RAPPORT ENTRE LES ÉQUATIONS POLYÉDRIQUES ET LA RÉSOLUTION. 3 I
on a
~:; ■ in- - — >. z-- = i ( rz -+- -J ) -i- a2 - — âax> = z ( i a2 — az ) = z ( 7* -+- t2 ) ;
par suite c = i , el il est facile de vérifier que cette valeur de c satisfait à toutes les équations obtenues en éliminant h et k entre les (ijj = o.
L'expression cherchée de z est, d'après cela,
Nous allons démontrer que, si l'équation donnée est la résolvante principale d'une équation icosaédrique, la fonction z construite précédemment n'est autre que la variable z qui figure dans cette équation icosaédrique.
Les racines de la résolvante principale sont (n° 149)
\h = a W,t + bth WA ( h = o, i , », 3, 4 )• Or, on peut écrire WA = (•***! + «»*«, )(—*] — 7*î*f) + (•**<!- «**tX—7*f*J + <ï).
Posant ensuite
a(— yz^zj-h «3) -h 6(— z\'A — 3g sf *f •+■ 26*f*i*) = S, expressions cjui sont indépendantes de l'indice //, on obtient
Il suit de là
3l2 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES.
=2[R(£,/^'+£/'^)+S(^1-£"^2)] = 5Sz„
= Yo-f-£*Y1 + Ê»Y,+ etsY34-e«Y4
El — ^1
Pi Zl *
El - Pi
--El Pi
d'où ou bien
Vinsi, étanl donnée une équation principale du cinquième degré, s'il est possible de former l'équation icosaédrique dont elle est la résolvante principale, la résolution de cette dernière équation nous fera connaître immédiatement les racines de l'équation donnée. Gela tient à ce que, la résolvante principale de l'équation icosaédrique étant (comme d'ailleurs toutes ses résolvantes) une résolvante équivalente, l'équation icosaédrique peut à son tour être regardée comme résolvante de sa propre résolvante.
Soit donc l'équation
Si nous pouvons déterminer trois quantités m, «, Z de façon à identifier cette équation avec (n° 149)
xa — j ( 8 m3 +iîm!/n — ) x%
5[~ . 6m* n* 4- £mn* 3 »*
. L i — Z 4 (i — Z)SJ
3r,n , 4om3n3 i5w»4+ 4»*1 -z[i8""-^^+ (,-Z). J°
et si s est une racine de l'équation icosaédrique
RAPPORT ENTRE LES ÉQUATIONS POLYÉDRIQUES ET LA RÉSOLUTION. ili
les expressions
xh= mv/^z)-^- nuh(z)v/l(z) (h = o, i, 2, 3, J),
"»<*>- t^ttt '*<*•'>• '»<*>= T^TT™*-0'
donneront les cinq racines de l'équation proposée.
On est donc amené à résoudre par rapport à m, /?, Z le système d'équations
, 3 T , , 6 m2 ri -h 4 uw1 3 ri* (1) 6 = -^4/n*-+- ^ ^..—^^
3 T. . 4om«/»« i5wn>H-4»'l (3) C = -^48/n« ^.+ T__r j.
On déduit de (1), (2) et (3)
ri
— vimb
ou bien
De plus
!ri , i) V „, . \%m>ri i-j.m-ri* ri
(6) -3«a + aft-fz|;8m» + __ + fl^ïyï)-
Les relations (1) et (6) donnent ensuite
a* — -! — - (— 3 ma ■+■ a h )"-
ol /l-
1 l\ l&m*n* \irriri n6 "1 1 /, , ft* V
et en comparant avec (5) on obtient
J*,, + messs-9\at- A LZL2(3/„a + «ft)«l
3l4 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES.
ou bien, multipliant par et faisant passer tous les termes
dans le premier membre,
-b-hmc\— -(— 3/na-f-aè)*=o.
et enfin, en tenant compte de (4),
— i2mb-hc[a (— \imb -+- c)6 1 i ..
, «2 n h me — (—3 ma ■+■ z b )2 = o.
i'.rt L4 i-2 a J g
Cette équation renferme une seule inconnue m ; elle e*l du second degré. En l'ordonnant, il vient
i?\\(b3 — a'* — abc) m* — 12 (ib* c -+• 1 1 a.' 6 — rtc2 ) /» ■+- 6c2 -+- 27 a3 c — 64 a2 62 = o, d'où
, îè2c -j- 1 1 aYb — ac-±a\
(7) m~ •>Mb*-a'>—abc) '
\- avant pour valeur
108 a1 c — i35a*A>-+- 9oa26c2 — 32oa63c -1- 2j665 + c*.
L'expression A2 est, au facteur 5 près, le discriminant de l'équation donnée (voir n° 149).
Les relations (4) et (5) donnent ensuite
( — o.mb -+- c)b q / . urne- c\3
