RAPPORT ENTRE LES ÉQUATIONS POLYÉDRIQUES ET LA RÉSOLUTION

D'autre part les relations ( 10) peuvent s'écrire

Itqi, b=— i -(5»4-i)gr»,

a 6 z et par suite

zA-\- 1

et en remplaçant dans (g) p et q par les valeurs précédentes, on obtient les expressions suivantes de x{, x2, x% en fonction rationnelle de z :

, . "ib z(z-t-i) -xb y. z ( z z -\- \) o.b a'zfa's-Hi)

(11) a?,= — , xt= , x3— i- i.

a z3-i-i a zA-i-i a **-t-I

Si l'on résout l'équation diédrique, on a (n° 147)

et, en remplaçant s par cette valeur dans les formules (il), on obtient les formules de résolution de l'équation (i).

loi. Avant d'exposer la résolution de l'équation générale du quatrième degré, observons que le groupe des i\ permutations de 4 éléments est holoédriquemenl isomorphe au groupe octaédrique. En effet, il contient l'opération (i'S^\) d'ordre 4 et l'opération ( i a (3) d'ordre 2, dont le produit est l'opération (243 1 ) d'ordre 3 (n° 104).

Pour réaliser cet isomorphisme, affectons les 4 sommets d'un tétraèdre régulier des indices i, 2, 3, 4 et faisons correspondre à chaque rotation du tétraèdre sur lui-même la permutation des sommets qui en résulte. Il est facile de s'assurer que les 12 permutations correspondantes sont toutes paires. Faisons ensuite correspondre à une quelconque des rotations, qui changent le tétraèdre en son tétraèdre polaire, une quelconque des permu-

tations impaires des quatre indices 1, 2, 3, 4? nous aurons complété ainsi l'isomorphisme.

Les trois rotations d'ordre 2 du groupe tétraédrique ayant pour axes les trois médianes, chacune d'elles échange les sommets deux à deux. Il leur correspond donc les permutations (2i43), (34.2), (432i).

Nous supposerons les indices dont sont affectés les sommets, placés dans un ordre tel qu'à la rotation U corresponde la permutation (2i43), et nous ferons correspondre à la rotation V la permutation impaire (234i).

Cela posé, prenons l'équation du quatrième degré sous la forme dite principale

(1) *■*-+- \ax ■+- b = 0,

à laquelle se ramène l'équation générale, moyennant la résolution d'une équation du second degré, ainsi que nous le verrons plus loin. Les 4 racines x,, x2, x3, xh satisfont alors aux

relations

(2) ^Xi=o, 2*?=°>

et, en considérant les x comme les coordonnées homogènes d'un point de l'espace, on voit que les 24 points correspondant à chacune des équations (1) sont situés sur la conique (2), que nous appellerons conique principale.

Proposons-nous de construire une fonction linéaire z des a?*, qui, par les permutations des #,-, subisse les substitutions correspondantes du groupe octaédrique.

Il suffira naturellement de s'assurer que cela a lieu pour les deux permutations (2341), (2i43) qu'on a fait correspondre aux substitutions V et U du groupe octaédrique. Rappelons que les expressions de ces deux substitutions sont (n° 64)

Posons

^ ct\ X\ -+- a2 x-i -t- as x3 -+- av xi,

~ biXt -+- 62372-f- b-Ax3-\- b^x±

RAPl'OHT ENTRE LKS EQUATIONS POLYÉDRIQUES ET LA RÉSOLUTION. 299

On devra avoir

biXj-+- b-2x3+- b3x^-h bwxx ~ bxxx -+- b2Xt-\- b3x3 -t- 64^4 '

,.,. ai3?t-+- «2-^1-1- a3xk+ a^x3 __ bxxx -+- ^a^-*- 63.r3-+- 64^4 6!.t2 + 6,a^i ■+- 63a74 -+- è;ir3 ai.r, -4- a2^2-i- a3a?3-i- c^ar*

Pour que la relation (3) soit satisfaite identiquement, il suffit de poser

a4 ax a2

iax ia2 ia3