I. — Représentation géométrique

des quantités et des expressions algébriques.

Le calcul géométrique des Orecs.

B13. — iVous avons fait connaître, fi la fin du dernier chapitre, quelques-unes des floraisons les plus récentes de l'algèbre. Il convient maintenant de retourner en arrière, de remonter aux origines de la svnthèsc algébrique et d'alTermir par des considérations nouvelles les bases mêmes de ledifice dons nous venons d'explorer rapidement les étages successives.

614. — Dans son Epîslolia Dedicaloria, préface à l'édition latine de la Géomélrie ('), Erasme llartbolin loue Descartes d'avoir vu le premier que l'on peut raisonner sur des quantités purement abstiailes (qaanlitales in universali et ahslraclo) en les représentant par des lettres <lc l'alpliabet et sans s'aider d'aucune figure. Mais tous 1ns algébristes ne s'élèvent pas facilement à ce degR' d'abstraction. Aussi les commentateurs de Descartes (^\, et Descartes lui-même, nous recommandent- ils de nous représenter les quantités algébriques sous forme de grandeurs mesurables en choi-. sissant de préférence les plus simples de toutes, u II nous sera très utile, dit Descartes {Regulœ xvi, 1 1 3). de transporter ce qui se dit

('] Vidt tupra, p, ajS, note i, et p. a84, noie i,

(') Ainsi ScHOOTEN et Flobiiiiod de Beaune, dan» l'édition latiae de la Géomitrie. Ct. notre travail aur l'Imagination et Us Malhimatiguet stion DeicarUa (Alcan, 1900), paaiim.

GÉOHÉTtllgUB, ETC. 4S5

des grondeurs en général ù l'espèce de grandeur qui se icpréscntera le plus facilement et le plus distinctement dans notre imagination. Or cette grandeur est l'étendue réelle d'un corps, abstraite de toute autre chose que ce qui a ligure *.

Ainsi, étant obligée d'habiller lu quantité |X)ur avoir prise tsar elle, notre imagination lui donnera le vêtement de la grandeur géométrique. Suivant la même Qction, elle se représentera les calculs algébriques comme des calcula effectués sur les grandeurs. Une expression algébrique, c'est le résultat d'une construction géométrique obtenue en parlant de ligures connues. Une identité, c'est la constatation de ce fait que deux constructions différentes conduisent au même i-ésultal à lu même figure). Une équation. c'est la condition qui détermine une grandeur inconnue dans une figure connue. Et ainsi de suite.

En interprétant ainsi l'algèbre par te calcul des grandeurs, nous ne faisons, en somme, que revenir au point de vue des anciens. Nous avons vu que, pour les Grecs, tout raisonnement ou calcul matliématiquR qui n'a pas [tour objet des nombres entiers, ou ra- ^onneis, porte sur des grandeurs géométriques. Nous avons vu (*)

(I) Noua avons déjà loit observer qu'au xvii* titcle il n'était pas encore possible de donner du nombre irrationnel une définilion nrithmé tique rigoureuse. Il semblait done que, pour élever la logistique au rang de science théorique il falIQt en rattacher les prïncipes à ceux de la science modilc, la géométrie classique. Ainsi ce n'est point pnr hasard que les Dwises définitives de l'édifice algébrique furent posées par des saTBota qui avaient fait une étude approfondie des mathématiques grecques. (Cf. D<" hfi et suiv.]. Il no faudrait pas toutefois exagérer la portée de cette remarque, comme on l'a fait quelquefois. L'appel à la ligure pouvait fort bieu être évité si l'nn renonçait à s définir > le nombre |ou bien si l'on: eu donnait, comme Wolf, une dérinition purement verbale destinée simplement à signaler l'entrée en scène d'une notion nouvelle, cf. p. ii3, note i), et si l'on posait a priori les règles des opérations comme autant de (U^t((tin<, sans cherchera les justifier. C'est ainsi que nous avons procédé noui-mémrs dans cet ouvrage, et, ai nous avons dîk observer certaines précautions (cf. n° ^79) auxquelles les premiers algébristes ne prenaient pas assez garde, nous n'avons faî:- cependant que perfectionner un mode d'exposition qui est aussi ancien que l'algèbre et qui fut couramment employé par les cartésien, jcf. la Calcul de Monsieur Deacarte», précis d'algèbre rédige par Descartes pour servir d'introduction à •a Géométrie [vide ëupra, a" 270; et aussi les traités publics par les commentateurs de Descartes dans l'édition latine de la Géomélrie]. Si donc l'algèbre reste géométrique chez la plupart des auteur* des xvii> et

