CL\ = I
«3= — (i — Or *3= I,
at = — »(i — i), *♦— k,
de sorte que z a pour expression
.. #4 -+- £a?j — x3 — 1 ,rv
Posons, pour abréger,
Ipi — xy -+- i Xi -+- l2x3 -+- i3Xt, = xt -+- ix2 — x3 — ixk, p.2 = xx -+- i* x2 ■+■ ik x3 -+- î'6 xu = xl — x* -+- x3 — a?4, p3 = Xi -+■ i3 x2 -+■ i6 x3 -+■ t9 xu = x, — ix2 — x3 -+- ix± .
Nous aurons
Pi.
fl-l)
de plus la première des relations (2) et la relation (6) donnent
^1=7 (/>!-+- Pf
Xi= 1(i*pi-*-i*pt+-i pz) = -ri—ipi — pt+ipi),
xi= 7 (**/>» + »Vî+IV») = 7 (— Pi +pt— Pi),
Xk = 4 ( i9pi ■*" '6 ^2 "*" l3/>3 ^ = 4 (ipt — Pt— ipz),
RAPPORT ENTRE LES ÉQUATIONS POLYÉDRIQUES ET LA RÉSOLUTION. 3oI
équations que nous pouvons résumer dans la suivante :
**m= -Ai3hPi-^iihpi-^ihpz) (A = o, i,2,3). La seconde des équations (2) devient, dans ces conditions,
Les propriétés connues des racines de l'unité montrent que les sommes figurant dans le second membre sont nulles, sauf celles dont l'exposant est 4 ou un de ses multiples; ces dernières sommes sont égales à 4- H reste simplement
(9) pl-hip,p3=o.
En se reportant aux égalités (6) on voit que les pi peuvent être regardés comme les coordonnées homogènes des points du plan de laconique principale; (9) est alors l'équation de cette conique.
Elle passe par les deux sommets (o, o, 1 ), ( 1, o, o) du triangle fondamental; z peut être considéré comme le paramètre des rayons correspondants des deux faisceaux passant par ces deux points et dont l'intersection engendre la conique, puisque, d'après
(7.) et(9)> on a
V ' P* i-hi p*
Désignons par st, ss, . . . les sommes des puissances semblables des racines de (1) et par c(, c2, ... les sommes des racines, de leurs produits deux à deux, etc. De (2) résulte
puis, en tenant compte des formules de Newton (voir n° 1 18),
«3 ■" 3C3, «4 = A cii
ou bien
s- = — 11a, *i = — ib.
3û2 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES.
Calculons s3 et s4 à l'aide de (8). Nous avons
qui, à cause des propriétés des racines de l'unité, se réduit à
De même
'^^(p^^ + P&^' + P&^ + tPÏPÎ^i6'1
-^4/»ï/>t2«iiA-«- 4/»i/>i2«9A -*mp\pip^
se réduit à
et, en vertu de (9), prend la forme
H== ^P'^-^P^Pl^PÏ)- On a donc
fl P*(PÏ + Pl) b P\ — i4pjpl+pi
Mais comme d'après (10)
«APPORT ENTRE LES ÉQUATIONS POLYÉDRIQUES ET LA RÉSOLUTION. 3o3
les relations précédentes deviennent
|»~rt<*-^'>.^W(v>
Divisant membre à membre ces deux relations, puis introduisant le résultat ainsi obtenu dans les expressions de/?, elp2, on trouve
. b *«(**— ij
ps = —Si — ,
■ • a z* -+- 1 iz^-h i
Remplaçant enfin dans (8)/>,,/>2,/>3 par ces valeurs, on obtient .r,, r2, #3, ^4 exprimés à l'aide de z
^3 = [—(!- i)& - ïiz — (n- »)J
a;4 = [ (i •+•*)«*+ at« -+-(i — »")]
b ziz^—i)
^ est une racine de l'équation octaédrique
W»(*, i) =z io8**(*, i)
qui, à cause de ( 1 1 ), s'écrit
W(z. i) 63 io8f4( z, i) ~~ 27 «'
Cette équation une fois résolue (n°147), les formules (12) nous donneront les racines de ( 1 ).
