I. 1-1-5 = 4, 1 F 3 + B= lo, etc

Les nombres pyramidaux ont été étudiés par les anciens. Mais

('] Cf. la )^nJratian du carti donnée au a" ii].

[') Ainsi le» premiers nombres lriangulaire« sont i, î, 6, lo, iS,... ; les premiers nombres carrés sont i, .{, 9,...; les premiers nombreï penlagonaux sont 1, i5, la, 22,...; les premier nombres hexagonaux sont 1, 6, i5. aS,...

PROPRIETES DE I

SUITB CHOUSl^TE TES

ils fureni, daas les temps modernes, le point de départ de oouvclles généralisations, dont la plus remarquable est sans doute le triangle arithmétique de Pascal (').

Pascal forme le tableau ci-contre, qui peut ^tre continue aussi loin que l'on veuL Dans ce tableau, les nombres de la première ligne sont tous égaux à l'unité; les nombres de la seconde ligne sont les nomhies ordinaires ou (' nalareh » ; la troî' sièmc ligne contient les nombres triangulaires; la quatrième ligne contient les nombres pyramidaux ; les lignes suivantes contiennent de nouvelles classes de nombres qui sont toutes délinies de la même manière, le «*"• nombre de chaque dusse élanl égal à la somme <les n premiers nombres de la classe précédente.

Le triangle aritlimétique jouit de itonibreuaes et fort belles propriétés qu'il serait mal lieu reu sèment trop long de rapporter ici (Cr. n° 266).

20- MédiétA». — Les arithméticiens grecs ont étudié sous le nom de médiates certaines associations remarquables de nombres, qui relèvent à proprement parler de la ttiéorie des proportions {l'Ule infrii n" 9Q), mais que nous pouvons mentionner dès maintenant.

Théon de Smyrme dislingue tlis sortes de médiélés pouvant avoir lien entre trois nombres a, b, m; il y en a trois qui sont fondamentales (') :

i" Médiélé arithmétique, lorsqTion a

axn. = a-f-(,;

l') Voir le Traité du triangle arithmitiqae, écrit par Pascal en i6r)l. (Œuv., p. 411 ïuiv.) Les nombres de Pascal avaient été donnes antcriourcnoent, avec nne disposition difTérenle, par Michel Stifel, [Arithmetiea Integra, NGrenber^, 1^13) et par quelques autres auteurs.

(•( Cf. MiLHAUD, Lm philosophes giomrbes de la Grèce, igou,p. 92. Les

a 4 LES ROMSRES

m est alors nio^f/i arithmétique {moyenne, au sens usuel du mot) entre a et b.

a' Médiélé géomélriqae, lorsqu'on a

m est alors moyen géométrique (ou moyenne proportionnelle) entre a et b; si a est divisible (') par m, on jwurra écrire

3° Méiîiété harmonique, lorsque l'on a (')

m est alors moyen harmonique entre a et b.

Les médtétés interviennent dans une foule de problèmes, aussi bien en g&Dmélrie qu'en arithmétique. La médiété géométrique, en particulier, i>ermet de déCnir certaines suites de nombres remarquables que l'on appelle « progressions yéomélriqaes ». Ces suites ont été étudiées par les Grecs, maïs on en trouve déjà un exemple dans le traité de l'Egyptien Abmes.

défiiùtioni qui suit ont subsistent sans modif! cations lorsque les nombres ^, b, m ne sont pas entiers [Vidt in/ra, n« 38 et i iC).

Si l'on connaît la théorie des proportione, on pourra écrire comme il suit les égalités qui déRnissent les mcdiétés :

Midiéli arilhmili^e :

Médiili géométrique :

Médiété harmonique :

(•) Et dans tous les cas si l'on connaît le calcul des Iioctions. (•) Si l'on connaît le calcul des fractions, on reconnaît, en chaque membre par m K a X. b, que cette égalité équivaut à

PROPRIÉTÉS DE Lk SUITE CROISSANTE DES NOMBRES a5

31. Progressions gâom^triquas. ' — On appelle ainsi une suite fie nombres [dits termes de ta progression) dont chacun est moyen géométrique entre ses deux voisins.

Représenlons les termes de la suite par les symboles (cf. 16) :

a„ a±, flj a„.

et supposons que chacun d'eux se déduise du précédent en le multipliant par un nombre (') b (toujours le même et difTérent de i).