486 i.'AU6teiw q£om£triqde

BUEÛ que la conception moderne du nombre avait eu beaucoup de peine Jt s'imposer et qu« l'on s'élaît longtemps obstiné k étndier léparément les opérations eflèctuces sur les quantités irrationn^es et les opérations de l'arillimétique (cf. Premier Livi'e dtap-lï, S S). Aujourd'hui, certes, nous n'avons plus de raison de répéter deux fois la même chose, et d'appeler de noms différents deux opérations identiques ; mais nous conservons toujours le droit de remplacer, quand il nous plaira, les calculs relatifs anx nombres par des constructions géométriques ; et c'est de ce droit que nous voulons présentement user.

Revenons donc sur nos pas, et voyons quelles ressources peot offrir h l'alg^briste le calcul des grandeurs géométriques.

616. — Le calcul des grandeurs géométriques (') fut originairement fondé sur la théorie des aires et des volumes que nous avons exposée au chapitre ii de noire Premier Livre (Si l'S). Ainsi nous avons vu que le produit de deux longueurs pouvait être défini comme ractangle, le produit de trois longuenrs comme parallélépipède. Conformément à celte conception de )a multiplication )e théorème de Pjtliagore (n° 198) s'énonce ainsi :

Si abc est an triangle rectangle, le carré construit sur VhypoUnase BC est égal à la somme des carrés congiruiîssurles deux calhèles, ce qui sîgniQc (199) que l'on peut décomposer les deux derniers carrés en figures partielles qui, étant juxtaposées d'une manière convenahle. seront exactement superposables au carré de côté BC.

xviii* sitcks, c'eit surtout, croyons-nou» — lonque ce n'eit pax liniplfr* mant par respect de la tradition classique — pour des raisons de c<hb' modité; Ces raisons aont invoquées par tous les connnentatours d« ik Géométrie d« Descarts* Itoit note 3, p. Soi).

(') Le calcul géométrique des grandeurs [rétohition des prohlimw nétriques par la géométrie) a Bouvent été af^Mdé — par M. ZEUraBit en particulier — < algèbre géométrique des Grecs >. Nous éviterons de nous Mrvir ici de cette expression, le mot algiire étant pour nous eoutMC* d'nue conceptioB de la science du calcul (voirchap. i. S i|, qui est appeaée à catls des Grecs. Cependant les théories que nous allons expoaer rendaient anx géonïétres grecs des services analogues i ceux qve d»im tirons de l'algèbre ; elles tournissaicot en elTet. une fois po«r to«te*, de* riglaa de calcul applicables à des grandeun quakonques (non détenmoéM d'una manière particulière).

REPRËSBNTATIO:* GÉOMÉTBIQUE,

àSl

La décompoaitioD des carrés peut être faîle da plusiaura manières. On peut, par exemple, proloogeant la hauteur AH du triangle jusqu'à sa rencontre en K avec le côté DE du carré i construit sur BC 'lig. 167), démontrer que le carré 1 est éga) au rectangle BHKD et le carré 1, égal au rectangle HKEC.

C'cKt parune méthode analogue que furent eflectués — par les Pythagoriciens peut-être, — les premiers calculs théoriques (yairn' 7t) relatifs aux grandeurs.

016. — Considérons par exemple un carré ABB'A, la diagonale, BA de c

Kg. 167.

carré et deux parallèles côtés du carré qui se coupent en H. sur la diagonale. Si nous appelons a la mesure de la longueur Ar, b celle de la longueur TB, nous savons que les mesures des aires du carré ABB'A, du carré eHAZ, du carré TEKH et des rectangles ArH©, HKB'Z sont respectivement (a -+. b)*, a', 6', ab, ab. La figure 168 nous fournit donc une vérification ou représentation de l'identité fondamentale :

' -h fc' + a ab

que nous avons établie algébriquement au n° 396.

