CALCUL DES
On démontre que ces intégrales sont indépendantes : elles fouiniront donc l'intégrale générale de l'équation (9) si toutefois ellet sont au nombre de n.
Il y a lieu, dès lors, de distinguer trois cas :
1" Cas. — Le polynôme de degré n, '^{r), a n racines réelles et distinctes, savoir r,, r^. .... r„. Alors la fonction
y = Cie"'' + Ce''' + ... -t- Cy-',
dans laquelle Cl, ..., C„ sont n constantes arbitraires, est l'intégrale générale de l'équation.
Exemple. — Soit proposée l'équation y — y ^ o ; le polynôme t|i(r) correspondant est H — i : il a pour rncinosi'i^ 1 etfi^: — 1 ; j'en conclus que l'intégrale générale de l'équolion est Ci*' + Ci*""'.
2" Cas. — Le polynôme tj'(r) a toutes ses racines réelles, mais il y en a qui sont multiples : en ce cjis <if{r) est de la forme
») = ir-r,r,lr-r,)'i...(r-^nr.
p,. /),, ..,, /jjb étant des nombres en tiers positifs dont ta somme est égale an. Pour que les racines r,, .... r^^nous fournissent n intégrales particulières de l'équation il faudrait que chacune en fournit autant que son ordre de multiplicité contient d'unités : il faudrait, en d'autres termes, que la racine ri pût fournir p, intégrales, que ta racine ri en put fournir pt, et ainsi de suite. Or il en est bien ainsi car. si p, >• i, il correspond à ^^ d'autres solutions simples de l'équation que celle que nous avons indiquée. On démontre en ell'et que :
Si r, est une racine double de ■i(f). les deux/onctions c''i' et le'"'' sont deux intégrales particulih-cs de téqaation (9), — Si r, est racine triple, les trois fonctions e''^'', xe"'^' et x'e^'"^ soal trois intégrales de (9). — Et ainsi de suite.
Pour démontrer ce théorème, il suffit de prouver que l'on a ;
* S u-^'^ \=o si i;(r,) = 0 et ^\r,] — o, c'est-à-dire si r, est racine à la fois de l'équation i^i (/) = o et de
ÉQUATIOnS CLASSIQUES DV SECOND ORDUE, ETC. jyS
réquation dérivée '!/(r) ^ o [voir le théorème du n" 421]; — qu« l'on a pareillement
* I !'«'■'* j = O si ^{r,) = 0, y(r,) = o et V{r,) = o;
et ainsi de suite. Or un calcul facile permettra de constater qu'il en est bien ainsi.
Exemple. — On vérifiera sans peine que l'équation v* -v- 37/ ^ ji^ - o pour laquelle >\>'r} = (r + a)' admet les deux intégrales particulières y= t~"" et y^z^xe'".
3* Cas. — Le polynôme if'(;) a des racines imaginaires. Dans ce dernier cas Is méthode de calcul qui conduira à l'intégrale générale ne pourra pas êttc aussi simplement défmiev Maïs il est inutile de nous arrë'er à ce cas, car l'algèbre des quantités imaginaires que nous exposerons au chapitre v (S 3) nous permettra bieotât de traiter les racines imaginaires de •]i{r) exactement comme les racines réelles : nous pourrons alors étendre à tous les cas les résultats énoncés ci-dessus.
Comme exemple d'équation pour lesquelles <]'('') a des racines imaginaires, citons l'équation
nous avons '^(r) = r' ■+- m', équation sans racines puisque les nombres carrés r' et m' sont tous deu\ positifs. On vérifiera facilement que l'équation a pour intégrale générale
j- ^ C, cos mx ■+■ C» sio nix,
C, et Cj étant deux constantes arbitraires.
50 1 . Equations A coaff icient* constants ayant pour second membre nn polynôme. — Considérons maintenant une équation linéaire à second membre écrite sous la forme symbolique
(.0) tij! = X,
l'équation sans second membre correspondanteétant l'équation (9). — L'intégrale générale de (9) étant supposée trouvée, il nous faut (n" 488) pour avoir ccllo de (10) obtenir une intégrale par-
^7^ CALCUL DES PO:iCTIOKS
ticulière'de (lo). La chose sera facile si X est un polynôme en x, soit un polynôme de degré p,
(il) X = (>, 4- b,(t ■+- ... -hb^.
En ce cas en effet, on pourra obtenir par la méthode des coefficients indéterminés une solution particulière de (t) qui est aussi ud polynôme de degré p. Posons a priori
(la) J := Co -t- CjX -t- ... -t- 6,3!'',
-ji^ c, M- w,* -»-■-.+ pCpT'" '. -j-^ = ac, + ..., elc. ;
remplaçons y, ^. râi--- P*"" ces expressions dans "l* { J j. ordonnons le résultat par rapport à x et exprimoiu que le polynôme obtenu est identique k \ {égal à \ quel qu* soit x). et par conséquent (n° 311] a pour coefiBcients les nombres connua £,. 6,, ... 6^ (comparer le n* 375). iSous sommes ainsi conduits à une a^ie d'égalitésC) qui déterminent les valeurs inconnues de e^, c,, ... e, pour lesquelles l'identité a lieu, c'est-à-dire qui sont telle* qae le polynôme soit une solution de léqaation (lo).