Nous aurons, pour les termes successifs de la progression, les valeurs suivantes :

a, ; oj = o, X 6 : a, = n, X b = a, X 6' ; o; = a, X b = «Il X 6' ; — ; «„ = a, x M-'.

et, par conséquent :

ai = a, x ûj ; al = a, X a.; etc. Le nombre b est appelé u raison a de la progression.

Proposons-nous de calculer la somme des n premiers termes d'une progression géométrique dont le premier terme est Oi et la raison b.

La somme cherchée a pour valeur :

o, X (H-6 + fc' + ... +6"-').

Pour simplifier cette expression, eficcluons la multiplication de la somme (i + 6 + ... + fc"~') par le nombre b — i. Il est facile de vérifier que nous obtenons, comme produit, le nombrs b* — I. En d'autres termes, nous avons l'égalité

et il en résulte que la somme cherchée a pour valeur le produit (')

(<| On déduit de là que

^ = ^ = îi , aU.

(') ■ Siùt, — dit CfiuquET dans son Triparty (i484), — le dernier nombre multiplié par le dcnomioateur de la proportion [c.-à.-d. par la raison de la progreieion] , de laquelle multiplication soit Sic le premier, soit 1 ou autre nombre quel qu'il soit; et le résidu sait party [divisé] par i moins que n'est le dé'nominateur d'icelle [la raison] >,

Les noMiwES

- Problèmes diven niatits aux oomhna

23. DiTiBours et multiples. — L clnde des nombres cardinaux nous suggère une foule de questions d'ordics diveis qui sonl généralement aussi ardues à résoudre qu'elles sont simples ^ énoncer. L'eiïort que ces questions exige de nous n'a point peu contribué. semWe-t-îl, à leur conférer ce oaraclèrc de beauté mystérieuse qui a de tous temps captivé les malliéuiaticiens.

C'est la théorie de la division qui a donné lieu au plus grand nombre d'investigations, et c'est d'elle que nous allons tout d'abord dire quelques mots. ,

Nous avons vu (9) qu'un nombre b est ilil diviseur d'un nombre a lorsque a est divisible par b; a est dit, en ce cas, inuilipte de 6.

Lorsqu'un même nombre en divise séparément deux autres a el b, il divise évidemment leur somme et leur diiTéi-ence. Le quotient est égal à la somme ou & la différence des quotients de a el de A. D'autre paît, pour qu'un produit de plusictn-s facteurs soit ■divisible par un nombre c, il sulTit que l'tm des facteurs du produit soit divisible par c.

L'application de ces règles (qui résultent de la dérmilion même des o|)érationa fondamentales) permettra de résoudre toute «ne série de problèmes rdatifs aux diviseurs et aux niultiptcs des nombres.

Elaiil donné un nombre f/uelconi]ue, ijueU sonl les diuiseurs dice nombre ? Combien y en a-l-il ?

Etant donné plusieurs nombres, </uets sont IfS dlvisiseiirs communs à ces nombres ? Quel est le plus ijrawî île ces dirisciirs communs ? Quels sonl les mulliplrs communs aux pîiuieuis nombres ? Quel est le plus petit de ces multiples ?

Ces diverses questions sont traitées, avec autant d'élégnnce que de rigueur, dans les Eléments d'Euclidc \riile infni iS7].

l'our y répondre rapidement, il est commode de mellrc les nombres pro^Htsés sous la forme de pix>duit!; a\anl pour facteurs certains nombres que l'on appelle c nombres premiers » ou 'facteurs premiers n. Les nombres premiers jouent dans l'.VrîUimé'

PROBLEMES DITBBS KELlTIt'S AUX NOMRRES 37

tiqoe tout entière un rôle prépondérant, et leur importance avait déjà été reconnue par les Pythagoriciens.

23. Décomposition en iBCtenrs premiers. — Tout nombre a est divisible par i (le quotient est a). — Tout nombre est divisible par lui-même (te quotieut est i). — Un nombre ijai n'admet pas itautre diviseur que lui-même et ïanilé est appelé « nombre premier ». Ainsi les nombres i, s, 3, 5, 7, 11, l'^ sont ' des nombres premiers ; les nombres 4, 6, 9 ne sont pas premiers.