Voici comment Euclide énonce cette proposition en langage géométrique (') {Eléments, liv. II, 4) :

[Protase] Si une droite est coupée à volonté, le carré de la droite entière est égal aux carrés des segments et & deux fois le rectangle contenu sous les deux segment!>.

[Ecthèse] Car que la droite AB soit coupée à volonté au point F:

(') Trad. Peyrard ;

1 grec : "Eiv

iltO Tf|î 4Ar,< TîTpŒYOJVOM fOOV Imi TOTc te «irÔ lÛV TJ!!] [litUlW TETpaTluVIlî

tal tijl Sic in* t&v i|ii][xiTiuv TiïpiE)ro(ii«|j ôpSoY'"^'iî'S ***•

4dO L ALGEBRE GKONETRIQUE

je dis que le carré de AB est égal aux carrés [des segments \l',rB, et & deux Tois le rectangle contenu soiis Ar.rU... [Suit Capagoge, etc., voir n* 220|.

517. — L'identité établie par la proposition suivante des Elé- ■ ments (liv. II, 5) n'est pas moins importante :

« Si, — dit EucUde, — une ligne droite est cou|>éc en parties

« égales et en parties inégales, le rectangle sous les deux segments

« inégaux de la droite entière, avec le carré de la droite placvc entre

« les deux sections, est égal au

« carré de la moitié de la droite

i( entière.

B Car, qu'une droite AB soit u coupée en deux parties égales « au point 1', et en deux parties Il inégales au point S, je dis « que-lc rectangle compris sous « AA, AB, avec le carré de TA n est égal au carré de ]'U. :>

En d'autres termes, on a sur la fig, i6() : rectaïu/le AAHK (de dimensions AA et Att égale a AB) -f- carré AHHE (de dimension Ae = l'A) = carré l'BZE.

Si donc nous appelons a la mesure de AA. b celle de AB nous avons (puisque F est le milieu de AB)

Fig. .69.

M8. — En partant de ces constructions fondamentales, les premiers géomètres grecs pouvaient « résoudre » — dirions-nous en langage moderne — divers types d' « équations du premier et du second degré ».

Soit par exemple à /rouée/' un carré égal à la différence île deux carrés donnéx [résolution de 1 L>quatîon x*=^u* — fc'J : on résoudra le problème en construisant un triangle rectangle ayant l'Iiypoté-

BE PRÉSENTATION* CÉOMËTniQLE, ETC. 4^9

nuse et une cathëte égales respectivement aux côtés des carré» donnés (').

Soit h trouver un carré égal à un rectangle de dimensions données [résolution de Téquation x' =t ab]; d'après la pro|>osition du n" 517, la question revient à trouver un carré égal à la dilTérence de deux carrés connus, lesquetsontYespectivcmenl pour dimensions la demi-somme et la demi-diiïérence des dimensions données

nous nous trouvons ainsi ramenés au problème précédent.

610. — Soit maintenant à trouver un rectangle dont l'une des dimensions est donnée et qui soit égal à un rectangle donné [résolution de l'équation ex ^a6, l'inconnue étant la seconda dimension du rectangle cherclié].

On résout ce problème en s'appuyant sur la pi-oposition suivante : soit ABCD un rectangle et FG.KL deu\ parallèles aux côtés de ce rectangle se coupant en II sur la diagonale BD. Ces droites partagent le rectangle donné en luali-e rectangles partiels, dont lieux (savoir ceux que ne coupe pas la diagonale) sont égaux {'y (Bg. 171).

D'où la construction suivante pour traiter le problème [troposé (fig. 173). Portons sur deux droites perpendiculaires en L les deux longueurs LC,LH respectivement égales aux dimensions du rec-

|>| Soient BD et AB les longucun (connues) de ces eûtes [la première étant la plus grande : autrement In construction que noua allons faire serait impossible] ; sur le •egmeat AB j'cUve en A la perpendiculaire Ax à AB. De B comme centre avec BD comme rayon je décrii un cercle, qui coupe Aie au point C : le triangle ABC est rectangle et BC = BD ; donc AC est le cAté du carré cherché d'après le théorème de Pythagore.

