V-hxi/ = v-hVt—^ ou
Appliquant à celte dernière équation la méthode du n** 483, nous obtenons l'intégrale générale
arc »in V = Las -I- const. = LCx, (C constante) (*),
(■) Vide ntpra, n* aga. Ainii, doni l'«xeinp)e du n" 4'^, l'équation [J) peut s'écrire xy — y = ^x* — y* ou, au a'élcvaDt au cairé J {xy' — yj' c= ^ — y*, équation dont 1m d«ux membres ïonl des polyoomei homogènes du «econd degré en x et y.
(*) Voir la remarque faite p. 43i note 3).
45S GALCL'L DE8 FO.tCTlOTia
d'où, d'après la déûnition de l'arc sinus :
u=;sin{Ci) ou y=arain(Cx).
503. Typa d'éqaation ae ramenant ft un» équation homogène. — Soit proposée une équation de la forme
dont le second membre est supposé être une fonction connue du
rapport -j — rr^^ '• • Po""^ intégrer celte équation, commençons
par déterminer les solutions du systfeoie d'équations linéaires àdeux
ax -^- by -^ e = o, a'x + b'y 4-1/^0;
cesont(') (¥oirn*3«5)3: = > = ab' -- ba! ^"=^= ab' — h^'' P"" elTectuons le double changement de variaUe défini (cf. n" 481) par les égalités
Nous ayons /', ^= I, o', = o, /",=ç',^o; donc, d'après la règle du a' 481, l'équation (6) devient :
Mais, d'après la définition de a et p, la fraction entre crochets se réduit à -, I , ; nous aurons donc en divisant les deii\ termes de eette dernière fraction par la même quantité m), l'équation homogène de forme (3) :
s plaçons dans l'hypotbèM où le ayatiRie daa dou 4q«w 1 et un Bcul ayitèine de lOlutiou x ^-a.tf = fl.
ÉQUATIOMB CL4SUQUH DU PRIHIBR ORDKE 4^9
604. EqaaUoiu dUTArentiaUM UnéalrM. — Use équalion ditlérentielle du premier ordre est dite linéaire si elle se présente ou peut être mise sous fonne
le premier membre étant ua polynôme du. premier degré en y fi/ / , dont les coefEcîents/ (a:),/,(a;),/.(a;) peuvent êlre d'ailleurs des fonctions quelcontjue» de x.
- v4^. noua pouvons écrire
Po«nl,W=-/i|ï-), ainsi l'équation (7) :
Nous allons Taire un changement de variable défini suit. Posons
a étant tel que
- ^ y (x), d'où ]0(; u = I i (t) dx, et par suite u = e^ *''W,
expression dans laquelle nous donnerons à la constante arbitraire une valeur déterminée quelconque [ce qui revient à dire que nous prenons pour Lu une Toaction primitive quelconque de^(x)j.Daii8 ces conditions, — u étant une fonction connue de x, — l'égalité (9) dé&nit un changement de variable [passage de la variable )> & la variable z] au sens du n° 480 ; d'ailleurs l'égalité (9), où l'on considère y, u, z comme trois fonctions de x, nous donne, d'après Ib propriété fondamentale des dérivées logarithmiques (413).
Portant dans l'équation (8 bis], nous avons
46o CALCUL DBS TOrlCTIOHB
OU, d'après la déûailion de u et de 2 :
^=m = m, donc ^=m.
z y uz' a
Ainsi nous connaissons la dérivée de z puisque u est une fonction connue dex; doue nous aurons z en calculant l'intégrale
f^dx ou(<) Ç[^(x).t-f'^'''']dx.
Nous obtiendrons ainsi finalement (']
y = .= =,/'(-"> . J[«x),-/'l")'^]jx.
480. Equation d« BemouUli. — Jacques Beroouilli posa en i6g5, k propos d'une question de mécanique, le problème suivant (*) : Aequalionern ay' = y.p ■+■ b .y.q, — ubi a et b quartlilales datas el conslantes, n potestatem quamvis IHerse y, pet q
{'] D'après la valeur de u et en nous rappelant que, quel que soil l'expofBut «, T = e~'.
