Transformation dea équationa dUlér«miellea

Pour intégrer les équntîons difTérenti elles il faut en général, comme il arrive d'ordinaire en algèbre, prendre des détours : il est le plus souvent nécessaire de commencer par transformer les équations proposées en des équations équivalentes.

Deux équations difTérentielIcs relatives aux mêmes variables [par exemple x et y\ sont dîtes équivalentes si elles admettent la même intégrale générale (c'est-à-dire si elles sont ftatisfailes par les mêmes fonctions^ de x). Envisageons une équation de la forme F {x, y. Y) ^= o dont le premier membre soit une fonction algébrique (') de X, y, y : il est clair que, ai nous considérons pour un instant cette équation comme une équation algébrique contenant trois variables x, y, y, et si nous remplaçons cette équation par une équation équivalente au sens du n" 326, nous obtenons une nouvelle équation ditlérentîelle AjuivalenLe à la première. Nous dirons alors que celle-ci a subi une (ransformalion algébrique.

Ainsi les équations

/ = xy" ■+- y\ y' — xy'* — y» = o, 5 {y' — xV* — y^) = a

sont des équations équivalentes.

L'une des transformations algébriques les plus usitées, dans le cas où l'équation est du premier ordre, est celle qui consiste h (*) « résoudre l'équation par rapport à y >i, c'est-à-dire à former l'expression dépendant de x et ^ à laquelle doit être égale la quantité y pour que la relation F (a;, y. y) = o ait lieu.

Ainsi l'équation

y* -\-xy' -{- x'y^o

{') Noua Dous bornoni à ce cas pour simplifier notre expo»é; on étendrait aiiément Isa contidé rations qui vont suivre au cas où F serait fonction transcendante; si F était transcendante, il est vrai, on ne saurait plus parler, au sens rigoureux des mots d'une ( trani formation algébrique > de l'équation; cependant, pour simplifier le langage, nous nous permettrons d'appeler en tous cas i algébrique * (par convention spéciale) toute f transformation > qui change l'équation en une équation équivalenUau sens du n» 3i6.

(') Ou ■ tirer » j/' de l'équation, que l'on résout comme une équation algébrique dont y' serait l'ii

JQUATIOnS DIFFÉRENTIELLES 453

se transforme en

y= — g ± \/x* — kx'y

Les équalioDS diiTérentiellea d'ordre supérieur au premier se prêtent à des Iransformations semblables.'

Mais les transformations les plus fécondes seront (comparer le □" 33B)i des transformations indirectes, lesquelles font intervenir des variables auxiliaires prenant provisoirement la place des variables proposées (variables principales). Ces transrormations sont généralement dénommées « changements de variables ».

480. Changement da Tariablea. — Considérons une équation difTérenlielle entre x et y, par exemple l'équation du premier ordre ordre

Un changement de variables relatif k cette équation peut porter, soit sur la variable dépendante^, soit sur la variable indépendante, soit sur toutes deux.

Supposons d'abord que nous conservions la variable x et prenions comme fonction inconnue Je x une nouvelle variable f, définie en tant que fonction de x et j' par une relation connue, v^ g(x,y). Cette relation définit inversement y comme fonction de V et de x. Supposons en particulier (le cbangementde variable ne sera d'ordinaire praticable qu'en ce cas) que nous sachions exprimer explicilemenl y en fonction de a; et u : j" s'exprimera par une égalité de la forme

Dérivons cette égalité par rapport à x, en nous rappelant que t< est une fonction de x dont la dérivée peut être désignée par v : nous obtenons

Remplaçant alors, dans l'équation (i3);)'et y parleurs expressions {i3) et (li) en fonction de x, v et i*" nous aurons une équation différentielle entre x et i', qui équivaut à l'équation proposée. Si

'i5& CALCUL me Foncrnuis

l'on trouve une solution de cette équation, il sufTira de remplacer V par cette solution dans la relation (i3) pour avoir une fonction y de a; qui soit solution de l'équation (is). L'opération sera donc avantageuse loules les fois que Céqualion en x et v sera plus simple que téqualian en x et y. Or la fonction f qui définit le changement de variable (i3) sst arbitraire. Le tout sera donc de la choisir d'une manière convenable.

481. — P(Hir patur des vatiablee x et y A daix aoiuitlks variables a et V, il faut se donner doux raUtioas de hi fiinne

définiaunt a; et y comme fonctions de u et u [et inveraomwit uet d comme fonctions de x eiyj. Considérons, par exemple, la variable u comme la variable indépendante : la dérivation des égalités (i5) par rapport à u nous donne

:c: =/. + ,//.. /. = .:-Ht/?;.

Or y. = y'.à. = ^-:- . Donc :

(.,6) '■=fMf:

Remplaçant, dans l'équation dilTérentielle (i3j, x, ;y et v' par lauTs expressions en fonction de u, l>, v' données par les .égalités (i5) et (i6), nous obtenons une équation différentielle antre x, v al v' qui équivaut à l'iquation (12).

