PROBLÈMES DIVERS RELATIFS À
l'avance;'). «Tout nombre peut être considéré comme la somme de quatre nombres carrés (oélant compris parmi les nombres^ m. Ainsi
al = 4' + a' -f- i' + o*, aa = /i' + 3» + i' -t- i', 23 — 3' -+- .V -H a» + 1*. etc.
38. Problèmsfl divers. ~ Parmi tes problèmes secondaires, auxquels on ne veut plus accorder aujourd'hui qu'un intérêt de curiosité, il en est cependant qui ont un brillant [>assé.
Nous avons déjà parlé (3) des nombres parfaits et des nombres amis. Ces nombres, et d'autres analogues, auxquels conduit la coosidération de la somme des diviseurs d'un môme nombre, ont provoqué, dès l'antiquité, de nombreuses reclicrclies ,'}.
On appelle d'ordinaire « parties aliguoles » d'un nombre l'ensemble de ses diviseurs (le nombre lui-même excepté, mais l'unité comprise). Un nombre non parlait est, d'après la terminologie pythagoricienne, abondant ou tUficiaal suivant que la somme de ses parties aliquotes lui est supérieure ou inférieure. Ln nombre abondant égal k U moitié ou au tiers, ou au quart de la somme de ses parties aliquotes, est dit soas-doulile, ou sous-lriple, ou soasquadruple.
De là, une foule de questions. En i63i, Mersenne (') propose de trouver un nombre, autre que lao, qui soit sous-double. En 1637, Fermât (*) adresse auiL mathématiciens de toute l'Europe un déli en règle, où il demande do trouver un cube qui augmenté de ses parties aliquotes soit un carré, et un carré qui, augmenté de ses parties aliquotes, soit un cube.
Fort anciens également sont les problèmes relatifs aus carrés magiques.
On appelle carré magique de n' cases un carré où sont disposés e sur un damier) fi' nombres, appelés éléments du carré,
(') Ce théorème énoncé par Bacbbt dam let commentaire! lur Diophaote {Diuphtmii orithnwd'eorum, Ubri,V/, éd. Bachet, Parïi 1621. p. 180) a été démontré rigoureuiement, par Lulgranoe {Nouv. mim. de l'Ae, dt Btrtin. année 1770, p. lal) «t par Euler {1777).
[*) Cf. datu l'Enq/el. da Se. malk., I, i5, le n^ aS rédigé pat Paul Tannbbt,
H Œuf. ds Deacarltê, éd. Adam-Taimery. I, p. aag.
I*) Ci, Œuf. d* Fermât, t. II, p. 3ïa.
Bouthmii. — Ln Priacipn il« I'AewI^m oultiéiuliqDg, 3
de lelle façon que la somme t}es éléments de cliaque ligne, chnqtie colonne ou diegonnie soït toujours la même. — Ainsi le carré
donné par le mathématicien juif Abraham beti Esra (') (mort en 1 167) est un carré magîqne.
Les carrés magiques ont occu}}é les Chinois (*), les Hindous, les Arabes, et ont été de bonne heure connus en Occident. Au XVII* siMe, Bachet (') attira sur eux rattenlion des malhénia^ciens français. Pascal leur consacra un traité (anjourd'hui perdu}, et l'excellent arithméticien Frenicle de Bessy en fit une étude approfondie (*).
29. Théorie des nombres premi«», — Il nous reste à signaler le chapitre de la théorie des nombres qui a peut-être donné lieu aoK dé^oppements les plus remarquables, — le chapitre r^atif aux nombres premiers.
H serait fort utile, — ne fût-cequepour faciliter la décomposition en facteurs premiers, — de déterminer la suile dos nombres premiers et de savoir reconnaitre rapidement si nn nombre donné est ou n'est pas premier.
On ne connaît malheureusement aucune méthode permettant de résoudre ces problèmes à coup sftr: force nous est de procéder par tâtonnements. Ainsi, nous connaissons les plus petits nombres premiers i, a, 3, 5, 7, 11, i3, 17, if), etc. Pour avoir les suivants, le procédé le plus rapide est encore celui que préconisait Eratotthine de Cjrène {176-19 ^ av. J.-C.)(*). Dans la suite croissanle des nombres, on biffe d'aborti tous ceux qut sont divisi-
(<] Eneyet. dta Se. math., l, ib, p. G1.
(I) On a trouvé un exemple de carré Tnagi<]ue dans une table chinoise vieille peut-Stre de quatre ou cinq mille ani.
I'] Problème* plauans et deUetablt* qui s» font par ka nombre», 1612.
(-) Cette étude a été publiée, après la mort de Fhemcle, ap. Divers Ouvrages deMalh.et dePhy». par MM. deVAcad. R. det aciencea, Paris. i%3.