(■) E:umpU. — ConiidJmiii l'^uation
atf ■+■ y — cot z = o, ou y' = — ~+wx. Je pose
— = — -, d'où log u ^ — log X, égalili à laquelle on aatiilait eupranant u =iZ-'. Poiant alon y =iui, j'ai
Intégrons par parties (a* 456] en poiant
u = sin X, c = I, d'où u = cob x. v' =« i, j'aurai
j X coa xdx E2 / u'vdx =^ X sin x — / sin xdx =: x sin z + eoi x + C-
' n- ■ . CMI+ C
Dou !/ = ui = iinicH •
On vérifiera facilement que les lonctioni y ainsi définies satisfont bien i l'écpiation proposée.
(') Aeta erudilorum, déc. i6;)S, p. ^53. Conformément â la notation diffcrenliclle que noua exposerons plua loin {Trait. Liv., chap. ii), BsnNOuiLU écrit ady = ypdx -\- ty-qdx.
ÊQU&TIOIIS CLASSIQUES DU PRRHIER ORDRE ^Gl
quanlitaUs aicamque datas per x denotanl — conslruere [c'està-dire : résoudre l'équation ay' = yp ■+- by'q, où a et 6 sont deux constantes, y une puissance de y et p et 9 deux fonctions de x]. Ce problème (') fut repris en 1697 par Jean Benouilli {Acta eraditorum. Mars 1697) : on en ramène fort aisément la solution A l'intégration d'une équation linéaire. En effet, l'équation de Jacques Benouilli peut s'écrire :
Faisons alors un changement de variable en prenant pour nouvelle fonction inconnue la quantité z = y''" ; nous avons 3f ^(1 — n)y-"y'; donc l'équation (lo) équivaut k
équation linéaire que l'on sait intégrer (n° 488).
400. Eqoation de RIooaU(*}. — On appelle ainsi les équations de la forme
(12) y = 9i,(x} -h y .f,{x) + y* .ft{x),
dont le second membre est un polynôme du second degré en y, ayant pour coefGcients des fonctions quelconques de x. L'équation (la) n'est intégrable au sens du n" 478 que si l'on en connaît déji une intégrable particalière ; en ce cas elle peut être ramenée à une équation de Bernouilli.
Supposons en effet que nous connaissions une fonction u qui
(') Si l'on veut jcrirs la forme générale de l'équation cle Bernouilli, il eit inutile d'y introduire dei coeffieienta constaotB a et b ; on écrira :
p{x) et q{x) désignant deux fonction» quelconque* de x.
{') Le comte vénitien Jacopo Riccati (1676-1754) n'étudia en réalité qu'une équation particulière du type (la), l'équation
"^" ' = £+"''■ oA m et R «ont dei nombre* connus [AnimadveniorMÊ in uqualUnu differtntialu aeeundi gradia, apud Aciorum enidilorum auppltmenia, t. VIII,
JOZ CAUmi. DBB FO!l(iTIO:iS
satisfMse& l'équatLOD (12), et faisons le ohangemnt de varîiUa y ^ a -i- z [c'est-à-dire panons de la >-ariab)e y à la variable z = y — u]. L'égalité ( i a) nous donne
y=tt' -hz' = ?t(x) + {u-i-z) ç.{x) -h (a + zy T.(i). Dévdoppant le dernier membre, et remarquant que «' = ?o(-^) ■+■ " ■ ?i(^) + «' ■ 91'^)puisque u eat par hypoUièse solution de l'équation, j'ai finalement
' ^ î . ?.(a^ "+- auz . ç,(a:)+î» .?,(«■). ou : r" = [fi(a!) -t- aw . <p,{i)> -I- î* . «pV' . ce qui est, par rapport Jk z une équation. de BernouUli.
491. Equation de Clalrant. — Nous n'avons étudié jusqu'ici que des équations rationnelles (') par rapport à ^ et résolues par rapport à y, — où par conséquent ne iigur&it que. la première puissance de la dérivée y'. Il en est autrement de l'équation de Glairaut, et l'étude de cette équation va nous canduire àcertMoes constatations nouvelles et intéressantes.
Considérons une équation de la forme (*) (|3) y-xy'=Sif}
où le second membre est une fonction arbitraire de la dérivée de la fonction inconnue.
DéHvons par rapport à x, les deux membres de l'égalité (i3). Remarquant que la dérivée de y' est la dérivée seconde/, et que la dérivée à^fly') par rapport h x est par suite {') (/) . /"y", nous obtenons :
/ — (a:/-t-/)=/0')./. donc — a-/ =/(/) ./, ou
(') Je veux dire : dei équations dont les deax membre*, cantiâirii comme foncUona de y seule, étaient fonctiouB rationndlei.