482. Cas d'ane équation du aeoonâ ordre. — On définira de la même manière le changement de variable ou de variables relatif à une équation du second ordre ou d'ordre supérieur.

Proposons -nous, par exemple, d'effectuer le changement de variable (i3) sur une équation de la forme

En dérivant l'égaiitc (i3), nous obtenons l'égalité (i^) ; en dé> rivant celle-ci [d'après les règles du n° 443] nous avons :

ÉQDATIOUS CLASSIQUES DU PIKUIER ORDRE £55

L'équation (17) »d tnnsforme donc en une éqtMtton du second ordre

F[x, ç(jf, v), ç, +«'?'., ip',. + ... -+■ ii'ij'.] = 0,

dont le premier membfeesldflvsDU'une fonction de ^, t>, n'ai ti*. Tel est le principe de la méthode du changvaunt da variablm, dont le lecteur trouvera de nombrooms applications dans les deux paragraphes qui vont suirre. Ces paragraphes contiennentile relevé des équations diiTérentielles intégrables les plus classiques du premier ordre et d'ordre supérieur.

- Éqaatioas classiques tfu premier ordre

4S3. Eqoationa & variables séparée*. — On appelle ainsi une équation qui se présente sous le forme, ou qu'une transTonuation algébrique(') permet de ramener à la forme (*) :

(I) y ■■kj') = 9{a

<f{x) et '^{y) étant respectivement des fonctions de la variable indépendante x et de la variable dépendante y.

Supposons que nous puissions former uno (onction primitive <I» {x) de y {x) et une fonction primitive (') *F {y) de la fonction de y, '^iy)- D'après la règle du n* 417, le produit y' . "^(y) sera la dérivée par rapport à 3: de ^{y) [qui est une fonction composée de X, puisque, y est, par hypothèse, une fonction de x, solution inconnue de i'équalion (i)].

(*) Je donne ici k la locution < trana tonna tîon algébrique > le leui général qui a été iudîquëp. 4^3, note 1,

(*) Le procédé qui conusts à mettre une équation différentielle aou* la forme (i) et à l'intégrer comme noui l'expliquons ci-deesous, est appelé par JiAN BiKNODiLLi : «éparatioQ dn variables {»eparatiointlelerminatarum) [Aeia «rudUorum, novembre lËgi), Œuv., 1. 1, p. laï-sS].

(') J'entends : fonction primitive par rapport à la variable y, c'est-

l-dire telle que la dérivée par rapport Ay, j- soit égale à ifiV)-

CALCUL DES FOnCTtO;iS

Les deux fondions de. x, 4 (x) et ^' {y), ayant des d^rîv^ égales d'après (i), dilTérent d'une quantité constante; donc :

Toute fonction y de x solution de l'équation (i) satisfera à la (*) relation (s) (quel que soit x) pour une certaine valeur particulière de C; et réciproquement l'on vérifie immédiatement que toute fonction y définie par la relation (s), (pour une valeur particulière quelconque de C) est solution de (i). Donc, conformément & la définition du n' 472, nous dirons que la relation (3) nous donne t intégrale générale de l'équation (i).

Remarque. — Si l'on se sert des notations introduites au n" 463. on peut écrire la relation (3) sous la forme

9 («) (te -H C.

484. Exemple. — L'équation ^ = 3jc' h- i a pour intégrales les fonctions définies par la relation

Lj- = x' -t- a; H- G (C constante arbitrairv), ou, si l'on préfère, L/ + LC ^ ar'-t-a:, (C constante arbitraire), d'où C'/^e' +'.

486. Equation homogène. — On appelle ainsi une équation qui, par transfonnation algébrique, peut être mise sous la forme

(3) ''=Aî}

le second membre étant une fonction connue du rapport *- . On démontrera facilement que dans le cas où l'équaUon est mise sous forme polynomale, soit

P{x, y, y) ^ o, ou encore ç (x, y, y) ^ 'l<(a:, y. y').

{') La Tclation (s) peut être regardée comme une relation implicil* défÎDÎMant y comme fonction de x.

ÛQVUtlOIIS CLASSIQUES DU PREMIER ORDRE i5j

F, tf, i{i étant des polynômes, !l Taut et suffît pour que la condition énoncée soit remplie ^tic F soit homogène par rapport aux deux variables x et y, ou qœ ç e( i}* 'O'*"' '"«* ''^"* homogènes (') par rapport à x et y et de mime degré. D'où le nom d" a équation ho- . mogène ».

Pour intégrer l'équation (3) prenons comme variable auxiliaire (variable v) le rapport ^ en posant y = vx. Dérivant par rapport à X, nous avons y' = v -\- xi/ ; l'équation (3) devient donc V 4- xo' =/{tp) ou xv' =/{v) — V,

ou enfin ?,- t-; - = - , équation à variables séparées qui s'intègre comme nous l'avons vu au n* 483.

480. Exemple. — Considérons l'équation (4) xy' = y -^- )/x* — y* .

Ed divisant les deux membres par x, nous avons l'équation ^uivalente

Effectuant te changement de variable ci-dessus indiqué, y^xv, nous obtenons l'équation