La notion de résolvante s'étend à l'équation modulaire
Soit Ts un sous-groupe d'indice fini s du groupe modulaire, toute fonction invariante u dans ce sous-groupe est liée à J par une équation algébrique
Ci) /(M,J) = o
de degré s par rapport à u. On peut appeler cette équation une résolvante de l'équation modulaire, en ce sens que, une fois cette équation (1) résolue, c'est-à-dire une fois trouvée l'expression de la fonction u de J, il suffira de savoir exprimer z au moyen de u pour avoir en même temps l'expression de ; à l'aide de J. En d'autres termes, une fois l'équation ( 1 ) résolue, la résolution de l'équation modulaire principale
est ramenée à la résolution de l'équation modulaire relative au
sous-groupe Ts
et ce problème peut être regardé comme plus simple que le précédent, puisque le réseau de Ts est plus simple que celui de T.
L'équation diédrique pour m = 3, et les équations tétraédrique, octaédrique et icosaédrique sont les résolvantes de l'équation modulaire correspondant aux sous-groupes ri21, ri:t), rm, ri5].
Nous formerons, comme exemples de résolvantes, deux autres résolvantes, l'une du cinquième, l'autre du sixième degré, correspondant au sous-groupe r[3J. Elles sont nécessairement équivalentes à l'équation icosaédrique ; nous trouverons en effet qu'elles coïncident avec deux des résolvantes équivalentes déjà construites.
Nous avons vu (n° 113) que, p étant un nombre premier, G contient p -f- 1 sous-groupes hémimétacycliques G^
HP) aux-
quels correspondent autant de sous-groupes de Y d'indice p + i . En particulier pour p = 5, on a 6 sous-groupes d'indice 6, contenant tous le sous-groupe r[5]. L'un d'eux est formé des substitutions modulaires permutables avec le groupe cyclique engendré par S et par suite contient S elle-même. 11 suit de là que son champ fondamental est compris tout entier dans une bande de largeur i parallèle à l'axe imaginaire. L'expression générale des substitutions du sous-groupe est (n° 109)
(mod 5);
Il est facile de voir que le groupe est permutable avec la pseudosubstitution z' = — z, de sorte que l'on peut prendre pour champ fondamental un champ symétrique par rapport à l'axe imaginaire.
Or ce champ est connexe et comprend douze bitriangles en prenant le hitriangle i comme bitriangle initial, on obtient immédiatement le champ représenté par la figure 47«
Par une déformation continue, dont la figure 48 nous otïre une
phase intermédiaire, on peut amener le champ à recouvrir entièrement un plan, que nous appellerons le plan u. On fera en soi te que l'axe imaginaire du plan s, conservant sa forme rectiligne, vienne à coïncider avec l'axe réel du plan m, et que tous les nœuds du champ viennent tomoer sur cet axe. à l'exception des nœuds d
et h {fig. 49)- Alors si l'on pose u = -» l'équation modulaire
aura une résolvante du sixième degré en v dont les coefficients seront des fonctions rationnelles de premier degré de J; en effet, à
290 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS POLYEDRIQUES ET MODULAIRES.
chaque valeur de v correspond une valeur unique de J. Nous pourrons donc écrire la résolvante considérée de la façon suivante :
j — i : j ; i = çp(p) ; ty{v) : x(t>),
e?(v)i ty(v)i X(ç) étant des polynômes du sixième degré au plus.
Supposons que l'origine du plan u soit en/.
Les nœuds de première espèce sont aï, d, /j, bi({), ceux de deuxième espèce am, cegk\ ceux de troisième espèce/,/?. Les points n, b, où se croisent 4 triangles, doivent être considérés comme doubles; les points d, h, où se croisent deux triangles, sont simples. De même a, c sont triples et/ est quintuple. Donc le polynôme <p(f) a deux racines doubles et deux simples, <j>(e) deux racines triples, y(p) une racine quintuple et une simple. De plus, la racine quintuple de %(f) est v = oo, la racine simple ç = o, en sorte que, à un facteur constant près, on a y(i>) = t>. Nous poserons
tpO) = l(c2+af + P)2(c2+yc + ô), <\i(v) = |z(p»-f- se-t-£)3- La relation
d'où l'on tire X = pt, donne
et par dérivation
vy' (v) — tp(f) = vi('(v) — ty{v), ou bien
(f2-4-at--+- P)[5^+(3a + 4y)fM-(^ -+-3S-l-2aY)p2 + aof — PS] = (^+ec + Q2(5c2+2Ev — Ç).
