Figuration cartésienne des fonctions d'une variable

532. — Les fondateurs de l'algèbre moderne, en Orient et on Occident, étaient familiers avec la méthode de calcul des géomètres grecs, et ils ne manquÈrent point de faire usage, Jt leur tour, des constructions géométriques pour illustrer et interpréter leurs formules et leurs équations. Ainsi procède Khwanzmi'^('), ainsi

(') Sur la repTMentation des fonctious de a variables, voir ii^ra p. 5o6, note 4-

(*) Ed. Rosen [vide supra, p. ayr, note i), p. i3-ig; cf. Libbi, IIUU ati Se, malh. en liai, t. I, note la, p. 253 et auiv.

5oo l'algèbre oëouktrique

Léonard de Pise('), qui s'est instruit h In double école de l'Inde et de la Grèce et qui déclare le calcul algébrique inséparable de la géométrie. Luca Pacïuolo, après avoir ex|>osé au point de vue abstrait les règles du calcul algébrique, consacre un chapitre de sa Sammakia démonstration géométrique de ces règles {'). Vièle enûn compose un important ouvrage sur la construction des racinesdes équations du second degré (').

Parallèlement, d'autre part, l'habitude se généralisa de résoudre par l'algèbre les problèmes de géométrie pure [voir à ce sujet chap. IV, S l\ : lasolution nouvelle élaitconfrontécavecTancienne et l'on s'apercevait ainsi qu'il n'y avait point de l'une à l'autre opposition de nature et que toutes les « transformations algébriques efTecluécs » avaient un sens géométrique bien déterminé (*).

Et pourtant, les constructions géométriques des anciens n'ont plus pour nous et ne pouvaient avoir dès le xvii* siècle qu'un intérêt rétrospectif (cf. p. :i85,note i). Sans doute elles fournissent une représentation remarquable des formules de l'algèbre; mais il ne parait pas qu'elles en puissent faciliter le maniement ; elles l'alourdissent BU contraire et elles ôtent à l'opérateur la liberté d'e;prit

(') Dans la préFace de son traité d'algèbre [liber Abbaci compositu» a Leonardo filio Bonacei Pisano in anno lun^], Léonard déclare : i Quare amptectens strictius ipaum modum Indorum et attcnlius atudens in eo. ex proprio sensu quœdam addens et quiodain eliam ex sublilitalibus Euclidis geometriœ artis apponcns, summam hujus ilibri... componere laboravi... Et quia arilhmeiica et geometriiu Gcienliis sunt coancxte et suOragatorite sibi ad invicem, non potest de minicro plena tradî doctrina niii intersecantur geomelrica quiedam vel ad geometriam apectantia que hic tamen juxta modum numeri operaotur, qui modu* est sumptus ex multis probatioDJbus et demunatrationibus qura figuris geometricis fiunt • (Libui. lac. cit., t. II, p. 287 et suiv.). On pourra suivre l'exécution de ce programme au chapitre xv do l'Abbacug reproduit par LiBHi {tûc. cit., p. 307 et suiv.) : u Capitulum quintum decimum de regulia geometriœ pertinenlibus et de quxstionibus algebro; et almuchabili: ■ — et aussi dans la Practica geometrix (la'^o).

(') Summade arithtnetica tiiniJ : ■ Distinclio octava, tractatus secundus : demonstratio geometrica diclarum regularum i>.

(') Francisi Vietœ E/jeclianum geometricarum canonica recenaio ( iSijîf ; ■ ElTecliones geometricas qui bus œquationes omnea qute quadratorum metam non cxcedunt commode expliccntur, ila canonice reconseo ■.

[*) Ce parallélisme est nettement mis en lumière dans les ouvrages de MAnino Ghbtaldi (ti'de infra, chap. iv, § i) auquel certains historiens attribuent un rdle important dans la création de la géométrie analytique.

FIGURATION! CARTÉSIEH^IE DES F0;<GTIONS d'u^E VAAIABU: 5oi

dont il a besoin pour donner k l'appareil algébrique tout le jeu qu'il comporte. Pour que la figuration géométrique puisse devenir avantageuse, il l'aut que le principe en soit complètement modifié ; cette réforme nécessaire l'ut l'œuvre de Descartes (').

633. — Nous avons déjà vu que Descartes avait définitivement exclu de l'algèbre celte représentation des produits par des aires ou par des volumes qui embarrassait le calcul et en limitait si fâcheusement le champ (*). Toute expression algébrique, dit Descartes, doit être lîgurée par une ligne simple {') ;c'est-à-dirc par un segment rectilignc ou longueur).

Ce n'est pas tout. Nous disions tout à l'heure que lorsque les quantilcs algébriques leprésentcnt les éléments d'une ligure, les calculs cil'ectuéa sur ces quantités ont toujours une signification géométrique : de là résulte cette conséquence remarquable que toute transformation, tout calcul algébrique peut être suivi pas k pas sur la figure et traduit immédiatement en langage géométrique (*). Est-ce ainsi, cependant, qu'il convient de procéder en

(') Sur le rôle historique de Descartes, voir chap. iv, § 3.

(*] Voir en particulier p. ^la, note 3.

