Equations différentielles

467. — La résolution des h équalîous dilTérentî elles » ('), tant à cause des développements théoriques dont elle est le point de départ qu'en raison des appplications géométriques et mécaniques auxquelles elle donne lieu, est l'un des problèmes fondamenlaux ■de l'algèbre.

Soilyou ^(x)une fonction incoDDued'unevariablex, et/, y", ... ses dérivées successives : si l'on sait que les quantités^, y, y, y" ■■■ — dont la variation est déterminée par celle de ic — satisfont, quel que soit x, k une relation implicite (n° 439)

■dont on connaît la forme, on peut parfois se servir de cette relation pour déterminer la nature de la fonction inconnue y. L'égalité OU relation (i) est appelée a équation différentielle entre y est a: n : la fonction y {x) est une solution on intégrale de cette équation (') : si l'on a trouvé toutes les solutions d'une équation différentielle, on dit qu'on l'a intégrée.

Exemples. — Les relations

(a) /' — 3rj'-|~/sinar = o

où/et ^ désignent des fonctions connues de x sont des équations différentielles. La relation y' — /{^) ^=- o. qu' ne contient pas y, est aussi une équation différentielle, et d'un type particulièrement simple : elle admet comme solutions les fonctions primitives de

fi")-

468. — Une relation implicite entre pltisieurs fonctions de j:, leurs dérivées, et la variable x, sera, elle aussi, appelée équation différentielle. Mais cette relation à elle seule ne suffît pas & déter-

(') Mot ÎDtroduit par Leibnitz, eu mSme temps qu« le mot derWar», dans une lettre A Newton, 1677, apud Matbemath. Wtrk. I, i5.f-6i. ('] On dit qu'elle < satisfait >à l'équation (i)ou( vérifie i cette équatiou.

ÈQUATIO:tB DlFFéBESTlELLES 44^

miner les foncions qui y figurent, dans le cas où ces fonctions sont toutes inconnues. Pour calculer plusieurs foncEions inconnues y, z, u, .... au moyen d'équations difTérontielles, il faudra que l'on connaisse plusieurs équations auxquelles satisfont 'simullanément (quel que soit x) les fonctions y, z, u, ... el leurs dérivées. Ces équations forment alors [comparer la théorie des équations algébriques ordinaires] un système d'équations différentielles simultanées.

Ainsi l'on peut trouver des couples de fonctions 3' et zde x satisfaisant aux deux relations simultanées :

•y + 3xy' --

469. Ordre. — On appelle ordre d'une équation dilTérenlielle (relativement k une ou à plusieurs fonctions inconnues figurant dans l'équation) l'ordre de celle des dérivées de ces fonctions qui se trouve avoir l'ordre le plus élevé. Ainsi l'équation (s) est du second ordre (par rapport à la seule fonction inconnue qu'elle contienne : j-) : en effet /figure dans celte équation et il ne s'y trouve pas de dérivée d'ordre supérieur à 3. L'équation (3) [qui ne contient d'autre dérivée que /] est du premier ordre. Les équations (i) sont respectivement du premier et du second ordre par rapport aux deux fonctious y cl z.

470. Réduotion d'un système d'énnatlona à uue équatlcn unique. — Nous nous^bornerons à considérer, dans les p.tges qui suivent, des équations difUérenti elles à une fonction inconnue. Nous en avons le droit, car on démonli-e que l'on peut toujours — théoriquement tout au moins — ramener la résolution d'un système de n équations différentielles à n inconnues à la résolution de plusieurs équations séparées [d'ordre plus élevé, il est vrai) dont chacune ne contient qu'une fonction inconnue (el sca dérivées).

Montrons, en nous plaçant dans le cas le plus simple, commei-.l se pourra faire la réduction du système. Considérons un système de deux équations du premier ordre (5) r(x,ya.y.z') = o. G(x.y,z.y,z') = o

contenant deux fconctîons inconnues de x et leurs dérivées.

