Considérons donc, par exemple, l'équation

■(4) xp-^yq=>0.

je dis qu'elle admet pour solution (') : z =/K V oîi /est une

fonction quelconque, c'est-à-dire une fonction arbtiraire.du rapport

^ . En effet posons :

nous aurons

ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PAHTIELLBS, ETC. ijQ

mulUpUaDt respectivement par x et y, et additionnatil, nous trouvons o, quelle qae soU la /onction /(a) que noiu ayons contidérée. Autre exemple. — Considérons l'équation s =^ œ, ou

OQ eoDclut de l'égalité (5) que les deux membres sont les dérivées partielles par rapport à x de deux fouctions égalas ou plus généralement de deux fonctions dLfTéraat par une constante ou par une fonction arbitraire de y, ^) [car une ttJle fonction a, par rapport i X, une dérivée partielle nulle] ; donc

((>} — = -* -J- 9(j') [ç fonction arbitraire^

Le même raisonnement prouve que les deux membres de (6) sont les dérivées partielles par rapport à y de deux fonctions différant par une/o/urli'on arbitraire de x, W{x) ; donc :

(7) ^- = ^ -^ff{y)dy + T(^).

égalité qui nous donne l'expression de la fonction z qui est solution de l'équation proposée; cette expression, on le voit, contient tieux fondions arbitraires.

500. Equations fonotiotmelles. — La recbercbe d'une fonction inconnue d'une ou plusieurs variables satisfaisant à des conditions données ne se présente pas toujours pour l'algébriste sous la forme d'une équation différentielle ou d'une équation aux dérivées partielles qu'il faut intégrer. La fonction inconnue peut être définie, dans certains cas. par des relations algébriques où ne figurent point de dérivées : d'une manière générale, on dira d'une relation, lorsqu'elle n'est pas une simple relation implicite au sens du n" 439, qu'elle est une équation fonctionnelle ; les fonctions qui j satisfont sont les solutions de cette éqnation.

Une équation fonctionnelle (k une inconnue) se présente en général sous la forme d'une égalité «Dire deux expressions algébriques contenant : i° une ou plusieurs variables x, y,-.., 2* nne fonction inconnue qui figure plusieurs fois dans T équation avec des

/|8o CALCUL DES FOnCTIOTtS

arguments différents (ces art/amenls, — quantités sur lesquelles porte la fonction, voir n' 309 — étant des combinaisons des variables X, y, .,.).

Considérons, par exemple, la relation

(7) ï(.» + ') + ïf.'-"-) = WW-îM-

(^etlc relation, étudiée par D'Membert (*) et ullérieu rement par Caucliy ('), est l'une des premières équations roncttonnelles qui aient été considérée. Nous dirons qu'une fonction d'une variable {'), ^(u), est solution de l'équation (7), si les quantités ^(y + x), «(y — x), f(x), f(y), obtenues en remplaçant u dans ^(u) par y ~{- X, y — X, xely respectivement — vérilient la relation (y) f/aelles que soient les valeurs de x et de y considérées.

On démontre que l'équation fonctionnelle (7) a pour solutions

^(u) z= cos eu (c constanle arbitraire)

et f ((() = - (a" -\- a~") {a cvnttante arbitraire positive).

Considérons, en effet, par exemple, la fonction ^(u) ^ cos ca Pour vérifier que cette fonction est solution de l'équation (7), il faut montrer que l'on a, quels que soient a: et y :

cos c(v -t- x) ■+- cos c(y — a:) ^= a cos ex coï ey.

Or cette égalité ne fait qu'exprimer la propriété des sommes de cosinus que nous avons établie au n° 383. On vérilîera pareillement que

i (av.-. -^ a-"-') + i (a"-' -)- «-H-) = a | (a' + a-) l {a" + «"ir).