(') Cette équation fut étudiée par Claihaut en 173^ [Solulion de plulUura problème» où U s'agit de trouver des courbes dont la propriili consiste dans une esrtaine relation entre leun brancKm, exprimée par un» équation donnée, Mém. de l'Ac. Royale des Sriences, 1734, p. igG euiv.].
'*! Ba àéâfnmt ■perf-'.y) la dérivée de f^y) pai rapport k y', c'eat-à-dire
ÉQUATIONS CLASSIQUES DU MtEMlBH ORDRE ^QZ-
Toute fonction y àe x qui satisfait & l'équation (i3) astisféra nécesBBÏrement à l'équation (i4). Quelles sont donc les solationsde l'équation (i4)>'
Ce sont d'abord les fonctions y dont la dérivée seconde y est nulle, dont par conséquent la dérivée première y' est constante. Il est facile de voir, que parmi ces fonctions, une inlinité vérifient l'équation (i3). En effet si / ^= C (C coiutante) il suffit que y — CaT = /[C) pour que l'équation (i3) soit satisfaite. Donc lesfouctions j" = Ca; +/(C) où C est une constante arbitraire sont toutes solutions de l.'éqiiation (i3l : elles en constituent t'mlégrale générale.
Mais l'équation (id) n'adnMt pas seulement les solutions que nous venons de considérer. Elle est encore satisfaite si y est une fonction telle que a; -»-/*(/} =;0 : si donc l'on peut déterminer une fonction y vérifiant 4 la fois les deux égalités
cette fonction sera solution de l'équation (i3). Or considérons les. équations (i5) comme deux équations algébriques ou transcendantes entre lesquelles nous éliminerons la quantité y [voir n° 329] : il nous restera une relation entre x ety (ne contenant d'ailleurs pas de constante arbitraire) qui définit implicitement une intégrale de l'équation (i3) : cette intégrale ne fait pas partie de» intégrales déjà trouvées (ces dernières sont des polynômes du premier degré en x, tandis que la nouvelle intégrale sera en général une fonction bien plus compliquée) ; elle est appelée u intégrale siiigiiliire a.
Nous voyons, par cet exemple, qu'une équation diiTérentisUe est susceptible d'admettre d'autres solutions que cdles qu'on obtient en particularisant la valeur de la constante C dans l'expression de l'intégrale générale.
On peut d'ailleurs démontrer que l'équation de Clairaut n'a pas d'autres intégrales que son iotégrale singulière et les intégralesj = C«+/C).
4KI. Exemple. — Considérons l'équation
kGh CALCUL DES
OÙ a est une constante. D'après ce qui précède, celle équation admet pour intégrale générale les polynômes j- = Ca: + r. (C quelconque). Elle admet pour intégrale singulière la fonction obtenue en éliminant V entre les relations
Or élevons au carré la seconde relation ; elle donne
Remplaçant y" par sa valeur - tirée de la première relation, j'ai la relation implicite cherchée :
j'* ^ x' . — h 2<iic + a' . - . ou y* = 4<"^i
qui définit l'intégrale singulière.
8. — Equations classiques du second ordre et d'ordre supérieur.
4B3. EqnatioDB ne contenant pas y. — Les plus simples des équations du second ordre (è une fonction inconnue) sont celles qui ne contiennent pas la fonction inconnue)', mais seulement ses dérivées première et seconde, et qui, par conséquent, se pi'ésentenl sous la forme de relations entre a:, y" ely' :
Une telle équation peut toujours être regardée comme une équation du premier ordre relative à la fonction inconnue y", puisque y est la dérivée de y. Son intégration relève donc du paragraphe précédent. Si la résolution est possible, nous obtiendrons y' sous
£qliatio:is classiques du second ordre, etc. 465
forme d'une fonction de x et d'une constante arbitraire, soit y = (f{x, C), et nous aurons par conséquent, y = | f{x, C) dx. Ce sera là l'intégrale générale (') de l'équation (i).
404. Eqaations ne oontenant pas x. — Une équation du second ordre ne contenant pas ei pi te item en t la variable x est de la forme
(a) FCr, /. /) = o,
le premier membre étant fonction de y et des deux premières dérivées.