446 CALCUL DES FO^CTIOdS

Dos deux équations (5) — Initiées comme àts équations ordinaires ayant pour inconnues y' et z* — on tire (') certaines expressions de y et z" en fonction de x,y,z, soit :

nouveau système d'équations différentielles qui équivaut évidemment au système (5) [voir le n" 479].

Raisonnons donc sur le nouveau système et écrivons que les dérivées par rapport & x des deux membres de la première équation sont égales ('). Nous obtenons (d'après la règle du n* 443).

•' bx V ai ' ■

ou, en tenant compte de la seconde équatioa (6) : (,) /=itoi£) + 5feiii)y^,52a::fj.,(..,^), équation de la forme

f et ij» étant deux fonctions de x, y, z. Nous devons satisfaire à la fois à la première équation (6), y ^=f{x,y^z), età l'équation (7'"). Or regardons ces deux équRtions comme deux équations ordinaires par rapport aux quantités a:,y,ï,y, y' et éliminons z entre les deux {voir a" 329) : nous obtenons, comme résultat de leliminatîon, une nouvelle relation ou équation, oâ n'cntreot pTus que les lettres x, y, y lAy' : c'est ane éqaalion da second ordre

i''{^-y<yy) = o.

dont t inlitjralion. donnera Us fonctions y qaisatisJorUà notre problème. Une fois y (et par suite y) connus, la ralaUoa impUcile

/ :=/{x,y,z) fera connaître z.

{') En d'autres termes, noiu ritoliioiu le lyMAme dM iq«atian {ii par rapport aux deux lettres ou quantités y' et s' {voir chap. t, §S j et 8].

(') Les deux membres sont <1m fonctions de s [puiaqne les quantités y et z sont elles-mêmes fonctions (inconnues) de x) et comme ils sont égtux quel que soit x, leurs dérivées sont égales aussi.

471 . Intégrale générale. — L'équation différentielle y =ytj;), oa y —/[x) = o, dans laquelle /(x) est la dérÎTée d'nne fonction F(x)tadiDetcomme solutions (467), les fonctions primilives de /(x), dMemies en dminant k la constanle G, dans l'înté^le F(x] + C, toHies tes valeurs possibles [voir $ S]. Nons conviendrons d'appeler intégrale générale de téquatîon l'intégrale indéfinie P(x) + C, (dans laqndle la valeor de C reste indéterminé), et intégrale on aolalioR particulière tonte fonction primitive particalière de ^x) [obtenue en donnant k C une valeur détenninée). Pour indiquer la présence de la constanle C (appelée constanle d^ intégration) dans l'expression de l'intégrale générale, nous dirons que cette intégrale gén^le dépend d'une constante d'intégration arbitraire,

ConsidéFons iDaintenant l'éijiiatioD

Elle nous donne (puisque y" est la dérivée de /) : / ^= Y{x) ■+- C, où C est une constanle arbitraire. Supposons que nous connaissions l'intégrale indéfinie, F,(x) -h C,, de F(j) : nous saurons alors que y, fonction primiti*» de ¥{x) -h C, a pour eipression

F,{a-) -t- Gr + C,

oà C et Cl sont deux constantes qui ont des valeurs arbitraires : cette expression est encore appelée intégrale ^^/i^rafe de l'équation : elle dépend, cette fois, de cfeiu; constantes d'intégration.

Nous étendrons facilement les remarques et déGnîlions qui précèdent à l'équation d'ordre n, j^=^J\r). Si l'intégrale générale

de cette équation est catculable, elle dépend de n constantes d'intégration arbilraira».