(■) Dans le cas où le rectan^e ABCD serait immédiate (voir le n" 5i6 et la figure i6H|. Dans le c démontre en observant que rectangle AKllF ±= triangle ABD — IriangU HKB - IriangU HFD et rectangle GlILC = triangle BCO — triangle HGB — IriangU HLD. Or les triangles ABD et CItD. HKB et HGB, HFD et HLD «ont égaux deux à deux.

(go

L'-VLoisBE âéOMÉTAlQUS

tangle donné. Repnriona la longueur LH suivant CG sur la parpendiculaire enC à LGpuis, sur le prolongement de CG, pcencHU GB égal à la dimension connue du rectangle inconnu, et prolongeons la droite BH jusqu'à sa rencontre en D avec le prolongement de CL; la longueur du w"neii(LDeTj /a dimeiuion cherchée :

on voit, en eOet, en reportant la ftg. 173 sur la fig. 178, que DL ègaXe FH et BG égal i HK sont les deux dimensions du rectangle AKFH, égal au rectangle HGLG.

Sao. — L'énoncé du problème que nous venons de résoudre peut être donné dans las termes saivaota : Appliijaer {wipaSiXXtii) à an segment donné AB un rectanyle égal à an rectangle donné; d'après cette terminologie, <( appliquer (sans plus) un rectangle k un segment », c'est construire un rectangle dont ce segment soit un côté.

531 , — La considération des rectangles appliqués déjaillants ou

Fig. ,7»-

excédenls conduit à la résolution de problèmes [au équations] plus compliqués.

Roil \B un segment donné et ACA'C' un rectangle ayant un côté situé sur la droite AB (cùléAC), mais non égal au segment AB. Nous dirons que ce rectangle est appliqué à la droite AB et déjaillanl (dcjiciccns, ÈXXtîitov) o^iexcMenl (cxcedens, ùnipSâXiov) suivant que son côté appliqué, AC, est inférieur ou supérieur à AB. De

REPRÉSENTATIO:) flio MÉTRIQUE, ETC.

feçon plus précise — construisant le rectangle (AA'BB') appliqué à AB don! la seconde dimension (AA') ost celle du rectangle défaillant ou excMent —, nous dirons que le rectangle ACA'C est défaillanl du rectangle CBC'B' dans le cas de la figure 17$ at excédent du rectangle CBC'B' dans le cas de la figure 17^.

522. — Proposons-nous alors la question suivante : Construire un rectangle égal à un ^ n »

carré donné qui soit appliqué à un

segment donné AB et qui soit défaillant <run rectangle semblable à

un rectangle donné.

Traduisons cet énoncé en langage

algébrique en appelant a la mesure

de AB, b* celle de l'aire du carré

donné, x la seconde dimension (AA',

fig. 17Ô) du rectangle appliqué

(ADA'D'), G el (/ les mesures des dimensioi» du rectangle donné,

auquel le petit rectangle DBD'B' doit être semblable. Nous devons

„ ■ I.-, D"B Ûïf X ., , , j r»D .

avoir [') — =; - =; -3 ; j en conclus que la mesure de L)B est

^ X et que celle de AD est a — ^x. Ainsi le rectangle inconnu a

pour mesure xia , xjel l'équation qui la détermine est

Fig. ,

r(a-^.) = fc.

oi!i a, lût b peuvent àtro des nombres positifs arbitraires.

La résolution géométrique de l'équation (i), je veux dire la détermination du ci^té inconnu (mesuré par x), peut facilement Âlra déduite (') du calcul géométrique des aires (n" 616) lorsque c est est égal kd [en ce cas, DBB'D' doit être un carré et le rectangle inconnu est simplement assujetti h être égal à un carré donné et défaillant d'un carré]. Dans le cas général, Eucfi de résout le problème

('I Par la notation Dit, j'entends ' mesure de D6 >. cf. it' i<)4-

(') Cf. Zeutbbh, Hiat. des Math, dans t'antiq., trad. Mascart, p. 3^ et

^93 L'ALGBBnE GÉOUÉTniQUR

— et la question correspondante relative au rectangle excédent [n" 533) — CR utilisant des constructions qui reposent sur les propriétés des figures semblables (Eléments (tEaclide, Viv. VI, a8 et 39, comparer n* 198) (').

