Considérons maintenant le cas du rectangle excédent

Les segments AB, DH étant dé&nis comme ci-dessus mais H étant cette fois hors de l'intervalle AB, du côté de A jvoir la figure 170 que nous disposons ici de telle sorte que B soit à gauclie de A], supposons que DH soit le côté d'un carré ossujetti à ûtre égal Fig. 175.

i un rectangle, lequel est lui-même supposé appliqué à un segment donné LM cl excédant d'un rectangle seuihlnble au rectangle de dimensions LM et AB. On démontre que le lieu géométrique du point D (pour H quelconque sur le prolongement de BA) esl une

l'algèbue géouétkiqlb

demi- hyperbole {') passant par le iwiot A et ayant )>our a\c transverse le segment AB.

En langage algébrique, si nous posons comme plus liaul

AÛ^^aa, LM = ap, AFI ^ r. llD = v.

nous avons

- api

-fx'.

L'hyperbole, une fois construite, fournira une solution simple du problème du n° 623 (la construction est le même que dans le cas de l'ellipse).

Le nom de l'hyperbole (iincpSoXiJ) rappelle que cette ligure est relative à la construction du rectangle excédent (-j;;(^SiXXov).

538. — Que si maintenant nous considérons l'application pure et simple (TtipaSoi);) d'un rectangle à un segment (sans déralliance ni excès n°520), nous verrons iutervenir la troisième section conique,

et nous expliquerons aiusïsonnom

(h pai-ahote.

Conservant toujours les miïmcs . notations (voir fig. 177), supposons que DH soit le cdlé d'un carré ^■K- '"o- assujetti à être égal a un rectangle que l'on imagine appliqué ù un segment donné LM et de dimensions AB et Ail. On démontre que le lieu géométrique du {>oint D est une parabole dont AB est l'axe et A le sommet (fig. t8o). En langage algébrique nous aurons :

le nombre p est dit paramètre de la parabole.

I') Grice à l'iotroductiaii des «gnea daoi 1b calcul de* abscissat la relalion y* = ^px + ^ ^' représentera en • géométrie analytique > lliyperbole tout entière : c'est l'équation de la courbe rapportée 4 deux axe* rec la u gui a ires, d'origine A, dont l'un (l'axe des z) coïncide avec AB (cids W™, clV "1-

nEPRËSEKTÀTIO» GÉOMÉTRIQUE, ETC. ^()7

B2S. — llestiiitéressfintdenoterquelespropositionsqiùfonU'objet des n°' 5^-36 ont été généralisées par Apollonius. Ce géomètre établit en ellct que ces propositions restent vraies lors même que la droite que nous avons appelée DIl n'esl plus perpendiculaire à AB mais est simplement assujettie à être parallèle à une direction fixe (la même pour toutes les positions prises par D) arbitrairement inclinée sur AB (comparer p. 246 note ij.

En d'autres lermessoitT'TIa direction donnée, Hun point de AB. Sur la parallèle à T'T menée par H, portons une longueur HD telle que

HD' = LM X AH -^"aHMc

lien géométrique dn point D (pour

H variant entre A et B) est une ellipse

àediamètre Ail, et pour laquelle T'ï

est la direction des cordes conjuguée:

n" 247 la définition des diamètres et cordes conjuguée»

630. — La construction des sections coniques, et les propositions des n" S26-38 Toiirnirent la solution d'un problème célèbre qui occupa bcancoup les premiers géomètres grecs : le problème de la duplication ihi cube.

Soit demandé de construire un cube égal (congruent) à un parallélipipcde droit donné. Appelant x la mesure du côté du cube, a, b, c celles des dimensions du parallélépipède, on voit que la question revient à résoudre l'équation du troisième degré

(3) x^ ^: aie

et, par conséquent, à extraire une racine cubique. En particulier, si le parallélépipède a pour dimensions a, a, sa, le cube inconnu doit être double du cube de dimension a : d'où le nom de duplication (') donné au problème.

La construction du cube égal à un parallélépipèdedroit quelconque

(■) On appelle parfoi» ce problème problème dilîen k cause d'uD oracle qui aurait prescrit de donner à un autel de forme cubique, dans l'ile de DéloB, une grandeur double, " sans en changer la forme ». (» * HUl. des Math., trad. J. Mascart, p eSj.

Uoiinovi. — La Principa de l'Amlj^M nitlbéauliqur.

^gS l'algèbhb GÉOUÉTAIQUE

fut raïuenée — peut-âtre par Ilippocrale de Chios — à lu résolution du problème suivant ; déterminer deux moyennes proportionnelles à deux segments donnés.

Etant connues, en effet, les trois dimensions a, 6, c, nous pouvons, en premier lieu, construire un segment 1/ qui soit moyen

proportionnel entre a et 6 (n° M) donc tel que T=:ïO\ia .b^d*. Le segment inconnu X sera alors défini par la relation x'^iJ'.c. Je dis que, pour le calculer, il sullil de déterminer deux segments x et y tels que

£n effet, écrivant que ta carré du premier rapport (4) est égal au

d* z r T produit des deux autres [rapports, nous avons p = — ^* = - ;

d'où d'.cr=x'.

On énonce la retalion exprimée par l'égalité (A) en disant que x

et y sont deux moyennes proportionnelles erftre c et (/(cf. p. ta3

note 3).

631. — Voici maintenant comment la détermination des segments a; el;^ peut être faite aux moyens des lieux solides ou sections coniques [cette détermination est attribuée & Menechme(')]:

Des proportions " ^ y' y =(• on déduit (')

Traçons (fig. i8a) deux droites rectangulaires OX, OY et proposons-nous de trouver deux segments OM, ON, que nous portons respectivement sur OX et OY, dont les longueurs x, y satisfassent aux relations (5) [c et d étant des longueurs données]. Menons par

{■| Vide tupra p. 341, note 3. Cf. Heath, ApoUonlua of Perga, iR(|6.

p. XIX.

(*) TJn« autre lolution, également donnée par Menbchhe, consiste i construire l'îiileraection de la parabole et de l'hyperbole dont Iw éjuationi en coordonnée* rectangulaires sont x* = d.y *t-=^ («u sy = oi).

nGun\Tio:i caiitésiek>e des fonctions d'une variable 499

M la parallèle h OY, par N la parallèle à 0\ et appelons Plepotat de rencontre de ces droites ; nous avons

MP z=Oti=y, NP = OM = X.

Le point P est sârement situé sur la parabole de sommet 0, d'axe OX et de paramètre - : en effet, d'après le n" ^28, on a, pour tout point P de cette parabole, la relation MP' = 2 . - . OM .

Le point P est également sur la parabole de sommet 0,

d'axe 0\ et de paramètre - ;

car pour tout point P de cette ^'f- '^''•

parabole. ISP* = a . - . ON.

Or nous sawont construire ces deux paraboles ; noue pouvons donc théoriquement déterminer leur intersection (il n'y en a qu'une dans l'angle XOY), et par conséquent le point M.

C'est sans doute parce que les sections coniques servent ainsi à résoudre des problèmes relatifs à la détermination de solides (se traduisant algébriquement par des équations du 3* degré) que ces courbesétsientappelées//eftxso^VJef par Aristée l'Ancien (cf. a°a43).