Soit n un nombre quelconque : je dis que ce nombre peut tonjours être mis sous la forme d'un produit dont tous les Jacleurs sont des nombres premiers.

En effet, si n n'est pas premier, on démontre (') qu'il admet sûrement un diviseur premier, a. Appelant le quotient n, nous «urons (8) :

ji = rt X n,.

«1 étant plus petit que n.

Si rti est premier, le théorème est démontré. Si fii, n'est pas premier, il admet un diviseur premier, h. Appelant nt le quotient

-r, j'aurai l'égalité :

"1 étant plus petit que fii.

Si «t est premier, le théortme est démontré. Si n^ n'est pas premier, on le décomposera comme n, n,, n^. Et ainsi de suite.

Les nombres ni, ni, n,, ... vont en diminuant ; il est donc certain qu'après avoir répété un nombre suffisant de fois la même opération, on tombera sur un nombre (') n,. qui est (igal ù i ; on s'arrêtera k ce moment-là.

Ainsi le nombre n peut être mis sous la forme d'un produit de facteurs premiers a, b, .... /, En réunissant, s'il y en a, (conformément à la définition des exposants), les facteurs premiers égaux nous obtiendrons fmalement notre nombre n sous la forme (";

rt = a'x 63 X ... X ('■-

(■) Voir lei txaiCéa d'arilhmélique ëlémenlaire. I') L'indice p indiqua te nombre des divisions efiectuéai. (*) Noua remplaçons par des points tes facteurs que nous n'écrivonR point et dont nous ne précisons pas le nombre.

38 1.BS KOUBRES

Dans cette expression, les Icltresa, b, ..., l désignent les fadeurs premiers distincts (ces facteurs pourraient se réduire à un seul) ; les lettres a, ^, ..-, X sont les exposants Je ces facteurs (s'ils sont égaux à I , on ne les écrit pas).

L'opération que nous elfectuons lorsque nous mettons n sous la forme indiquée est appelée n flécomposUion du nombre n en facteurs premiers ». Il n'y a point de procédé infaillible permettant

de trouver ('} du premier coup les lacteurs pi-cmîers a, b /

qui composent un nombre. On ne peut effectuer la décomposition qu'en tâtonnant, c'est-à-dire en recherchant successivement si le nombre est, ou non, divisible par les nombres premiers de plus en plus grands 2, 3, 5, 7, etc.

34. — Revenons maintenant h la théorie de la division. Pour qu'un nombre n soit divisible par un nombre m, il faut et il suflTil que chacun des facteurs premiers de m se trouve jKirmi les facteurs premiers de n avec un exposant au moins égal. Cette remarque nous permettra de former facilement tous les diviseurs d'un nombre n dés que nous aurons décomposé ce nombre en facteurs premiers.

Soient, d'autre part, ileux nombres n et m décomposés en facteurs premiers. Nous calculerons sans peine leur plas grand commun diviseur et leur plus petit commun multiple.

Le plus grand commun diviseur ('} est le produit obtenu en prenant pour facteurs les fadeurs premiers communs aux deux nombres et afTectant chacun d'eux du plus faible des deux exposinls qu'il a dans les décompositions des deux nombres.

(<) On observera qu'an sujet do la décompoaîtioD en facteurs premiers deux problèmes se posent : 1° démontrer qu'il existe toujours un produit de facteurs premjors rigal à un nombre donné quelconque n , 2° trouver effectivement ces facteurs. Il a été question ci-dosaui du premier problème. Nous faisons maintenant allusion au second.

i') Les arithméticiens démontrent, on le sait, que l'on peut obtenir le plus grand commun diviseur de deux nombres en appliquant la règle suivante : On divise le plus grand nombre, a, par le plus petit, i ; si la division se fait eKaclement, b est le plue grand diviseur cherché ; sinon on divise b par le reste r de la division eflectuée ; puis on diviso lo diviseur r de cette nouvelle division par le reste qu'elle fournit ; et ainsi do suite jusqu'à ce que l'on ait une division qui se fasse exactement; le dernier nombre employé comme diviseur sera le plus grand ci seuT cherché.

