W = -T-' '--II

invariantes dans le sous-groupe tétraédrique considéré, et tenant compte (n° 127) de la relation

Z — i:Z: i = T«:~ H»: ia»/«,

on a

Y = mv -+- nuv,

et l'équation devient

5 / „ , . 6/im*-+- n>\ v. Z\ 8/w»-+-ia/»*/iH — = — jY*

i5 T . 6m- /i2 -+- imn* 3 «v "1 „r

+ ïl- "^ TTz + l (T^z^j *

3 r ,„ . /jo /zi3/i* rj/i/n^-i- 4«5n

C'est une équation de la forme

Y5-f-5aY2-f-5^Y + Y = o, dont le discriminant a pour expression

52(io8aSv — i35a*p2-H9oa*pY2— 32oa^Y-+-'256P-+-ïv) (')•

(') Voici un procédé assez simple pour obtenir le discriminant. Cherchons à former le résultant de l'équation

ç =s Y5 -+- 5 a Y2 ■+- 5 3 Y -f- y = o et de sa dérivée. Au lieu de ces deux équations, on peut prendre

- ?' s Y4 -+- 2 3tY -+- ,3 = o, 4* —"" ~ ?'Y + ? — 3<xYa-+- 4? Y -+-y s o, ou encore les deux suivantes :

^ = o, / = ? 3 tp' — a <{/ -- 2 3 Y4 — 3 a2 Y2 + 2 32 — ay = o.

De la première on tire

-4pY = 3aY2-f-T> puis

i6 32Y2 = 9a2Y5 -f- 6ayY2 ■+- y2 ou bien

o = 9<xJY4-+- (6aY — i632) Y2-f- y3 = o.

On sait que le résultant de w = o, X = o est {voir par exemple Pascal, Jieper-

284 DEUXIEME PARTIE. — FONCTIONS POLYEDRIQUES ET MODULAIRES.

Observons que la racine carrée du discriminant, étant le produit des différences des racines, est une fonction symétrique des W^, t^ et par conséquent une fonction rationnelle de /, H, T. Il serait un peu long de former l'expression analytique de cette fonction qui ne présente aucun intérêt pour nous.

150. Cherchons maintenant une résolvante du sixième degré de l'équation icosaédrique.

Le groupe icosaédrique comprend six sous-groupes diédriques équivalents d'ordre 10. L'un d'eux a pour substitutions génératrices S, U, et les autres s'en déduisent en appliquant les substitutions