472. — Gela dit, coi»idéroa8 une équation qnelconqae du premier ordre entre y et x,

si je trouve une fcHKtioa 7 de x qui satisfasse i l'équation (S), je dirai que cette fooctioii en est une Intégrale ou solationparticaliire. Si je trouve une solution dans l'expression de laquelle entre nne constante arbitraire C [c'est-à-dire nue lonetion dépendant de

44^ CALCUL DES ra^fCTIOXS

C, qui satialuie à l'Atoatioa «aelle Qoe lolt U Ttlenr donné* à cotte quantité], je dirai que celte solution {oàje laisse C indéterminé) est Vintèijrale générale de l'équation (8). On a prouvé rigoureusement, — mais par dca procédés de démonstration quenousne pouvons paa exposer ici — qu'une équation dilTérenLietle ne saurait avoir plusieurs intégrales générales. Si donc une équation avait d'autres solutions que les intégrales particulières déduites de i'in- Icgrale générale en particularisant la valeur de C, ces solutions seraient nécessairement en nombre fini (leur expression ne contiendrait aucune constante arbitraii-e, vide infra, n° 4Q1).

473. — Il noua est facile d'illustrer ces déQnttiona en formant autant d'équations différentielles du premier ordre, qu'il nous plaira', dont l'intégrale générale nous soit connue. Considérons en effet une relation implicite quelconque entre y et x,

dans l'expression de laquelle entre une constante C. Nous avons, par dérivation (n° 444), la relation

OÙ les dérivées partielles /i' elj, dépendent en général do G : cette relation est satisfaite, quel que soit C, lorsque l'on prend pour y i« valeur de la fonction implicite dé&nie par (9).

Regardons alors, pour un moment, la relation (9) comme une équation algébrique ou transcendante dont l'inconnue est C, et supposons que nous sachions éliminer la quantité C entre les deux équations (9) et {10) ; nous obtenons ainsi une relation entre x,y et y' qui est une équation dilTérentielle (ne contenant pas C) : la fonction implicite défmie par la relation (9), pour une valeur arbitraire de C, est l'intégrale générale de cette équation.

474. Exemple. — Considérons les fonctions y dex définies par la relation y* — aC» = o où C est arbitraire. En dérivant par rapport à x, nous en tirons, — 2 G -H ayy' = o ; ou C = yy. Portant tlans la relation proposée, nous avons l'équation différentielle.

y* — axv/ ;= o ou aï/ — ^ = o.

ÉQUATIO:(S DIFPÉRSnTI ELLES 4^9

Àoat ta relation y* — aCx =t o définit Y inUgrak générale. En donnant à C une valeur particulière, par exempte 3, nous aurons une intégrale parliculiÈre ^' — ^x = o ou j ^ a ^.

476. — - UiniégraU générale d'une équation du second ordre (& une fonction inconnue) sera, par dérinilion ('), une solution dans l'expression de laquelle entrent deax constantes d'intégration qui restent indéterminées. En éliminant les constantes C et Ci entre une relation implicite y(x, y, C, Ci) = o et les relations obtenues par dérivation (*)

on forme une équation différentielle du second ordre dont l'intégrale générale est la fonction implicite 7(0;) définie par la relation d'où l'on est parti.

Exemple. — Considérons l'ensemble des fonctions définies par la relation

(M) y = tL(x + Jix')

où A et B sont deux constantes arbitraires. Les variables y et x figurant ici séparément dans les deux membres de l'égalité, la dérivation par rapport à o; se fait immédiatement sans qu'il soit nécessaire de recourir à In théorie des dérivées partielles. Kous avons :

/ = A (i -1- iBa:) = A -h aABa;, / = aAB.

Etant donné cotte valeur de aAB, nous pouvons écrire

y ^ A + y'x ou \ ^ y — r'x.

(<) On dcmontre ici encore que cette intégrale est néceuairenieDt unique.

(') lUa premifers dëriTatîon se tait comme au n" 473. Js dérive ensuite

par rapport k x l'exprewion f^ + f,- H- La dérivée de /', est fi^ [ou ^-( »

^ = y , et, d'autre part, d'après la règle du n- 443 : -^ = *^^ + ^ S or -~r ~ ^rl- =f'iv^^ L"" = /'u' P" définition.