Nous allons effectuer un changement de variables en prenant comme nouvelle vanable dépendante la quantité /, que je désignerai par z, et comme nouvelle variable indépendante la variable y.
Si nous posons z = /, nous aurons par définition 3- =y;
d'ailleurs si l'on désigne par r', ou -^ la dérivée de : par rapport &
jt on aura 2, t= ;, . y\, d'après la règle des fonctions composée» (n" 417) donc, d'après la définition de z :
Remplaçons y" par cette expression, et y par z, dans l'équation (3) : elle devient une relation entre y, z et z',, donc une équation différentielle du premier ordre qui défmit ; comme fonction de y.
(1) Exemple. — ConaîdÉranB l'équation
av" ■= - y' + ar.
Par rapport k y', cotte équation est linéaire du pretnier ordre. On trouvera, ea appliquant la méthode du rfi ^88, qu'elle a pour intégrale générale
y = I + - (C constante arbitraire) ; noua aurons donc
l Cxdx + C r^ = ^ + C
log X Cj étant une seconde constante arbitraire.
BouTiDui. — Lca Principe! à» l'Aailj'M iualhèiii*lii)De.
406 CMCVI. DBS PO-NCTIONS
Si l'on sait intégrer cette équation, on trouvista une expressioa de ' 2 de la forme
z = f (j', C), (C constante arbitraire) ;
on aura donc y ^if(y, C) ou
équation différentielle à vaiitUes >épsré«B par rapport k y at as (n" 483) qui donne (') [puisque la fonction primitive de i est x]
I ~/-r\ = ^ + C, {Cj constante arbitraire). 4QS. Exemple- — Considérons l'équation
Posant z a /, Doas avons, d'après ce qui précède :
or on vérifie sans peine que le premier membre de cette égalité est la dérivée par rapport i y de la fonction — (i + z')"'* ; le second membre est la dérivée de y ; donc (en remplaçant z par y') :
= y -t- C (C constante arbitraire)
on tire de là :
et l'on peut calculer l'intégrale indéfinie du second membre es appliquant la méthode du n° 465.
Citons encore, à titre d'exemples, les équatîoos
Cl Voir la Rtmarqiu à la fia du n» 4S3.
„Googlc
ÉQUATIONS GL&S6IQUBS DV SECOKD OBDRB, ETC. ^67
qui ont été étudiées par Newton ('), et intégrées par une méthode eeml^ble à celle que nous avons indiquée ci -dessus.
496. Equations liaéalroB. — Un troisième type d'équation du second ordre que l'on peut quelquefois intégrer est l'équation
polynôme du premier degré en y, y, y dont les coefficients sont des fonctions de z.
Telle est l 'équation
y + [x/ = 0 (;i constante)
que l'on rencontre dans la théorie de l'attraction universelle et qui a été étudiée par Newton. Nous ne nous arrêterons pas à cette équation, car nous allons pouvoir étudier d'emblée, et tout aussi simplement, les équations linéaires, plus générales, dont l'ordre est quelconque. La théorie de ces équations est l'un des chapitres les plus achevés et les plus riches de l'algèbre, l'un de ceux qui ont conduit aux résultats les plus harmonieux. C'est pourquoi nous allons le développer avec quelques détails.
487. Equations linéaires d'ordre n. — Une équation différentielle d'ordre quelconque n est dite linéaire (") lorsqu'elle est un po-
(■) Phitoêophix nobtrali» Principia maHumaÛiiea, iii86-K, De motu corporum, sect. II, p. ^j6 et suiv. Les deuxéquations définiisent le moaveinent d'un point pesant, d'ordonnée tf, descendant le loag d'un axo vertical Oy {tourné vers le bas) dans un milieu résistant, la résistance étant proportionnelle à la vitesse y' ou au carré de la vitesse [^la variable indépendante ««t ici supptMée ttie )c lempt, I, dont la position du mobijp — c'esl-à-dire y — est fonction].
(') La théorie des équations linéaires (ut conslituée, dans ses parlics piiucîpales, au cours de la seconde moilii; du 'xvjii' siècle. Son princi[>al artisan fut Eulkr [voir les Inatitutionea caUuii inlegralU, Volum. aecurul., St-Pétersbourg, 176;), Pars eecunda, cap. 11 : De reeolulîone œqualionum
Asf + B.^ + C.g^, + D.^^, + E.^^ + etc = o,
p. 375 et suiv.; voir aussi MisceUanea Bcrolînensia, ly'O]. D'Alembekt étudia également les équations linéaires [voir Ips Mémoires de l'Académie de Turin, MlsceUanea Taurineruia, 17U3, p. ^Ho et sulv.).