I DIVERS RELATIFS AUt ^0UHHE8 39

Le plus petit commun multiple de /n et n est le produit obtenu en prenant pour Tactcurs tous les facteurs premiers de ffi et n et affectant chacun d'&xt du plus grand des exjKisants qu'il a dans les décompositions des deux nombres (ou, — s'il ne Hgure que dans l'une des deux décompositions, — de l'cxposont qu'il y n). Le nombre ainsi formé est le plus petit nombre qui soit divisible ytar m et par n.

On déGnira semblablcment le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple do trois nombres ou davantage.

Deux nombres qui n'ont pas d'autre diviseur commun que i sont dits premiers entre eux.

25. CongmOQceB. — On se sevl souvent, pour étudier les propriétés relatives à la divisibilité des nombres, d'une terminologie spéciale, qui est due à Gauss (') et que nous allons indiquer.

Supposons que deux nombres différents n cl n', étant divisés par un même nombre m, donnent un même reste. Nous dirons que les deux nombres sont congrus suivant le module m et nous écrirons :

La relation ainsi écrite est appelée congruence.

Cette terminologie est avantageuse parce qu'elle permet d'exprimer en termes analogues un grand nombre de faits dîfTércnts.

Aina, pour indiquer que r (nombre inférieur à m) est le reste de la division de n par m, nous écrirons :

n = r (mod. m).

Pour exprimer que n est divisible par m, nous écrirons :

n^o (mod. ni).

Les con grue nces jouissent, d'autre part, de propriétés fondamentales dont l'énoncé est facile à saisir : Deux nombres congrus h un troisième, suivant le module m, sont congrus entre eux; si l'on -ajoute un même nombre aux deux membres d'une congruence,

— ou si l'on multiplie ces deux membres par un même nombre,

— le résultat est encore une congruence, etc.

" Dûçuisiliones Aritiuneticae, Leipzig, 1801.

30 LES nOMBRSS

Au lieu de constater que certains nombres sont congrus entre eux suivant certains modules, on peut se proposer de déterminer, — s'ils existent, — les nombres inconnus qui peuvent être ccugnis, suivant un module donné, à des nombres donnés.

Considérons, par exemple, la con^ruence

a X X =^c (niod. b]

où a, b, c, sont trois nombres domiés. Nous ne connaissons pas encore la valenr du nombre x, et nous ignorons m<?me a priori s'il existe nn nombre entier x tel que le produit a X x soit congru à c suivant le module b. Si alors nous trouvons un nombre x (on plusieurs) satisraisant aux conditions requises, nous dirons que nous avons « résolu la congriieitce n et que la valeur trouvée en est une a snlitlion n ('). Si, par contre, il n'eilstepasde nombre x qui en soit solution, nous dirons que la congruence est « impossible «. On peut proposer des congruences plus compliquées que la précédente, par exemple une congruence de la forme

aXx*-\-bx.r-hr = o (mod. m] ou une congruence de la forme

x" = a (mod. ni).

où II est un ex{>osant quelconque et x un nombre inconnu. La résolution de ces congruences [h supposer qu'elles soient possibles) présente souvent de grandes dinicullés.

Les congruences ont élc étudiées par les plus grands arithméticiens modernes, Euler, Lejeune Dirichlet, Legendra, Gauss.

se. RésolntioD des équatloni arithmétiques. — Heprenons la congruence

a X ar ^ r (mod, b)

que nous avons écrite plus haut. Supposons la possible, et codhdérons la différence des deux nombres a X » et f. D'apK-s ta délinition des congruences, cette difTérence est divisible par b :

(■) Appelons d le plus ^and commun diviseur de a et 6. On d^moiitr* que si c est divisible par d, le congruence proposée a plusieurs solulions leltc en a dj; »i c n'est pas divisible par d, la congruence est impOMible.

PROBLEUES bITBBS RELATIFS AVK :«OMnnBS 3l

ap[>c]ons y Is quotient. Nous aurons, suivant que a x x est plus (;rand ou plus petit que c, l'une des égalités

axi — (■ = fcXj' ou '■ = axx + 6xj'.