Puisque les trinômes e2-!-ap-h3, t>2 + cP-hÇ n'ont pas de racine commune, on doit avoir
5t>2-^'2cf> — Ç = 5(p2+- ac-r P), 5^+(3a-f-4Y)p3H-(P + 3ô-+-2aY)^2-f-aop — pS^DCcî-^-ef-i-O2;
(l) Par 6/ nous entendons le point où les points b et l coïncident après la déformation.
d'où
•2£ = 5 a, — Ç = 5(3, 3a-t-4y = ios, [3 -+- 3o -+- 2ay = 5 e2 -h 10 Ç, *8 = iotÇ, — fi8 = 5Ç2.
On trouve ainsi
En égalant dans ( i ) les coefficients de t>, et se rappelant que X = [i., il vient
X(2a^o -+- p»Y — 3eÇ») — >728 = 0,
et en tenant compte de (2)
Xe5 = — io5.
Gomme dans la déformation précédente il y a une certaine part d'arbitraire, le coefficient X peut être pris à volonté. Faisons X = i, on a alors
£3 = — IOs.
Or e est la somme changée de signe des valeurs de v, correspondant aux points a, c, valeurs qui sont réelles; donc e= — 10. Les relations (2) donnent ensuite
a =—4, (i = — i-, Y= — 22, S = 125, e = — 10, Ç as 5,
en sorte que la résolvante cherchée est
J — 1 : J ; 1 = (v^— \v — i)2(o2 — 22e -h 125) : (e2 — io^-t-5)3 :(— 17280).
Elle est identique à la résolvante de l'équation icosaédrique formée au n" 150.
152. On peut obtenir une autre résolvante de l'équation modulaire en observant que, d'après la congruence 5 = — 3 (mod 8),
Gj,(5) contient ° ~ = 5 sous-groupes tétraédriques équivalents
G12, auxquels correspondent 5 sous-groupes équivalents T5 d'indice 5 de T contenant tous r,5] = r00. Cette résolvante sera donc du cinquième ordre.
Gomme S et ses puissances, considérées comme substitutions de G^sj sont d'ordre 5, elles ne peuvent faire partie d'un groupe
tétraédrique ; donc les bitriangles 1, S, S2, S3, S* ne peuvent être homologues entre eux dans aucun des T5. On en conclut que l'ensemble de ces bitriangles {fig. 5o) constitue un champ fonda-
Fig. 5o.
mental pour un des r5. En effet établissons entre les côtés de cette figure la correspondance suivante :
ab, ap\ bd, fd; fg, hg; hm, pm Fig. 5i. Fig. 52.
et déformons le polygone de façon à le ramener à une surface fermée, un plan par exemple ; le réseau qui recouvre ce plan a pour symbole (2, 3, 5) et satisfait aux conditions du théorème d'existence des sous-groupes (n° 97), comme nous le verrons beaucoup mieux un peu plus loin en examinant chacun des nœuds. Donc il existe un sous-groupe d'indice 5, qui a pour champ fondamental le polygone donné; ce sous-groupe doit contenir ri5,, et doit par suite coïncider avec un des 5 sous-groupes considérés. Les nœuds de première espèce sont ce, g, In; ceux de deuxième espèce bfhp, d, m; ceux de troisième espèce se réduisent au nœud unique a. Les
ÉTUDE ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES. 2g3
points c, l sont doubles, g est simple; b est triple, les d et m sont simples et le point a est quintuple.
La résolvante aura donc la forme
J — i : J : i = <p(a) : <K«) : x(") avec
«p(*)ssX(a»H-«l*H-P)«(i» — y)i
4* (m) = fA(a*4- 8w, -h e) (a — Ç)3, x(") = V(M — l)8-
Supposons que M représente l'affixe des points du plan sur lequel nous avons placé le réseau, que la droite a/g soit l'axe réel du même plan, g étant l'origine et /ayant pour abscisse — 3. Alors on aura t\ = oo, y(w) se réduira à une constante et nous pourrons poser
