Considérons encore l'équation fonctionnelle suivante

l'I Mém. de l'Acad. Royale des Sciences de Parts, 1769, p. a';8 «t luiv.

(-1 Analyse atgébrigue, p. lo'i, Œuv., 'i' acrie, t. III, Paria, iS()7, p. 9K.

[') Peu importe, rcmarquoiis*le, la lettre par laquelle noua désignons l'argument ou variable indépendante dont f est tonctton (nou* pouvoni l'appeler u aussi bien que x ou yj : ce qu'il laut trouver c'eM VeiprtMton algébrique {ou frantcindantt) qui dérinit a lorsque l'argument u pieud une voleur quelconquc-

ÉQUAT10>S AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, ETC. ;J8l

OÙ a est une constante. On démontre facilement que cette équation, qui a été considérée par Laplace, a pour solution (')

fW-v/j+zw-Aî-")

J étant une fonction arbitraire. En d'autres termes, quelle que soit la fonction /(u), on a, pour toute valeur de x :

Cauchy a étudié un ^rand nombre d'équations fonctionnelles, par exemple, l'équalioii

(9) 9.(^ + y) = H^) ->- 'iiy),

qui admet la solution ç^u) = au (a constante arbitraire] ; l'équation

<.o) ç(x-Hj-)-ç(x).=:»

qui admet la solution ^(u) ■—- e"" [a constante arbitraire) ; Icquation

(m) fM —-?».?(»

qui admet la solution ç(u) = w (ce constante arbitraire).

BU. Équations intégrala>. — Un grand nombre de problèmes de physique matlidmatique — et ans»] d'Analyse pure — dépendent de la rcclicrclie de fondions inconnues qui sont défmïcs par des relations où entrent, non seulement la fonction inconnue {portant sur divers arguments dilTéicnls, voir lin du n° S09), mais aussi certaines intégrales dépendant de cette fonction. De telles relations sont a|ipelées Afualions intégrales ; les fonctions qui y satisfont en sont les solutions.

Considérons par exemple l'égalité (^)

Jo [x-sf

(') Micmiqw céiesle, t. I, Paris, an VII, p. ."i. Œw. {') Voir, pour cetto notation, le n" ^66.

Boutioui. — L« Priocipea ds l'Aiwljw nalbtmaUqDa.

48a CALCLL DES

P{x) étant une fonction connue et n an nombre connu compris entre o et i . Cette 4galilé considérée comme «ne relation définissant les fonctions inconnues <p(a) qui y satisfont (') est une étfua' lion iniégrale. Elle a été rencontrée par Abel en iS^o dans un problème de mécanique (*).

On démontre que l'équation (13) admet la solution

^^ ' " Lu'-» Jo lU-») — 'J

F(o) désignant la valeur de V{x) pour x :^ o. et F'{s) étant l'expression de la dérivée F'(j!;) dans laquelle on i-emplace l'argument X par s.

512. — La théorie des équations intégrales, qui est aujourd'hui l'une des branches les plus imporLantes de l'analyse, prit un rapide essor à partir de 1896 sous l'impulsion de M. Vito Volterra, professeur k l'Université de Borne, qui entreprit avec succès l'étude de l'équation

(,S) J'îlCx.). =(.)<;. = F(a:).

OÙ o est une fonction inconnue tandis que les fonctions désignées par les lettres N et F sont supposées connues (la première a pour argument, dans l'égalité (i3), le produit xs).

Le» travaux de M. Volterra furent suivis de beaucoup d'autres. M. Fredholm en particulier étudia et résolut une équation

Cj C'eat-à-dire 1m fouotîona o(u) telles que lorsqu'on y remplace u par t

et que l'ou calcule l'intégrale définie / — ^ di (x étant traité, dan« le

calcul de l'inlt'grale comme un nombre constant), la valeur obtenue po ut l'intégrait- définie loit égale à Flj:), et cela quello que soit la valeur de t quel'on considère. — Quand je parle des fonctions «, je puis désigner leur argument (voir p. {Su, note 'i] par telle lettre qu'il me plait, par exemple p«ru,

(') Aufl'ïsung einer mechanUchen Au/gabe, Journal de CieUe, 1S36.

ÉQUATIONS Atll DéttlTÉES PAHTtELLEB, BTC. ^83

înlégrale qni es) devenue célèbre sous le nom à'éqaalion de Fredholm ('), l'équation

(.4) ■ilx)+j\{x,)^,)d, = i\r),

OÙ les Tonctions F «( N sont supposées connues.

(') Voir, en partieuliar, Fubsboi-m, 5iir ui%e cbute d'iquatioru fonctionneUe», Acia mathematUa, t. XXVII, iqoZ. Od pourra consulter «ur \a, théorie générale des équations intégrales l'Introduction à la ihiorie deê équationt intigrales de M. Lalesco, Paris, H«rmann, )gi2.

L'ALOËBRE QÉOHËTRIQUE