SU
Puisque
nous aurons X = ja. De plus y = o, Ç = — 3; (i) deviendra
et, en dérivant,
(«! + a« + P)[«s+au+p + 2«(2it + a)]
= (« -1- 3)î[3(;tî-H Sa 4- e) 4- (u 4- 3) (2 m 4- 8)], ou bien
En raisonnant comme précédemment, on trouve
5(w24-a«4- P) =5«î-i-(48 4-6)a4-3e4- 38, 5«î+v3aw + p = 5(M + 3)î, ce qui donne
d'où
Si ensuite dans (2) nous faisons u = o, il vient
294 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS POLYEDRIQUES ET MODULAIRES.
La résolvante est donc
j i : j : i = MO*-f-iow-4-45)2 : (b + î^m' + h m h- 64) : 1728; elle coïncide avec la résolvante de l'équation icosaédrique (n° 148).
Rapports entre les équations polyédriques et la théorie de la résolution algébrique des équations.
153. Soit une équation générale du troisième degré, que moyennant une substitution linéaire on peut supposer ramenée à la forme
(1) xz-+- 3ax -+- <xb — o,
ses racines xt, x2-, x3 satisfont à la relation
Si l'on considère a, b comme variables; x{, x2, x3 peuvent représenter les coordonnées homogènes des points de la droite (2), et à chaque permutation des x correspond une transformation projective de la droite en elle-même, c'est-à-dire une transformation linéaire de l'abscisse z des points de la droite. Les 6 permutations de x^ x2, x3 donnent lieu ainsi à 6 substitutions linéaires des z, formant un groupe holoédriquement isomorphe au groupe des 6 permutations. Or un groupe de substitutions linéaires et du sixième ordre ne peut être qu'un groupe cyclique ou diédrique; mais, le groupe des 6 permutations ne pouvant être cyclique, la première hypothèse est à rejeter et par suite le groupe des 6 substitutions linéaires des z est un groupe diédrique (m = 3). Donc la détermination de z en fonction de a et b dépend de la résolution d'une équation diédrique du sixième degré. Une fois z fixé, les coordonnées xfJ x2, xs sont déterminées d'une manière unique, et l'on peut dire a priori que xt, x2, x3 s'exprimeront rationnellement en z.
Nous arrivons donc à la conclusion suivante :
RAPPORT ENTRE LES ÉQUATIONS POLYÉDRIQUES ET LA RÉSOLUTION. 2g5
La résolution d'une équation générale du troisième degré peut se l'amener à celle d' une équation diédrique du sixième degré.
Indiquons, comme toujours, les substitutions du groupe diédrique du sixième ordre par
i, S, S5, T, ST, S2T, S et T désignant respectivement les substitutions
à ia substitution S nous pouvons faire correspondre dans le groupe des permutations de xt, x2, x3 la permutation d'ordre trois x->, x%, x^ et à T la permutation xtJ x3, x2 d'ordre deux. Comme ; est une fonction linéaire de x{, x2, x3, nous poserons
^ ai3?i-h a2;r2-t- a3x3 " ~ btcci -+- b*x2-+- b3x3
Appliquant à z les substitutions (3) et aux x les permutations correspondantes, on a
axXi-\- a^x3-h a3Xi
\ bxx% -t- b2x3-+- b3Xi
t I (l\X\ -+- dïX3->r- a:iX2
z ~ 6,3-1 h- b<>x3-\- b3x2 et en comparant (4) et (5) on obtient
txa3 a2
b3 ~ bt
<iy
ht
" ii
Soit ,3 la valeur commune des rapports (6), e celle des rapports (7); on trouve immédiatement
de plus
«, = «*(&«!, a3=«p*a,, 62=pé,,
29b DEUXIEME PARTIE. — PONCTIONS POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES.
on peut donc poser
at = i, a2=a, a3=a2, bi = s, b2 = ea1, 63=ea.
11 est facile de s'assurer qu'il est indifférent de prendre pour e l'une ou l'autre des valeurs ± 1 ; prenons par exemple e = -h i ,
alors
xt -t- zxi^-aïxz
Posons
(8) a?i-f-aa?2-l- a2a?3 = /?, a?, 4- a2a?2-i- aa?3 = ^,
d'où
Les relations (2) et (8) donnent, en vertu des propriétés connues des racines de l'unité,
de plus
/>ç = x\ -\- x\ -+- a? | — 2-2 a?3 — ar3 Xi — xx x2
— (Xt -+- X2-h X3 )i— 3(xtX3-+- ^3^1 + Xt X«) = 3 ( X2X3-h X3Xi-\- XiX2)
p* +. q3 = i^xl -\- x\-\- x\) -+- iitXiXiX)
— 3(a?|a?3-i- x\x2-{- x\xx -+- x\x3-{- x\x2-h x\xx)
= 2(xt -+-X2^-X3):i
— ^[XiX3(x-2-h X3) -+- XsX^Xs-h- Xi) + XtX2(Xi-h xt)]
— iyxtx2x3
ou bien
(10) as-") b =— ^ r , Y ♦
Introduisant ces valeurs dans l'équation diédrique à laquelle satisfait s
on obtient pourZ la valeur