468 CiLCDL DES FOSCTIONS
Ijnome du premier degré par rapport à la fonction inconnue et à ses dérivées successives du premier, du second, ...du n'*"' ordre. Une telle équation peut-être écrite sous Torme
(4) /.;«) . ë+/^.M. £i + ..■ +/,(«) . È ■vy.(r).j-=x
OÙ Xet les y sont des fonctions de a: (appelées coe^ciVn/i de l'équation).
Les équations linéaires jouissent de remarquables propriétés dont quelques-unes apparaissent immédiatement.
Convenons d'écrire, pour abréger :
égalité symbolique dans laquelle u peut désigner une variable quelconque fonction de x. De cette égalité nous tirons aussitôt les suivantes :
(6) * jCu} = C.*[u!, *|u-v-vj = *[uj-t- *}«j
où nous désignons parC, C,, ... C^ des consUtnles (indépendantes de x) et par ti, v, u, »„ ... u„ des fonctions quelcompies de x; ea effet, d'après U définition du symbole 4> j | :
tSC„S=/.{x).C.g + ... +/.(x).C.., t j„ + »! =/„W . (*? + g) + ... +/.(x) . („ + „), etc.
Appliquées à l'étude de l'équation différentielle (i) tes égalités (6^ conduisent aux constatations suivantes :
498- Propriétés générales de l'équatioa linéaire. — I. Supposons que nous connaissions une intégrale particulière, u, dcl'équation (4), et que nous ayons déterminé, d'autre part, une intégrale, v{x), de l'équation
ÉQ(JATIO:(8 CLASSTQUES DU SECOND OHDRE, ETC. ^69
Je dis que la fonction u-\-v [ou, plus géoëralement, « -h Cv, C étant une constante arbitraire] est ane intégrale de Céqaation (4).
En effet, le premier membre de (4) étant, par hypothèse, égal k X pour y = M.nousavonii* juj = X et nous supposons d'autre part que ^ \v\ = o; d'ailleurs *ju -HCi(| = 4}uj+C*juî donc * I u + C u I = o.
L'équation (7) est dite « équation sans second membre corrcsjmndant à l'équation (4) »■
II, Supposons que nous connaissions plusieurs solutions (') ou intégrales particnlières, y„ y^, ... y^ de l'équation sans second membre (7) : je dis que la fonction dy, -+■ Cty^ ■+■ ... + Cp^p, où C,, Ci. ... C, sont des constantes arhiiraires, est elle aussi une intégrale de téqaation (7). — C'est là, en effet, une conséquence immédiate des égalités (6).
III. — Supposons enfin que nous connaissions une intégrale particulière, u, de l'équation (4) et /) intégrales particulières, y\, y%, .... y^ de l'équation sans second membre correspondante (7) : alors la fonction u + C,y, -+-...+ Cpyp, où G,, ..., C,son(/t constantes arbitraires, est, elle aussi, une intégrale de T équation {1).
C) Si nout connaiaMna une inligrale parlieulièra y,, d'une équation da la forme (7), nou» pouvant effectuer un changtmenf de variable. qui ramène eeUe équalioa à une iqualion de mime forme et d'ordre moins ilevi. Si, en effet, noui potona y = i/^z, en lupposant j/i connu et appelant i une fonction ii
de ~ ' <te "^ ^' dr' d^y ,. . . . V ^y\ , ds~l d'yi , dz dy, , d-z
.. par les valeun ainii calculJei, noui avon» une équation diftérentielle en s, qui est linéaire, d'ordre n, et lans second membre par rapport à n. D'ailleurs, un calcul facile montre que dans cette équation, le coefficient de z ett 4> J JTi | ; ce coefGcienta est donc nul, puisque ^1 est solution de l'équation 4> J y { =: 11, et l'équation en t est de la forme :
(•> ï.l'l. £ + B.-.l«|. £3 + -. + lM-% - ■>■
Si maintenant nous prenons pour fonction inconnue (= j^, l'équation (a)
devient, par rapport à I, une équation linéaire qui est de la mîme forme qUB l'équation I7I, mais d'ordre n — î seulement.