155. Expliquons maintenant comment on passe de l'équation générale du quatrième degré à une équation ne renfermant ni deuxième, ni troisième terme.
3o4 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES.
Nous pouvons supposer l'équation, déjà privée de second terme et mise sous la forme
(i) yk-\-6ayi-\- ^by -h c = o.
Soient yK , y2, ys, y \ les racines de ( 1 ) ; sK , s2, ... les sommes de leurs puissances semblables.
Posons
y%+ky-±,
k étant une constante quelconque.
L'élimination de y entre ( 1 ) et (2) conduit à une équation du quatrième degré enx, ayant pour racines
(3) xh = y\+kyh-S-} (A = i,2, 3, 4).
Puisque st = o, il résulte de (3)
2, Xh = si + #*1 — *2 = O.
De plus
2 2 /o *i / 51 foi S2 ,„ . »!
Si donc on veut que l'équation en x soit privée non seulement du second terme, mais encore du troisième, k doit être choisi de façon à satisfaire à l'équation
si
(4) s2k*-+- is3k -t- Si r"=°-
Mais
Cj=6a, ç3 = — 4^5 c4 — ci
et, en vertu des formules de Newton,
Si — 4^4+ 2C| =— 4c -4- 72 a2.
Donc l'équation (4) peut s'écrire
RAPPORT ENTRE LES ÉQUATIONS POLYÉDRIQUES ET LA RÉSOLUTION. 3<)'ï
* = s(-6±lA'-T + 3a°
La formule (2) devient alors, en remplaçant A par l'expression précédente,
x = yt+l(— b±i/b* — ^+3«3jjKH-3a,
et l'on a, pour les racines de l'équation transformée,
*A - A+ '- (- b±i/l*— ~ ■+- lcAyh+ 3a (A = 1, 2, 3, 4).
V l'aide de cette expression et des formules de Newton (' ), on peut calculer
et de là les coefficients de l'équation transformée.
Celte dernière équation une fois résolue, c'est-à-dire une fois x déterminé, l'Algèbre nous apprend à déduire des relations (1) et (2) la valeur dey par des opérations rationnelles.
156. Pour les équations du cinquième degré partons de la forme principale (a)
(1) x*-\- 5ax2-\- ribx -t- c = o.
Soient xt, x2, x3, #4, xA les racines; elles satisfont aux deux
(') Ces formules donnent dans le cas actuel
s5 = 120 ab,
s6 — 36 ac + 48 62 — 43a a\
s. = 286c — looSa-b,
(:) Nous verrons plus loin comment on peut ramener l'équation générale du cinquième degré à la forme (i)-
3o6 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS POLYÉDRIQUES KT MODULAIRES.
relations
Nous pouvons représenter chaque point de l'espace à l'aide de cinq coordonnées homogènes Xh-, liées entre elles par la relation (2) ; de telles coordonnées sont dites pentaédrales ('). A chaque équation (1) correspondront 120 points, puisque, pour représenter les cinq racines, il y a i 20 permutations possibles, et ces points sont situés sur la quadrique représentée par l'équation (3) et que nous appellerons quadrique principale. Chaque permutation des racines est équivalente à une collinéation, qui transforme la quadrique en elle-même.
Ainsi la permutation î'a,^,^,^,^.) où les a^ sont à l'ordre près les nombres 1, 2, 3, 4j 5, équivaut à la collinéation
( 4 ) x\ se a?«„ x\ = #«,, x'z = a?a3, x\ = a?a„ x'-a = ^a5-
Voyons comment se comportent les génératrices rectilignes de la surface. Tout d'abord une substitution linéaire changeant une droite en une autre droite, chaque génératrice se transforme en une autre génératrice. Ensuite deux génératrices g{ , g-2, appartenant à un même système, se transforment en deux autres génératrices g\, g's, appartenant aussi à un même système, car autrement g\ , g'i seraient concourantes, tandis que g{ et g-> ne le sont pas. Enfin à deux génératrices de systèmes différents correspondent deux autres génératrices de systèmes différents. Il ne peut donc exister que deux espèces de collinéations : celles qui conservent chaque système de génératrices et celles qui échangent entre eux les deux systèmes. Or, s'il existe une collinéation de la seconde espèce, il en existe nécessairement 60. En effet, soient C(, C2, ..., C,. les collinéations de la première espèce et D,, D2, ..., Ds
(') Nous pouvons prendre pour coordonnées pentaédrales, par exemple, les quatre coordonnées homogènes relalives à un tétraèdre fondamental quelconque et leur somme changée de signe.
