Fonction rationnelle de x et d'où radloal portant aar

un polynôme du eecond degré. — Proposons-nous d'inl^grer une fonction de la forme

R {x, v/orr» -H (.»-+- c)

qai ae pv^Male oomme une fonction ratîoiuulU de deax varûMn.

dont l'une est x, et l'iutre la quantité y'oa:' H- 6x + c, (A a, b,c sont des coefHdents constants. Cette fonction dépend de la seule variable x, mais on peut la considérer comme une fonction composée (440) eu l'écrivant

R (a:, y) avec y = \/ax^ + bx -i- e.

Voici comment l'on pourra, en toiit cas ('), remener l'intégration de la fonction R à l'intégration d'une fonction rationnelle d'une variable unique (459) :

Posons, pour simpUner l'écriture, /> = , g == -, en sorte que

y = y^a (x' -H ^ ar -1- ^ = \/a.\/x' + p puis faisons un changement de variable en posant

i'i D'aaUta métboàet pourront ttre pliu rapidM dus aertaini oai partieulian : caU* qn* iMut indiquai» a l'avantaga d'Mre loujoan ^plicable.

I FQHCTIOSB PanUTIVES ^43-

(i bis) \/x* -f-p* + ^ = a;— n.

ce qui revient k remplacer la variable x par la variable ii qui est liée à X par la relation (i bis). Pour avoir a; en fonction de a, nous élèverons au carré les deux mambres de [ i bis) ; cela nous donne : j*-\-px + q=:x^ — 3ux + a*, d*oû Von tire , lou les réductions faites :

X = ^ ; ainsi x est une fonction rationnelle de u ; il eo est

par conséquent de mime de h dérivée x',, et tnissi de y, puisque, par hypothèse, y=^^a{x — u). Donc, lorsque l'on remplace x et y par leurs valeurs en fonction de u, l'intégrale II calculer

R (x, y) . X. . du devient une intégrale de fonction rationnelle de u.

46A. laWgral— iliWnit» — Nous nous cootaoterons Ici da donner une déânitioa de l'intégrale définie doat nous nous occuperons h plusieurs reprises dans la suite de cet ouvrage

Soit F(a:) une fonction primiUve d'une fooctioii /(x), et a, ^ un intervalle où cette dernière fonction existe st est continue. Oa appelle « intégrale définie, étendue à l'intervalle a, h », de la fonction f{x) la différence F(fc) — F{a).

Cette différence remarqooiu-le ect toujours la même quelle que soit la fonction primitive de f(x) que l'on considère. Soit, en effet, G (x) une autre fonction primitive. On aura, G (x) =; F {x) + G, G étant une constante indépendante de x. Donc

Nous conviendrons de représenter l'intégrale définie de /(x)

élflDdue & l'ialervaUe [a, b) par la notation | f[x) 4*.