(i) C,e procédé appelé crible d'Erathosthèiie est lapporté dans l'Eïia. fiifCi, àp^Opr.-tixil de yicomaqae de Gérase, tivr. I, chap. xiii.
PROBLÈMES D1VBB9 RELATIFS AUX :SOMBXI!S 35
blés par a, puis tous ceux qui sont divisibles par 3, et ainsi de suite : tout nombre resUnl, n'^tanl divisible par aucun nombre inférieur, est un nombre premier. On peut, par cette méthode, trouver tous les nombres premiers qui sont inrérieurs à i ooo, ou à loooo, ou à looooo; mais jamais on n'épuisera la suite des nombres premiers ; car cette suite, — comme Euclidc le démontrait dcjii, — est une suite infinie.
Pour aborder d'une manière plus rationnelle l'étude de la suite des nombres premiers, il convient de rechercher tout d'abord des propriétés qui caractérisent ces nombres et )>ermelteut de les distîngiuer des autres. Telles sont les propriétés formulées par deux célèbres théorèmes appelés théorème de Fermai et théorème de IVilson. Le théorème de Fermai, énoncé (') sans démonstration par le grand arithméticien, prouvé plus tard et généralisé par Euler ( 1 736), se formule ainsi : Si p eil un nombre premier el a un nombre non divisible par p. la différence a''~' — i est divisible par p ; en d'autres termes, on a :
ai'~' ^ I (mod. p).
Le théorème de Wilson, énoncé par Leibnii dans un manuscrit inédit O.attribuéà J. Wilson par Waring(*), s'énonce en ces termes : Si p est un nombre premier, le nombre i x 2X3...x(p — ')-l-i esl divisible par p; il n'en serait pas ainsi, au contraire si p n'était pas un nombre premier.
On est parti de ces théorèmes pour s'attaquer aux problèmes suivants : Les nombres premiers étant supposés rangés par ordre de grandeur croissante, quelle est, en fonction (*) de n, texpression du n^^' nombre premier P Etant donné un nombre N arbitrairement grand, quel est, en fonction de "S, le nombre des nombres premiers inférieurs o N ?
L'élude de ces problèmes a entraîné les arillunéticiens modernes loin des routes tracées par leurs devanciers. Gauss et Riemann en particulier, ont reconnu, au début du xix° siècle, que les H fonctions » définies par l'arithmétique sont étroitement apptren-
(') Lettre à Frenïole, i64o, Œuv. de Fermât, II. p. 309.
(i Cr. Entyti. it Se. hmiA.. 1, i!>, p. n.
f ) A/MftlolMMiM ■JjfkroKW. Cambridge. 3» édil., i-;-o; pr*f. p, XLIII.
(') Sur le sens des mots < en lonction de ■ vide infra Deux. Liy. oh. II,
36 LES KOMBRES
léesaui fonctions qu'étudient les chapitres les plus nouveaux de l'Annlj'se. Toutes les parties des mathématiques arrivent ainsi à se rejoindre tôt ou tard.
30. — Quelque Joie qu'il y puisse trouver, le mathématicien ne saurait s'immobiliser dans la contemplation des nombres cardinaux. En même temps qu'une belle science, en effet, l'arithmétique est une science pratique, tenue de satisfaire aux exigences incessantes de l'industrie humaine. De là vient que chez les plus anciens peuples civilisés l'arithmétique dut s'engager dans des voies secondaires, voie dont l'importance théorique ne fut reconnue qn'k la longue, à l'époque où la géométrie rationnelle commença à se développer (').
L'une des opérations pratiques que l'homme a le plus souvent A accomphr est le partage d'une quantité donnée en un nombre donné de parties égales. Cette opération est une division, mais une division qui n'est pas soumise aux mêmes restrictions que celle dont nous avons (ait plus haut la théorie. Soit, ]>ar exemple, à partager le contenu de i3 bouteilles en n lots égaux (rt désignant un nombre quelconque inférieur à 12) : la «division exacte d de 13 par n n'est pas, nous le savons, toujours possible; et, cependant, quelle que soit la quantité de vîn dont nous disposons, nous pouvons toujours diviser ce vin en autant de lots égaux que nous voudrons; si la division ne se fait pas exactement, les lots ne comprendront pas un nombre exact de bouteilles, mais on pourra toujours les constituer en ouvrant une ou plusieurs bouteilles et en partageant le contenu. C'est ainsi que si nous regardons le contenu d'une bouteille comme constituant t< l'unité de quantité de vin », nous pouvons être amenés à calculer, non pas seuleoient sur des unités entières, mais sur des fractions d'unité, c'est-à-dire sur des quantités plus petites que l'unité.
(') Voir le chap. 11, La ihcorie des proportions géoroétriqu«K, en particulier {vidt inlra, n" g6 tuiv.) imposait aux mathématiciens grecs ''Étude gyttéma tique des fractions.