RAPPORT ENTRE LES EQUATIONS POLYÉDRIQUES ET LA RÉSOLUTION. 3oj
celles de la seconde espèce; on a
Les produits G,D,, C^D,, ..., C/-D, constituent/- collinéations de seconde espèce toutes distinctes, de sorle que s^r] de même les produits D,D,, D2D,, . . ., D5D, seront s collinéations distinctes de première espèce, de sorte que r^.s. Par suite
Il n'y a donc que deux cas possibles : ou bien les 120 collinéations laissent invariable chaque système, ou bien 60 seulement possèdent cette propriété. Dans ce dernier cas, les 60 collinéations correspondent nécessairement aux 60 permutations paires des cinq coordonnées; elles forment donc (n° 67) un groupe holoédriquement isomorphe au groupe icosaédrique.
Pour distinguer ces deux cas, rappelons que l'équation d'une quadrique peut, par une substitution linéaire convenable, être ramenée à la forme
PxPk ■+-/>«/>»— o,
où les/?/t sont des coordonnées létraédrales. On peut écrire
Z» £î X £l » 1 il s u
Pz IH ' p% Pi,
a, u. sont alors les paramètres des génératrices des deux systèmes. Ce sont des fonctions linéaires des cordonnées p/, et, par suite, des coordonnées Xh- Donc, à toute transformation linéaire des coordonnées Xh qui conserve chacun des deux systèmes de génératrices correspondra tant pour \ que pour u. une substitution linéaire. Nous obtenons ainsi un groupe G de substitutions linéaires de A, holoédriquement isomorphe au groupe des collinéations, conservant chacun des deux systèmes de génératrices.
Par conséquent le groupe G est, ou bien de soixantième ordre, et c'est alors un groupe icosaédrique, ou bien il est du centvingtième ordre et il contient alors un sous-groupe icosaédrique. Mais ce dernier cas est impossible, car (n° 37) les groupes de substitutions linéaires du cent-vingtième ordre étant des groupes cycliques ou diédriques ne peuvent contenir aucun sous-groupe icosaédrique. Nous arrivons donc à la conclusion suivante :
3o8 DEUXIÈME PARTIE. FONCTIONS POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES.
Des 120 collinéations (4), 60 seulement conservent chaque système de génératrices; les substitutions correspondantes du paramètre des génératrices de l'un ou de l'autre système forment un groupe icosaédrique .
Nous avons déjà établi dans tous ses détails l'isomorphisme du groupe des 60 permutations paires de 5 éléments et du groupe icosaédrique (n° 67); et nous avons vu qu'aux substitutions S, T de ce groupe correspondent respectivement les permutations (23401), ( i3a54)-
Cherchons donc à construire une fonction linéaire z des x^, qui subisse les substitutions S, T quand on effectue sur les x les deux permutations précédentes.
Posons
d\ X 1 -+- fl; X<j -h a3 -y 3 -+- #4 3Pk->r a$ a?r,
~~ biXi -4- b-iXi -+- 63.r3-i- bkxk -t- 63^5 Les substitutions S, T ont respectivement pour expressions
où 6, a-, -: ont la même signification qu'au n° 68. On doit avoir
/ a|3T2-t- «2-^3 -<" «3^4 + <l!>Xs-\- a<,Xy
b^x2 -4- b2xs ■+- bzxk -+- bkx~a -+- b-ax{ 1 at xx -f- ai x-2 -+- «3 se 3 + «» ^4. -+- «s &s
I fl^ -+- «23"3-t- «3^2+ «4^5+ «5^4
(<;al-+--zbi)xi -h. . .-+- (aas-{-xb&)x5 \ ~ \-ax — a64)«?i -+-. . .H- (ta* — «165)^5
Pour que la première équation (5) soit satisfaite indépendamment des relations (2), (3), qui lient les xh, on doit avoir
ea! ~~ taz
ou, en désignant par 3 la valeur commune de ces rapports,
o6 = 1, 0,e=e*8vai, «3= £3o3«i, a4=s2o2fl,, aas=e$ai
b2=&bl, bt=*&èi, bkt=à*bt, b$=obl.