Ainsi, dans te cas où la congnieacs admet de* solutions, il existe des couples de nombres x et y s&tisfaisant à l'une des égalités écrites ci-dessus. Réciproquement, s'il existe un coupla de nom' br«s X etj salisfaisaut k l'une de ces égalités, le nombre x de ce couple est une sololion de la congrncnce iodéterminée. Une égalité telle que

«xi + dx.y — (■

et, d'une manière générale, toute égalité (équation) qui doit être satisfaite lorsque l'on donne à x et y des valeurs que nous ne connaissons pas encore, est appdée « équation arilhmélifiae indéterminée » ('). A priori nous ignorons quelles sont les valeurs de x et y; nous ne savons même pas s'il est possible do trouver deux nombres x et y vérifiant l'égalité donnée. Lorsque de tels nombres existent, ils sont appelés « sotnlions de l'équation ". u Résoudre tme équation », c'est em Irouver les solutions.

Gomme le moatrc l'eiemple que nous venoBa.de donner, l'étude des équations arilbraétiquee est inlùmement )ié« à celle des congnienccs.

39. — Le» arithméticiens ont étudié de nombreuses équations indéterminées ('), et quelques-unes de ces équations sont restées célèbres.

{') Lm hwU • équation >, ■ Bolulîan *, (juic nom Biiip)»)ton ' ici sont en^ruDtéa à l'algèbre. Et eu effet l'égalité prapasée n'eil autra qu'uni équation algébrique (voir Diux.l.iv.). Maia noua iie recbercheroiu ici qu« celles des toluliom de l'équation qui aont dea nomLrm entiers. L'équation algébrique axx+bxy = c,i deux inconniiei, n'aurait pas de ■olulioiiB déterminées [elle pourrait être Batit[:iite gutl qut >oU x pourvu que y ait une valeur eonvenoblL-) ; c'ost pourquoi cette équation est appelée, en algèbre comme en arithméiique, i équation indéterminée n.

(*) DtopiTANTE, le grand arithméticien grec, qui vécut probablement au IV* siècle ap. J.-C, étudia de nombreuses équations indéterminées. Il cliereha en particulier dn m» quelscasTéquation Axi* + Bxa^ + C = !/', ou A, B, C sont trois nombres enliors (ou, plus généralement, rationnels, ride infra, $ C) admet pour solutions des nombres :c et ^ entiers (ou

LES NOMBRES

Telle est l'équation de P)'tliagore

Celle équation est vérifiée par les valeurs a: =r 3, j- :^ 'i, s =; 5 (puisque 9 + i6 = 35), et elle admet une infinité d'autres solutions qui ont une signîQcation géométrique simple. Si l'on construit, en etTet, un iiîangle rectangle dont les Irois calés aient pour longueurs ded nombres entiers, il rûsulle du fameux tti6olème de Pjtliagore sur le carré de l'Iiypolénuae (199) que les Irois longueurs satisfont à l'équation i' + y* = ;'.

Cousidérons maintenant l'équation

On savait déjà au xvii° siècle qu'elle n'a |)as de solution, et ce fait fut démontré rigoureusemenl par Euler.

Fermât alla plus loin i '), et déclara avoir démontré que l'équation

est, pour m =:i, une équation « impossible en nombres dilTérenls de zéro » . Mais Fermât se borna à énoncer ce résultat sans donner ses preuves ; et, si l'exactitude de la proposition a pu être établie rigoureusernent pour les valeurs de m moindres que i ooo, la solution générale du u problème de Fermât » continue de se dérober aux etTorls sans cesse réitérés des malliémaliciens du monde entier. Nous voyons, par ces exemples, que les problèmes qui se rattachent aux équations arithmétiques n'aboutissent bien souvent qu'à la constatation d'une impossibilité. Mais, s'ils nous causent des déceptions, ils nous conduisent aussi parfois à de beaux théorèmes auxquels nous ne nous attendions pas. En voici un, enlrc bien d'autres, que nous n'aurions certes pas pu prévoir a

>nnels]. Il en est ainsi : i° Si A et C sont nuU; n nombre entier (ou rationnel); î< Si C eit le carre d'un nombre entier (ou rationnel). Cf. Ueato, Diophantus oj Alexandrie, -à' éd. Cambridge, lyio, p. 67 et auiv. — Les mathématioiens hindous ffids aupra, n" \ ot injra. Deux. Liv.) ont résolu également diverses équations arithmétique!.

C) Oba«rvatiot*t sur DiopkanU, Œvv. dt Fermât, t. I p. 2gi.