T, TS, TS2, TS3, TS

qui transforment la diagonale i . 2 en les autres diagonales 2.7 3.8 4-9 5.10 6. 11.

torio di matematiche superiori, vol. I, p. 108)

I — 27a4 — 2j3(6ay — i6p2) 9^(2 p2 — ay) — 2 Py2

9a2(2j32 — ay) — 2 Py2 (2 p2 — ay) (Gay — i6p2) H- 3a2y2 j I — 27a4 -+- 32|33 — i2a£y i8a2p2 — gany — 2 |îy2 I | i8a'p2 — 9a3y — 2py2 28 ap2y — 32 p4 — 4a2y2 |~

ou, supprimant le facteur —4P')

ioSoc5y — i35a4p2 -4- 9oa2Py2 — 32o«p3y -+- 256(î5 -t- y4 = o.

Représentons ensuite par A3(Y) le discriminant, c'est-à-dire le produit des carrés des différences des racines, et par k un facteur numérique, que nous déterminerons dans un instant, on a

A2(Y) = Â-[io8a5y — i35a4p2 + 90a2 py2 — 32oap3y + 256 p5 -4- y'].

Pour calculer À-, prenons un cas particulier. Supposons a = y = o, 5 p = — 1, en sorte que les racines de l'équation sont rfci, ± i, 0.

Comme A (Y) est le déterminant de Vandermonde, on a

tandis que A2( Y) =■

k, d'où il résulte k = 55.

Les substitutions S, U, mises sous forme homogène, s'écrivent *'i = e»*,, z'.y = z^z,\ z\= — zu z'2 = zl et toutes deux nous donnent

de sorte que o = 5z-{zl est une fonction invariante pour les substitutions du sous-groupe diédrique considéré. Soit

(i) çp«-f-A?5-4-Bo*-h<p»-+-D<s*-+-Eo-+-F = o

la résolvante; A, B, C, D, E, F seront des formes invariantes respectivement dans les groupes icosaédriques de degrés 4> 8, 12, 16, 20, 24- Comme ces formes doivent s'exprimer à l'aide de /', H, T, on aura

k, [j, y étant trois constantes. L'équation (1) devient donc

cp8 Ha/ç)3-+- pH©-H y/2=o.

Pour déterminer a, |3, y, remplaçons cp, y, A par leurs expressions; nous aurons

En annulant les coefficients de ^',2si;, sj7^ ^J2^2' on °kt'enl les relations

qui, résolues, donnent

L'équation cherchée est donc (a) ç>B ■+- 1 o/«« -t- H 9 -+- 5/2 = o.

Pour avoir une vraie résolvante, on pose

où Ç est fonction de la seule variable z. d'où

Ç6— ioZÇ»-4-i2Z*2;-h5Z* = o.

On peut donner à la résolvante uue autre forme, en posant dans (2)

et écrivant (2) de la façon suivante

— Hp(5B + i o/<p 3 -+- 5/2 , d'où

(4) (ç«-Hio/f«-j-5/*)«-HH»ç* = o.

Moyennant la substitution (3) l'équation (4) devient

(ç2 — io| -i- 5)3-+- 1728ZÏ = o, ou bien

(?» — iog-t-5)»

— .828* ou encore

(£2— loi; -4- 5)* + 17285

(5) . rl~- — =7^ —

Pour décomposer le numérateur en un produit de facteurs, utilisons une remarque géométrique.

Les substitutions du sous-groupe considéré échangent entre elles les milieux des arêtes suivantes :

Le numérateur de (5), devant s'annuler aux milieux des arêtes, puisqu'en ces points Z = 1 , les six racines se composent de deux racines doubles et deux racines simples. On posera donc

(¥— io£ + 5)3-hi728£ = (ï2-i-aï+-|3)ï(£2-f-7S + o),

ce qui donne

3i5 = a2 -i-2aY -+-2B -+- 8, - 1 3oo = a2 y H- 2 0$ -+■ •>. $y 4- 2 ao , i575 = a2S-4-2apY + 2[38 + [=2, 978 = 8*7 ■+•»«£$, 125 = 32o.

Au lieu de procéder à la résolution directe des équations (6), admettons a priori qu'elles aient une solution formée de nombres entiers. Alors la dernière ne peut admettre qvie les solutions

\ D'autre part la première donne a = y (mod3) et par suite la seconde (3 = 3 (mod 3), de sorte que parmi ces quatre solutions, il n'y a que deux solutions possibles :

Pour (3 = 5, 3 = 5 le second membre de l'avant-dernière équation (6) serait multiple de 5, tandis que le premier membre ne l'est pas. Cette dernière solution est à rejeter et si l'on a

Les équations (6) donnent ensuite

a = — 4, y = — 22, et la résultante cherchée est Z- i : z : i = (é»4S — i)«(S«22$-i-i25) : (S2 — ioÇ-+-5)» : (—1728$).