BoimODi. — Lm Priacip*) da I'AuIjm Bulhimiliqnt. 39

430 <U:LCIII. I^ P05CTIOII3

Donc, en portant daas (i i) : j- = (j^ — yx) x -\-^ ar*, ce qni

donne, toutes réductions faites

Les fonctions (y) constituât l'intégrale générale de celte équation. Toute fonction {y) i)articulidre, obtenue en donnant à A et fides valeurs déterminées, — par exemple :

y = x — ■]x' ou ^ ^ 3.(x-(- ai'),

est une « intégrale particulière m.

470' — On étendra facilement les considérations et défintUons qui précèdent & une équation d'ordre quelconque. D'une nunièfe générale, l'intégrale générale d'une équation d'ordre n contiendra n constantes arbitraires.

477. ConditloDS initiales. — On établit dans la théorie générale des équations différentielles qu'une équation (8) du premier ordre possède en général une intégrale particulière et une seule qui prend une valeur donnée y, pour une valeur donnée x^ de la variable.

Nous ne sommes pas actuellement en mesure de démontrer ce théoi-èmc qui d'ailleurs — au point où en est notre théorie des onctions — ne saurait même être regardé comme >rai sans exceptions (voir 478) : nous pouvons, cei)endant indiquer la voie h suivre pour obtenir, en admettant qu'elle existe, l'intégrale de (8) qui satisfait aux conditions requises.

L'expression de l'intégrale générale est, d'après le n" 472, de la forme y^= f {x, C), l'expression de y dépendant k la fois de la variable X et de la constante d'intégration G. Il s'agît donc de déterminer une valeur de G telle que pour œ = x,, on ait y = y,, c'està-dire telle que ip {x„, C) ^=yr,- '-''' cetlo dernière relation, où x^ et j-g sont connus, peut être considérée comme une équation algébrique ou transcendante dont l'inconnue est C. Elle détermine donc la ou les valeurs de C qui répondent k la question posée.

Pour exprimer que les quantités x„ et jg sont les conditions qui déterminent une intégrale particulière, on dit qne ces valeurs ou

£q(iatio5s DiprénEimELLEs '4ôi

quantités sont d» conditioiu initiales (cf. n* 306) définissant tiniégrale.

On démontre parm)l«meDt' qu'une équation du second ordre- (supposée intégrable) possède en général une intégrale particulière et une seule qui prend une valeur donnée et dont ta dérivée prend, une valeur donnée pour une valeur donnée x^ de la variable. Les trois valeurs données, que je désignerai par exemple par a;,, /„, y\ , constituent les cottdiiions imtiaks définissant une intégrale particulière de i'équation.

L'étude des équations d'ordre quelconque conduira & dos con* clusions semblablesi.

476i La- proMton» do UlntégTMioD. — L'inl^i^ioiL d'une équMÏoB difléientielle

où F csl une fonction connue de x, y, y', y', ... est-elle une opération toujours possible ? Non, évidemment : car la simple détermination d'une intégrale indéfinie n'est point, elle-même, toujours possible. Ainsi nous sommes avertis ki l'avance que nouât ne réussirons pas à intégrer toutes les équations différentielles' que nous pourrons imaginer. Il n'en est que plus intéressant de notée et de mettre à part les équations que nous pouvons regarder comme « intégrables n.

Mais nous ne voulons pas r^éter icà l'étude qui a été faite atn $S. Nous ne nous arrêterons donc point aux calculs d'intégniies indéfinies que peut supposer l'intégration des équations, et nous nous poserons simplement la question suivante : Comment peut-on ramener le problème de l'inlégration d'une étjuatîon différentielle au calcul d'une ou de plusieurs intégrales indéfinies ? Si, pour un type donné d'équation, nous connaissons un moyen d'atteindre ce résultat, nous déclarerons que ce type est soluble ou inlégrable (') ; nous ne pourrons, en effet, être arrêtés dans l'intégration d'une équation de ce type que par une difficulté relevant du $ S.

(') On dit sonTent en prfeisant « intégrable par des- quadratuna not quadrature signifiant i calcul d'une intégrale indéfinia > [4^0).

402 CALCVL DES FO!<CTIOnS