me = — -•— 4 m2 h

d'où

,0. r/ ( 48 am2-+- 126m — c)3

64 «2|— i2(62 — ac)m + 6c]

où m doitêtre remplacée par son expression (7). Enfin, de (1) et (4) on déduit

— aZ = 8m3+iï m2 /i h - (6m -+- n )

0 , . (6m + n)(-i2im + c)

\ia

et, en résolvant par rapport à n,

. — 96«m3-+- 726m2 — 6cm — iaa'Z

(9) n~ 144 «m2— ia6m + c '

RAPPORT ENTRE LES ÉQUATIONS POLYÉDRIQUES ET LA RÉSOLUTION.. 3 I j

où, bien entendu, on a remplacé m et Z parleurs expressions (7) 61(8).

Les relations (7), (8), (9) résolvent le problème proposé.

Le double signe (±) provient de ce que laquadrique principale admet deux systèmes de génératrices rectilignes.

l.v)7. Pour terminer, voyons comment une équation quelconque du cinquième degré peut se a ramener à une équation principale.

Soient V\ , y-*, j»'3, y.\ij'h les racines de l'équation donnée, que nous supposerons privée de second terme, en sorte que s,, s2, ... étant les sommes des puissances semblables des y, on a .v, = o. Posons

rkh = y£-j (/* = !.>, 3, 4, 5; * = i,2, 3, 4);

on aura

Donc les systèmes de valeurs

y ku y 7.î, y kt, y h, y/,-* (£ = 1,2,3,4)

peuvent être regardés comme les coordonnées pentaédrales de quatre points de l'espace. Prenons ces quatre points comme sommets du tétraèdre fondamental, et soient/?, g, r, s les coordonnées tétraédrales d'un point quelconque de l'espace. Les coordonnées pentaédrales du même point sont

(a) xh= pym-h qyin^r- rylh-\-$ykh (h = t, 1, 3, 4, 5)

et, d'après (1), elles vérifient l'équation fondamentale

si nous parvenons à déterminer/;, </, r, s de façon qu'elles vérifient en même temps

)l6 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES.

la transformation

= py-*-q (y- - j) + r(y3- j) + s (y'*- y)

ramènera l'équation donnée à une équation principale.

La détermination de p, q, /', s, dans les conditions indiquées, peut se faire d'une infinité de manières. Remplaçons en effet dans (3) les x/t par leurs expressions (2), nous obtenons l'équation du second degré

homogène en p, q, /•, s et dont les coefficients sont des fonctions rationnelles des coefficients de l'équation proposée ; si l'on se donne arbitrairement les valeurs de trois des quantités/?, q, r, s, la quatrième est déterminée par une équation du second degré.

Au point de vue géométrique l'équation (5) représente la quadrique principale, et notre problème revient à la détermination d'un quelconque de ses points.

On peut procéder ainsi : choisissons deux points quelconques de l'espace (/>(, qt, rK , s,), (p2, q2, /-2, s2) > tout point de la droite passant par ces deux points aura pour coordonnées

,„, | p = pipi + piPz, q = pi?i+pî<7»,

{ r — p,/'i 4- p2r2, s = piSi -h p.2s2,

p,, p2 étant des coefficients indéterminés. Introduisons ces expressions dans l'équation (5), elle se transforme en une équation du

second degré par rapport à El-

Si nous remplaçons, dans l'équation (5), p, et p2 par les valeurs correspondant à l'une ou l'autre de ces deux racines, nous obtenons un système de valeurs de p, q, r, s qui satisfont à la condition cherchée.

L'équation principale une fois résolue, les cinq valeurs âe x sont déterminées et la théorie de l'élimination permet de trouver rationnellement, à l'aide des équations (1) et (4), les cinq valeurs correspondantes dey.