7 W^ est — 5. 24-" z\\ il en résulte
Dans la deuxième équation le premier terme du second membre est a, .s™, le premier terme du premier membre — 5^°, d'où a, = — 5.
Dans la troisième équation, le premier terme du second membre est fltgaj'^j. Quant au premier membre, on a
fJW£ = (zhz\z — ïz\lzt— Ôe^-z}0 z\ -h 3ec***J*| .4-../)
Le terme en Z%*&\ a pour coefficient 72, donc le même terme
dans la somme ^ ^Wj[ aura pour coefficient 36o, de sorte que a2 = 36o.
Enfin, dans la dernière équation le premier terme du second membre est a3s|' z2. D'autre part,
d'où
4WJ = — «**j[»-h3*}'-8,-4-...,
et le coefficient de z\* z-, dans \^ ^W| est i5, par suite a3= i5.
Donc
G =— |(— i2o«3/2- i5a26T-Mo8oa62/3 + i-i63/T)
ou bien
Faisons pour D un calcul analogue. Puisque S, = S2= o, on a,
Les cinq termes sont respectivement de degrés 32, 38, 44? 5o, 56. On ne peut former avec/, H, T aucune fonction de degré 38; les seules fonctions de degrés 32, 44, 5o, 56 sont les suivantes :
fil, p-U, HT, pu.
On a donc, (30, (32, j33, ^ désignant des constantes,
Dans la première équation, le premier terme du second membre
est — [i0 Z** z-2. Quant au premier membre, on a
Wj = t'>z] « -+- 4 *\ « s% -f- 3.i s4/'~ï ° 3\ -h . . . ; par suite, Je premier terme du premier membre est 20Z*'s2, d'où
Dans la troisième équation, le premier terme du second membre est — 'p2 ~\~ --1. D'autre part, en revenant à l'expression de 1%, on a
x (e**î*-*- 4 z\l st h- 34 e*'* ~?° -1 +...) = £2/' -i* -+- I2-=i2 z\ -+-■■ •; d'où
ps=-Go.
Dans la quatrième équation, les premiers termes sont : pour le second membre — i^a-J0, pour le premier membre 5 s**, d'où
fr— 5.
Dans la dernière équation, le premier terme du second membre est — Pj****'. Quant au premier membre, écrivons pour un instant, de la façon suivante, l'expression trouvée de ^W* :
1AV!h = pzV + q *{***+ r*\*z\ + *a\*m\ + . ...
Le coefficient de z*%z\ dans t\Vî\ est, on le voit facilement,
4/>35 •+• hg3p -+- iip*qr.
Or
Le coefficient cherché est donc — 108, et l'on a
fc=54o.
Donc
D =— I (— 2oa*/H — î6oa»6*/* H — aoaA'HT -+- 54o6*/»H ),
ou bien
D = 5(«yil ■+■ i8a*6*/*H -H «6* HT — 27 6V/3 H).
Pour trouver l'expression de E, nous suivrons une autre voie. On a
B=-nY*=-nw*n(o + "*> = ^n^iK- ? - "•)•
/l = 0 /l = 0 ll—O A = 0 A=o
28-i DEUXIÈiME PARTIE. — FONCTIONS POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES.
Or I I est une forme icosaédrique de degré 4° et ne diffère
par conséquent de H2 que par un facteur constant. Si l'on observe maintenant que le premier terme de H2 est z\° et que le pre-
mier terme de TT W^ est — z\°, on voit que ce facteur constant
est — i , d'où
En ce qui concerne l'autre facteur, souvenons-nous que les th sont les racines de l'équation (i i) (n° 148, p. 276), en sorte que, u étant une indéterminée quelconque,
d'où
et enlin
E = a* H* +ioa3 b'-fli* ■+- 45 ab'+p H2 -4- b» H* T.
L'équation cherchée est donc
Y«+5(8a3/M-a26T — 72rt62/3 ô3/T)Y2
+ 5(a''/H + i8«2è2/2H + a63HT-27&y3H)Y -f-a5H2+ 10 a3b*fHz ^ $5 ab'+f*\l* -h bHVT = 0.
De là on peut obtenir une résolvante au sens ordinaire du mot, en prenant pour «, b des fonctions de zt, z2 telles que Y devienne de degré zéro, c'est-à-dire soit une fonction de la seule variable z. Pour cela, il suffit de poser, en désignant par m, n deux constantes,
12 m/ . 144 np
