FRACTIONS

Les calculs relatifs aux fractions d'unilé reposent sur le principe suivant, qui est universellement admis : tout objet peut être divisé en autant de parties égales que l'on veut, et, par conséquent, quel que toit le nombre cardinal m , il est possible de diviser Fanité en m parties égales. Cliacuoe de ces parties oat une m*^»parlie de tanité; nous l'appelons /rac/iofi (de namérateur i). et nous convenons d'écrire :

mtat partie de l'unité ^ {égale) — ■

Soit maintenant M un nombre cardinal inférieur h m. Supposons que, parmi les m m^"^ parties de l'unité, nous en prenions M : nous isolerons ainsi une collection de M rn^>i>« parties de Cuniti; cette collection sera appelée h fraction », et nous conviendrons d'écrire :

Mm^in" parties de l'unité = — .

Supposons enlïn que nous disposions de plusieurs objets indiscernables ou unités, et que nous divisions cbacun d'eux en m parties égales. Nous obtenons ainsi une collection de parties toutes égales entre elles. Isolons M de ces parties (M pouvant être cette fois supérieur à m) : nous aurons encore une « fraction h (') que

nous représenterons par le symbole — ; M et m sont appelés termes de la fraction ; M est le numérateur et m le dénominateur de la fraction.

Une fraction est égale k un nombre cardinal lorsque son numérateur est divisible par son dénominateur. C'est le cas de toutes

les fractions de dénominateur i, et des fractions telles que ~< ^1 ^'*^- En effectuant la division, on « réduit » la fraction au nombre cardinal égal. Pour les opposer à l'ensemble des fractions, on appelle

(') Cette exteniioit donnée au sens du mot ■ traction n, un peu choquante au point de vue philologique, est justifiée par ce fait que les quanlitës que nous canvenona d'appeler 0 fractions 9, joujstent de propriété! semblables que leur numérateur soit ou non égal à i. Les Egyptiens {fiiU 3i) et les peuples primitifs ne connainai«nt cependant que les fractions de numérateur i.

38 LES NOMBRES

d'ordinaire les nombres cardinaux (et les fracUons à eux réductibles) : nombres entiers.

31 . — Est-il possible d'effectuer sur les Traclions les sii opérations fondamentales définies au $ 2?

Oui, évidemmenl, pourvu que nous donnions des règles non ambiguës permettant de déduire de deux ou plusieurs fractions données certaines fi'actions nouvelles appelées somme, pitxlait, ijuolieitl... des fractions proposées. Mais, nous venons de voir qu'il y a des fractions qui sont des nombres cardinaux (nombi'F?s entiers). Les règles des opérations effecluées sur les fractions devront donc être telles qu'appliriuces aux nombres cardinaux {plus exactemenl : aux fractions égales à des nombres cardinaux) ellts se confondent avec les régies propres à ces derniers nombres (règles du S ^)-

I^e calcul des fractions lemouLe à une haute antiquité ('), car il est formulé avec une assez grande précision, — du moins en ce qui concerne les fractions de numérateur i, — dans le traité de l'égjptien Ahmes [vide n" 1) ; il se développa en Grèce et aux Indes (5*, 6* siècle, ap. S. -G.); puis par l'intermédiaire des \rabeB. qui le recueillirent de diverses sources, il fut transmis aux peuples occidentaux. Le premier exposé rigoureux et complet du calcul des fractions (appelées à cette époque : nombres rompus {^), nameri rupti) se trouve dans ï Arithmétique de Stevin (i58d).

32. Règles fondamentales du calcul des Irocttons. — I.,es calculs relatifs aux fractions se font par application des principes suivants, conséquences directes des dcfïnltions, et dont on trouvera la démonstration dans tous les traités d'arithmétique.

Principe A. — Dans le cas où le numérateur d'une fraction est divisible par le dénominateur, la fraction est égale au quotient.

Principe li. — On ne change pas la valeur d'une fraction lorsqu'on multiplie ses deux termes par un même nombre.

Principe C. — Si les deux termes dune fraction sont divisibles par UD même nombre, ou ne change pas la valeur de la fraction

(') Les lystèmet de meniref adoptés en Chaldée reposent sur la division de l'anité en 6<i parties égales : il est donc probable que les ChaldéenB savaient eETcctuer des calculs sur les fractions de dénominateur 6o.

(•) Ou nombres rouit (cl. Le Triparti/ deCnuQUET, Vide, p. rr, noie i).

FBACTIOni 3ft

lorsqu'il! divise ses termes par ce nombre. — Effecluer une telle opération sera, par définition simplifier ou rédmre la fraction. On dit qu'une fraction est irrédacUhle lorsqu'elle ne peut pas être réduite.

Les deuK termes d'une fraction irréductible sont nécessairement des nombres premiers entre eux. En effet, si ces nombres n'étaient pas premiers entre eux, ils auraient un facteur premier commun (23) par lequel on pourrait diviser les deux termes de la fraclion. Toute fraction peut évidemment être réduite en fraction irréductible.

Principe D. — Etant donné plusieurs fractions on peut toujours les réduire ou mime dénominalear, c'est-i-dire las remplacer par des fractions égales qui aient tontes le mémo dénominateur.

En effet, soient —, - deux fractions quelconques. La première

est égale à la fraction - - , la seconde à la fraction "■■-■-■■ - . Les

deux fractions — -— - et 'j^^— satisfont donc aux condition)^ requises; d'ailleurs il est possible que ces deux fractions puissent être réduites k deux autres, plus simples, ayant également même dénominateur ('). Soient données, maintenant, trois fractions

7 ' in' n ' "*"" Poovo'iB '^^ remplacer pat les fraciioDs égales :

Et de même pour un nombre quelconque de fractions. Cela posé, rappelons les règles bien connues qui définissent les opérations relatives aux fractions.