ea3 £«i eflj bx
b2 b-i bit ■ 6à
RAPPORT ENTRE LES ÉQUATIONS POLYÉDRIQUES ET LA RÉSOLUTION. 3o9
Soil -p- = c, c étant une quantité qu'on déterminera plus loin;
on peut écrire
«, = c, az— £VS* c, a3=£3o3c, rti=£îo2c, #5=eoc, 6f = l, b% = ôv, 63=53, 64 = 0*, 65=8
et l'expression de z devient
X\ -+- £vSl X-2-i- £303^:i-i- £2323"^-f- £0^5
11 est clair que z satisfait à la condition cherchée, quel que soit h.
pi, — a?! -4- eAa?j-+- e»*a?3-+- £3/'^4+ £
d'où
Les/>^ peuvent être considérés comme coordonnées homogènes des points de l'espace; les expressions de x/t à l'aide des ph s'obtiennent au moyen des relations (2) et (6); on trouve ainsi :
fl?!= -(£^|+£8/)2+£l!/)3+e16J3i), ^3 = T (£3/>i -t- £s/>2-*~ **P* ■*" £'Vi)>
iF4= ë(e*>t +«*/>« -t- ï'^j -t-«$i»* )»
*» — 5 (*Pi ■+• £2/,2 ■+■ e'/»s ■+■ « 4/?4 )i
et (3) devient
P\Pï-t- PîPs= o,
de sorte que, en faisant dans ( 7) /* = 1 , nous avons
ri p*
et s peut être considéré comme le paramètre des génératrices rectilignes d'un des deux systèmes.
3lO DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES.
Reste à déterminer c, de façon que la seconde équation (5) soit satisfaite. Remplaçons dans cette équation z par l'expression (8); on obtient, en vertu des relations (2) et (3),
cOi-f- £2ic2-+- £2*3+ R*a?4-+- t3cr6)
X [(ex — a) a?, -h (cet — i!a)^2+(cî2T — £4 <?)#;»
+ (cî3: — e6 <y ) 3:4 -1- ( c e* x — e8 a- ) a?.- ]
— (x{ ■+ t'^Tî -+- Z-X-i -f- E8 X^-\- %*Xl)
X [(c<7 -f- T)^, + (C£J -4- tiZ)T%-+- (C£2J+ t*t)X|
H- (ce3a H- E6x).r4-4- (ce*<t -+- e8T)a?8] h- /((^, + ^+ a?8-t- <rt-f- a?j)*+ Ar(^î-+-a?| -4- a?§ -+• #J -4- arf ) = o
(A, /v sont des constantes à déterminer); ou bien, sous une forme plus concise,
2, «ijXiXj= O,
'/ les coefficients atj ayant pour expressions
dll=C2T-2Ca-T+ h H- k,
«22 = «33= ê*eW— c(i-+- s4) a — ET -+- /i -+- /r,
Ces coefficients doivent être tous nuls. On aura donc, en tenant compte des expressions de a- et t,
O = aU — a22= C2(£2— E3)x — C(£ — S* ) a -)- ( £ — £* ) X = C2'2— Cî24- GTC, O = a45 — «23 = C2(£ — E4 — E2 + E3)x
= c2(a — x)x — 2C(x — a)(T — (d-j-x)x. Eliminant c2 entre ces deux équations, il vient
X(<T2-HX2)
Ci-\- a2X — 2<TX2
Or, puisque (n° 68)