J70 CAix^uL nzi FoncTtons
Cette propriété est une conséquence des denx précédentes.
De la propoBÏtioQ III nous déduisons la méthode qu'il convient de suivre pour trouver l'intégrale générale d'une équation linéaire d'ordre n telle que (4). L'intégrale générale d'une telle équation est, par définition, une fonction de x et da n constantes arbitraires. Supposons alors que nous calculions, d'une part, une intégrale particulière, u, de l'équation ('1). et, d'autre part, n intégrales par- UculiËres y,, y%, ..., y^ de l'équation sans second membre (7)- . Alors la fonction
sent une solution de [k) qui dépend de n constantes ai4>ilraires : ce sera, sous oertain«s conditions que nous allons préciser, l'intégrale générale.
409. Intégrale gtoérale ds l'équation sans aeoond membre. Solutions indépendantee. — Supposons que nous connaissions une première intégrale particulière, y\, de l'équation sans second membre d'ordre n, équation que nous écrirons symboliquement aoua la forme (7). Une seconde intégrale ou solution, y,, sera dite indépendante de la première, si elle n'est pas de la forme dyi [c'està-dire ai elle n'est pas la produit de la fonction y, par une constante]. Une troisième intégrale y,, sera dite indépendante des deux premières yi et y, (supposées connues) si elle n'est pas de la forme Aiyi -)- kiy-i [où k\ et ki sont des constantes]. Et ainsi de nuite. — D'une manière générale, nous dirons que les n solutions yi, .... y>, sont indépendantes [on dit aussi ; linéairement indépenâanlet ou distincles\, s'il n'y en a aucune, parmi elles, qui soit égale à la somme des autres (ou de certaines nôtres) respectivement multipliées par des constantes /.i, k^, ...
Cela posé, on peut démontrer rigoureusement que si les n soia- Uons yi, yt, .... y,, sont indépendantes '') l'expression (SjettFintigrale générale de téqaatlon (4).
(') Il résulte des théorèmes du n" 4!)8 que la fonction (S) eit lârement intégiralede l'^ualion [f\] : on démontrn que, réciproquement, (outeinté^ale de (4) est BÛrementl'uTMdea fonctions (K}{abtenue en donnant aux nombre* C certaines valeurs particuliètes], — Un voit facilement que, ti le* n *■>-
3^' = '^' ai=
J'en conclus que
où <^(r) est le polynôme
! de degré n en r :
-l-tr) = a„r" •+- o„,r— ' -+- ... ■+ <i,i
ËQUATIOnS CLASUQOtS DO SBCOKD OBDRE, ETC. ^7!
BOO. Equation mus ■«oond m«mfare A oocttfotonts oonataata. — C'est une iquation de la forme
(9) * i y î = «^. 3^ + <W.. ^ +...-(- ty = o.
a& On, ..., Ot sont des coDStante» (iadépendaiiles de x). Nous allons montrer qu'il est poMble de déterminer une constante r telle que la fonction u = e" soit une solution de l'équation. En effet, une telle fonction II a pour dérivées successives :
Pour que l'égalité e" . •if(r) ^= o ait lieu pour toute valeur de la variable x, î) faut et il suffit que le nombre r soit une racine du polynôme ii>(;-).
Ainsi, si nous connaissons desracin«i-|,r,, ...,r^,dupolyBoma t|/(r), nous en déduisons immédiatement les fanctions de x :
qai sont autant d'int^;TBte8 particulières de l'équation (g).
latioBa V, , ... y, D'étai«nt pat iadép«ndaiitM, la fonction [8) pounait être mise soui la forme d'une fonction qui contiendrait moini den constante* «rtntraire*. Suppoeoni, en effet, que
y. = K,y, + Ktyt + ■- + K.,y,^„
K,, Kl K,, étant dei constantes ; en remplaçant y.par cette valeur
daita (8) et réunissant les tennn «n y,, les termes en y,, etc., nous obtiendrions
J/=:(C, + K,C)». + (C + Krf:.)y, + ... + (C., + K,„,C,)i,.,, expression de la tonne
y=Diyi + Di!/i+ - + n.-.y.^<,
qui contient seulement (n — 1) constantes arbitraires. Une telle exprèsnon ne peut pas i^r4Bectt«r l'intégrale génésate.