633. — La détermination du reclamjk excédent (égal à un cari^é donné et excédent d'un rcclaiifjle semblable à un rectangle donné) équivaut à la résolution de l'éqnntion

Les équations (1) et (a) sont, remarquons-le, les deux premiers types d'équations du second degré distingués par Luca Paciuolo et les algébrtstes du xvi* siècle (n" 336). [Voir p. 5ot,note^, la résolution géométrique d'une autre équation du second degré].

634. — Si, comme nous l'avons dit{616), il parattétablique les premières solutions rationncllesdesproblèmesdeconstructiongéométrique furent fondées sur les calculs d'aires et de volumes (*). il ne faudrait pas croire que les géomètres grecs nient toujours employé des méthodes aussi détournées pour résoudre (') des problèmes qui

itructions sont d'ailleun applicables Ion mime que la figure e (figure à appliquer) n'eat pas un rectangle, mais est simplement aBBujettlo à étro un parallélogramme dont les anglec sont connus (ont des grandeurs données). Euclide énonce donc en ces termes le problème résolu par la prop. a8 du IJv. VI : rosi Tr,v to8:îoa» ïùOitav ttîi âoQtv:!

Xr,Àoy:âu.)iiu idtficiein paraVelogramma figura) hiitltf tûi Sativ:'., c'cità-dire ; A une droiio donnée appliquer un paTa1lcl(^amme qui «oit égal à une figure rcctiligne donnée et qui soit défaillant d'un parallélogramme semblable à un parallélogramme donné.

(') La théorie de l'application est, dit le commentaire de Phoclvï, l'œuvre de la muge pythagoricienne.

(') Nous parlons de l.i démonstration et non do la lignification atta* chco à l'cnonco des problimcs. La géométrie classique ne cesse pas, en elTet, de concevoir les produits do deux ou trois longueurs comme des rectangles ou des parallélépipodes (n*' 7'l-7i)) ; cela est nécessaire, en elTet. pour que de teU produits puissent être regardés comme exiilanls lau sens des n" 31I. s'il). — C'est ainsi que pour les anciens, le problème de Pappus, ad 3 art 4 lineai {l'ide n° 242), ne pouvait Être étendu à un nombre de lignes supérieur à <> ■ qocniam non est aliquid contentum pluribus quam triiius dimensionibiis > (trad. lat. de Pappus, citée par Descabtes au 1*' livre de la GéomilrL; Œuf., l, VI, p. 378).

repeiése:(tatio^ oÉouérniQUE, etc. 4^3

portaient en définitive sur des longueurs ou segments rectilignes. Nous avons d^Jà dit que la théorie des propoitîons noua autorise h raisonner sur les puissances des segments sans faire intervenir aucune considération d'aire : elle nous founiit un mode d'interprétation très simple des propriétés métriques des figures, en même temps qu'elle nous en fait connaître Je nouvelles.

Ainsi, nous avons, tout à l'Iietire, appris à construire un cairi égal k un rectangle de dimensions données [résolution de l'équation X* = ab] : ta question revient à trouver la longueur du côté du carré, c'eat-à-dire une moyenne proportionnelle entre les dimensions données. Or nous savons {n" 200) que si AB est le diamètre d'un cercle et DH la perpendiculaire abaissée d'un point du cercle sur AB, le segment DH est moyen proportionnel entre les segments AH et HB. Ainsi donc, si l'on ^ — p^ porte bout à bout deux segments AH et HB res- / \

pectivement égaux aux dimensions données, que a h b

l'on trace un demî-cercle de diamètre AB, et que Fig. 170.

l'on mène la perpendiculaire nn II à AB jusqu'à sa rencontre D avec le demi-cercle, on obtiendra un segment DH satisfaisant aux conditions requises.

N'est-il pas possible de généraliser ce mode de construction, si simple, si clair, oîi n'intervient que l'Jnterseclion d'une droite et d'une courbe ?

636. — Le succès de la méthode que nous venons d'employer repose en somme sur le fait suivant : le lieu géo-

Imélrit/ue des points D tels que lu perpendiculaire B DH à AB soil moyenne proportionnelle entre les

« H deux segments qu'elle détermine sm- cette droite,

Fig. 177. est une circonférence de diamètre AB.