{') Compendioate (igurse, quse modo aujficiant ad cavtndum lapsum, quo hrtviores, eo commodiores eilatunt (cf. p. nu, note ■)■

(*) Montrnnspar uri exemple comment se pourra faire cette trnduction. Supposons quo l'on veuille trouver deux nombres x e\.y connaissant leur somme s (nombre posiiil) et leur produit p' (nombre positif). Le problème [qui équivaut d'ailleurs, d'nprès le n° 'ItiS, à la résolution de l'équation du second degré X' — aX -j- p' = o) peut Btre résolu comme il suit. Appelant d la différence des inconnues x — y [noua avons toujours le droit de supposer que c'est la plus grande inconnue qui est

appelée x\ nous remarquerons que 1 - J — I — ^ j = ^i donc

■j- — -,- = p', ou d' =»* — .Ip', d'où l'oD tire la valeur de dl le probUme

n'est possible que si à^ — ^p- > n ou p < - ) ; on a ensuite évidemment (cf. p. 36o, noie i).

Ce calcul peut £tre suivi pas à pas sur une figure géométrique. Figurons sur une mJme droite (dans le même sens) deux segments 06, OA que

503 l'algèbre ctOMÈTMQVE

efTetî* Descartes ne le pensait pas. Si l'image est, selon lui, indispensable au mathématicien, c?Ic ne doit cependant pas être l'objet, ni mâme l'instrument de la démonstration. Là représentation des quantités par des segments n'est nécessaire qu'au débat de l'algèbre ; ensuite des signes plus simples suilisent, tels que les lettres de l'alphabet aflectées d'indices et d'exposants: et si nous faisons de nouveau intervenir la (iguralion géométrique, ce ne doit être qu'après coup, une fois le calcul achevé, afin d'interpréter ce calcul par la dùcassion {vide, chap. iv, s i) ou simplement de le vérifier et de le fixer dans la mémoire. A vouloir marcher de pir, la géométrie et l'algèbre ne réussiraient qu'A se gSner.

Le mode de Gguration géométrique qu'adopta Descaries se prête admirablement à cet usage discret et intermittent qu'il en voulait faire. Sans prétendre être autre chose qu'une illustration de l'algèbre, il a cependant puissamment contribué aux progrès de celle-ci, et nombre de définitions et de règles de calcul, données dans notre Chapitre i, ont été en fait suggérées par lui.

534. — L'algèbre géométrique de Descartes repose sur ia représentation des fonctions au moyen d'un système de coordonnées.

D«U8 ■uppoaoïu égftux aux l«Dgu«un ioconnue* x et y. Appelant M le milieu de AB, nous avons évidemment

Leiegment OH repréaente donc - et le segment BM vaut -. Cela potj. construisons un triangle rectaoglo ayant pour hypoténuse OM (qui est connu) et une cathèle OC de longueur p [pour construire ce triangle on procède comme ooiis l'avons dit p. iSg. note i]. La cani de la seconde calhète, CM<, cat égal â

,OC.-(°*±°J)'OAxOB.

donc égal à ( ■ — ■■■ ■■ | d'après l'identité relative au produit de deux segmaits (ici OA, OB) qui a iti étaUie giomifriquemtnt au n" 517. Ain»î U trouve déterminé CM ai toutefois la construction du triangle rectangle est possible, {voir p. ^Si), note i!. Ayant CM, je décris de M comme oentn le cercle de rayon MC r ce cercle coupe U droite OM en deux points qui sont les pointa ii

FIGURATION CAHTÉaiENNE DES FOBCTIOUS d'uNE VARIABLE 5o3

Cette représentation nous est aujourd'hui familière, car elle est enti'ée daDB la vie pratique('). Nous en faisons usag;e lorsque nous traçons un graphique tel qu'une courbe de température ou une coui'be de variation de poids.

Supposons, par exemple, que tous les jours d'un même mois, à la même heure, nous ayons relevé la température d'un malade. Pour rendre sensible à t'œîl la variation progressive de la fièvre du malade au cours du mois écoulé, nous tracerons le gra- i pbique suivant. Prenant une feuille de papier quadrillé (fig. iS4) nous marquerons sur une ligne horizontale, aux ^ ^ ^ pointd de rencontre de celte ligne avec les lignes verticales consécutives, les

dates 1,2,3. 4. 5, etc. Sur une ligne verticale (aux points de rencontre avec les lignes horizontales successives), nous indiquerons les températures (') 37°, Sy'i, 37°a, puis au-dessous 36°e), 36°8, etc. ; cela fait nous figurerons la température du malade un jour quelconque en prenant le point de rencontre de la verticale de ce jour avec l'horizontale correspondant au nombre de degrés lu sur le thermomètre.

Si le thermomètre donne 37'! le 1" du mois, 37*5 le 3, 36'^ le 3, les températures du i", du a et du 3 seront représentées sur la fig. i8lt par les points T,, T„ Ta. Joignant ces divers points par une courbe continue, nous avons ce qu'on appelle une courbe de température.

Telle est, appliquée à un exemple moderne, la méthode de représentation des grandeurs variables, qu'exposait déjà. — ou à peu près, — l'évéqne de Lisieux, Nicole Oresme, dans son Trac, tatus de latitudmibus formaram (i48o) (').