Exemple. — Considérons l'équation
Posant a priori y = c^ + e,x + e,x*, j'ai
/ — y = e^x* — c,a! — Oo H- ae, ; donc je dois choisir les coelticients Ca, c,, c, de telle sorte que
c'est li un système d'équations polynomales dont la solution est c,=o, c, = — t, c. = -3.
(>) Le nombre de cet égalités eit égal au nombre dei coefflcicnU 6|)> -.■• b,, c'ett-à-djro p + ■> nombre égal au nombre dM inconnue* <^, ..., e,. Le lecteur vâriCera aisément que les cgalitéi obtenues, linéainc pai rapport aux inconnues c^ c,, permettent effectivement de déterminer un systime de valeurs de cei quantités.
ÉQUATIONS CUPRIQUES DU SECOND ORDRE, ETC. k'}^
Ainsi l'équation proposée a pour solution particalière le polynôme y = — X* — 3. D'aillcnrs (n* KOO) l'intégrale géoénle de l'équa- UiHi linéaire sans second membre est C,0' + C,0~'; donc l'intégrale générale de l'équation proposée est
B03. Equations ft coeinoieuts conatants dont le i membre eat une expoDentiella d» la ionaa \e" . — ConsidéroQs l'équation k coeOicients constants
{i3) *|^j = Ae«,
où A et a soi^ deux nombres constants. Je dis qne cette équation admet pour intégrale paiticnlière la fonction rp, e'' ; en efTet, appelant, pour simplifier, b, le rapport de A A 'if{a), calculons
nous avons (n" 407). quel que soit le nombre b :
♦ I 6e" [ = fc.« * e" }, et, d'après le calcul du n° 500 (où nous remplaçons r par a) :
Donc la fonction y.= be" sera, solution de l'équation {i3) ai
L'intégrale particulière que nous mettons ainsi en évidence cessei-ait d'exister toutefois si a était une racine du polynôme •^r],
car alors vp. n'aurait pas de valeur finie. On démontre qu'en ce cas, la fonction y = t,-j—. . xe" est intégrale de l'équation (i3), si toutefois 4^{k) ^ o, c'est-à-dire si a n'est pas une racine double de ^r) ; si l'on a à la fois <'^{o!.) = o, '{/'(ce) = o, mais ij/'(a) ?£ o,
la fonction y =
Je dis que la fonction y = u, -t- u, -H ... -f- u^ sera une intégrale parlicaliire de Céquation (i4)- En effel, par hypothèse
476 CALCUL DES P0NCTIOH3
004. ThAordm« général sur les équations pourvues de seconds membres. — Considérons une équation linéaire quelconque dont le second membre soit une somme de plusieurs teitnes, c'est-à- dire une équation de la forme
où X|, ... Xp sont/> fonclionsde X. Supposons que nous sachions déterminer p fonctions (àex), Ui, ... Up qui soient respectivement intégrales particulières des p équations linéaires
^jj-iz^X.. *Sj'Î = X *Sj'î = X,.
= Ui -t- li, -H ... -f- u^ ser (i4)- En effet, par hypothi
Or, d'après le n" 497,
*{u, +. ..«,} = * fu.î + ... H- *J..J.
11 résulte de ce théorème que les méthodes des n°* 501-503 combinées nous permettront de calculer une intégrale particulière d'une équation linéaire à coefficients constants dont le second membre est lu somme d'un polynôme P{x) et de plusieurs exponentielles Ae^Be^, etc. ;
505. Remarque. — Ou vérilie sans peine que l'on pourra calculer facilement des intégrales particulières des équations à coefficients constants
[ 1 5) 1> j j- { =^ A cos j:, * j y } ^= A sin a;
OÙ \ est un nombre constant : plus précisément on peut (par la méthode des coefficients indéterminés) déterminer deux nombres a cl b tels que la fonction y -= a cos x -^- b sia x soit solution de la première ou de ta seconde équation (|5|, Les formules d'Culer — auxquelles nous conduira la tliéorie des nombres imaginaires — nous permettront de considérer ce résultat comme une application du théorème général du numéro précédent.
ÉQUATIONS AUX I>ÉHtVÉE3 PAKTIELLES, ETC. ^77
9. — Equations aux dérivées partielles, toncUonneîte», intégrales
50e. Equations aux dérivées partiellea. — Aux équalion» dinërenlielles, auxquelles satisfont certaines fonctions d'une variable (fonctions inconnues, tant que les équations ne sont pas résolues), font pendant les équations aux dérivées partielles, auxqur:lles satisfont certaines fonctions de plusieurs variables.
Soit, d'une manière générale, z une fonction inconnue de n variables indépendantes Xi, Xj, ... Xn- Si une certaine relation implicite
(i) Fij-,, X, , j-„, I, -"■ , ... -*-, --,, ...) = o
— où entrent les variables, la fonction z et les dérivées partielles, de divers ordres de z — , est satisfaite pour toute valeur de x, on dit que cette relation est une équation aux dérivées partielles k laquelle satisfait la fonction z et qui définit cette fonction. Inléi/rer ou résoudre une équation aux dérivées partielles telles que (i), ce sera trouver l'ensemble de ses inlégrnlcs ou solutions, c'est4dire toutes les fonctions z des variables x,, ... x» qui y satisfont. On appellera ordre de l'équation le plus élevé des ordres des dérivées partielles figurant dans l'équatîon.
607. — Bornuns*nous k considérer, pour fixer les idées, une fonction ; de deux variables x et y, et posons pour simplifier (ces notations sont consacrées pour l'usage) :
ô£ ft: f>': d'z __ 'Ù. =1
dx ^' flr ^' flJ- ' àxùy ' d c'
Toute relation implicite
(3) n^, jr. Z, ,,, q) = O
478 CALCUL DtS poscnows
«st (par rapport aux deux variables considérées) une équation aux dérivées partielles du premier ordre; toute relation implicite
est une équation aux déiivées partielles du second ordre.
^ous ferons ultérieurement une étude spéciale des équations du ^premier ordre, dites linéaires, qui sont de la forme
équations dont le premier membre est un polynôme linéaire en p et q (les coefficients de ce polynôme étant des fonctions quelctmques de X, y, z),
60 mon s -nous pour l'instant à montrer, par unexemple, que l'intégration des équations aux dérivées partielles conduit à des résultais fort différents de ceux que nous avons rencontrés en éludiant les équations dilîérentielles. Aa liea que, dans le cas de ces dernières, la solution tjénérale d'une équation dépendait d'une ou de plusieurs ■constantes arbitraires [nous avons uu aux n" AT^-IQ ce i]u il Jaut entendre par là), la solution générale d'une équation aux dérivées partielles dépendra d'une ou de plusieurs fondions arbitraires.