Imaginons qu'entre les segments DU, AH, HB

(fig. 177) il y ait une relation métrique plus compliquée, par exemple que (AB étant donné) DH soit le càté d'un carré assujetti à être égal à un rectangle, lequel est supposé appliqué à un segment donné LM et défaillant d'un rectangle semblable au rectangle de dimensions LM et AB.

49^ LÀlâÈBHE GÉOUÉTniQUB

On démontre (') que le lieu gêomC'trique des poinU D qui saUsfont k cette condition est une etli'iac [tassant par lo point A ei ayant pour grand axe le segment AB.

En langage algébrique, la propriété qui définit les points Ddu lieu s'exprime comme il suit. Posons (*)

AB = aa, m = ap. AH = x, HÛ=y;

nous aurons, d'après Ib n' fi33 :

j'' 7^ i]ix — "^ r' ou y' = api — "^ X-.

Ainsi à tonte position du jKiint II entre A et B (c'est-à-dire h toute valeur de x) correspond un point D du lieu sur la perpendiculaire menée en lia All.el ce point esta une distance de H égale à

X* , Apalionios (ilaçait le segn>ent LM (égal h p) mir

la figure principale, perpendiculairement à AB au point A : c'est pourquoi ce segment fut appelé lalus rectum (côté droit) ; la demi -longueur, p, du lalas reclam est appelée aujourd'hui paranitlre de l'ellipse {').

B26. — Supposant l'ellipse construite ('), proposons-nous de nou-

\>) Apollodius, Com'ca,liv. I, prop. r3, éd. Ileiberg.t. l,p. 48.Ct. Heath, Ap^Uottius oj Perga, p. 8 et suiv. — Ces proprijléa de l'cllipie étaient connues d'AncBiiiÈDE.

(1) La raison pour laquelle on a coutume de déiigner par dea lettres a, p les moitiia des segments AB, LM. plutât que les longueurs de ces segmenta eux-mêmes, apparaîtra plus loin.

p) Cette expression fut introduite dan* raatt<ce murant par De La Hîre, vide supra, p. ai a, note i.

(*) On pourrait procéder inversement et ae servir au contraire de la Tègle de construction du rectangle défaillant pour construire le point D de l'ellipse correipeadant à une position arbitraire de H sur AB; on déterminerait ainsi autant de points de la courbe que l'on voudrait (c'est ee que l'on appelle aujourd'hui conairuire une courba par points], Uait nous avons vu qu'au point do vue théorique une conique définis comme itttemecUon d'un cAne et d'un plan peuvait en toute rigueur Atre regardé* comme couslruile.

heprésektatichi oÉoMÉmiQUE, ETC. ^95

veau le probUme du n" 592 (d^tsnnioaUon du rectangle défaitlanl) en ndoptant les notations indiquées au début du d° S25. Le carré donné a pour c6té la longueur DH ; le rectangle inconnadoit être appliqué à LM et défaillant d'un rectangle de dimensions LM et AB ; alors, une fois construite la figure 178, comme il a été dît au n° 635, l'inconnue x (dimension inconnue du rectangle à construire) ne sera autre que la longueur AH (d'après les propriétés qui définissent cette figure).

D'où la construction suivante (pour déterminer AH) : À une distance égale au côté du carré donné au-dessus de AB menons la parallèle Z'Z à AB. Si cette parallèle coupe l'ellipse, elle la coupe en général en deux points D et O'qui se projettent en II et H' sur AB. Chacun des deuK segments AH et A'H' satisfait aux conditions ^u problème qui a, par conséquent, deux solutions.

Si Z'K ne coupe pas l'ellipse, le pcoblèmc n'admet aucune solution. Si ZZ' touclie l'ellipse en un poini (lui est tangente) il y a une et une Geule solution.

Hemarquons que si LM = AB (p — a) le lieu géométrique du point est un cercle d'après le n' S34 [on a alors y' r= « (a a — x] = AH . HB] ; l'ellipse dégéaère donc en cercle dans ce cas particulier.

Le nom de l'elUpse (iiXu+i; ■ rappelle que celle figure est relative à la construction d'un rectangle dcfaillanl (èUcTkûï).