Addition «i aouetraotion. — Considérons d'abord deux
l'addition de ces deux fractions, est, par définition, une Jraclion tjaia pour dénominalear le dénominateur commun et pour namérn-
(') D'uDe manière générale, on peut toujours réduire plusieurs fractions quelconques k un mémo dénominaleur, quî eit le plus petit commun multiple des dénominateurs de ces fractions.
io LES FOUDRES
leur la somme des deux naméraleurs. [M m*"" parlics de l'unité i îv /ntoiH parties =; (M -)- N) m*™" parties].
Si l'on considère, d'auti-e part, deux fractions de dénominateurs différents, on les additionnera en les réduisant d'abord au même dénominateur, et appliquant ensuite la régie énoncée ci-dessus. Par exemple :
L'addition ainsi définie satisfait bien à la condition que nous avons requise au n" 31.
Soit maintenant donné un nombre quelconque de fractions dont chacune sera, pour simplifier, représentée par une seule lettre a ou b ou c. Ayant défini la somme (o + b), nous pourrons défmir, de ia même manière qu'au S 2, la somme (ou l'addition) d'un nombre quelconque d'éléments a, b, c, ... L'addition sera toujours une opération univoqae, commutalioe et associative (vide n* 6).
La rè^le de la soustraction est analogue à celle de l'addition :
fractions au même dénomiiinlear ; puis on forme la Jraclion qai a pour dénominateur le dénominateur commun et pour numérateur la différence des numérateurs. On obtient ainsi la différence :
(M X /.) - (N X m) "> xn
L'opération n'est possible, bien entendu, que si, des deux fractions réduites au môme dénominateur, c'est la fraction retranchée qui a le plus petit numérateur.
34. HultipUoation et division. — L'origine de la notion de fraction justifie immédiatement les règles suivantes qui satisfont k la condition requise plus haut :
/-e/)cof/H(/ (résultat de ta mHl^plication)(/'uHe/rae/(on par un
nombre entier a est ta fraction -■ qui a pour dénominateur le
dénominateur m et pour numérateur le produit par a du numérateur M.
Le quotient (résultat de la division) d'une fraction - par un
nombre entier a est la fraction qui a pour numérateur le nu-
mérateur M et pour dénominateur le produit par a tia dénominateur m. [Pour diviser, par exemple, e par 3, il suffît de diviser en 3 parties égales chaque 5*°* partie de l'unité et de prendre 2 des (5 X 3) parties de l'unité ainsi obtenues,] Remarque. — Le quotient d'u
Le produit d'une fraction — par une fraction -- est une fraction
ayant pour numérateur le produit des numérateurs M, N, et pour dénominateur le produit des dénominateurs m, n :
M N MxN
m^ n^ mxn-
La division se définit dans le cas général comme opération inverse de la multiplication. Le quotient (résultat de la division)
rapport des deux fractions — sera la fraction qui, multipliée
par —, donne —; cette traction est ^
et l'on pourra énoncer la règle suivante : Pour diviser deux /raclions rune par fautre on multiplie la fraction dividende par la fraction diviseur renversée.
Suivant les conventions du n" 8, le quotient de la division de n
par b peut être noté r au lieu de a : b. Cette notation est naturelle puisque le quotient est une fraction. Le même mode de notation pourra encore être employé lorsque le dividende et le diviseur sont des fractions. On écrira :
-m- au lieu de âl ' ~h'
D'après la règle qui précède, toute division do fraction se ramène ù une multiplication. La division d'une fraction est donc, comme la multiplication, uoe opération univoque et toujours posaible. Nous o'avoDS pas à distinguer, dans la Uiéorie des fraclioDs, entre une division exacte et une division approchée, comme nous l'avons fait pour les nombres enlîera : le quotient d'une fraction p<7r une autre est toujours an qualknl exact.
Considérons, en particulier, la division de i par la fraction - . Le i/uolienl est la fraction retournée n : on l'appelle inverse rfc la fraction - . D'après cette dcfintlion i'inveme d'un nombre entier m est la fraction - de numérateur i .
36. — Nous n'avons envisa^'é cî'dcssus que la multiplication de '/^uo: fractions. Soil maintenant donné un nonibreqnelconquede fractions dont chacune sera, pour simplifier, repi-ésentée par une seule lettres, ou 6, oo c, ... Ayant dérmi le produit (a X b) nous pourrons définir, de la même manière qu'au i 2,\e produit ou la multiplication) d'un nombre quelconque d'éléments, a, b, c, ... ÏJi multiplication sera toujours une opération coinmiilalÎL'e, assorialive el tlistribuiive (vide .iiipra, n° 7).
36. Elévation aux puisaanoea. — Vous ne définirons, pour l'instant, que lëlévation d'une fraction (quelconque) à une puissance entière.
Soit p un exposant entier. L'élévation à la puissance p n'étant qu'une combinaison de multiplications (n° 9) nous pouvons déduire du n" 34 la règle suivante : fa puissance p''*" de la
fraclion ~. est la/raclioii ' - : nous écrirons donc
\m} ml-
On vérifie sans peine que les puissanras de» fractions jouissent des propriétés <listrtbiitivcs et associatives énoncées au ri" 9.
37. Extraction des raoineB. — L'extraction des racines est l'opération inverse de l'élévation aux puissances {l'idc supra, n" 10).
D'où la règle : La racine p"'" oa racine d^ordre p de la fraction
est la fraction ^-~. ; on peul donc écrire
«ne opération toujours possible ? Pour qu'il en fAl ainsi il Taudrait qu'il existât toujours une fraction dont la puissance p'*™ frtt
égale à — . Or un exemple très simple va montrer que cela n'est pas.
Je dis qu'i'/ n'existe pas de fraction dont le carré soit ètjal à 2 (d'où il résalle que l'extraction exacte de la racine cariée de 3 est une opération impossible). Snpposons en effet qu'il
existe une Traction i telle que ^ = 2. J'ni le droit de supposer (n° 32) que l'on a réduit la fraction à une fraction irréductible, en sorte que a et & sont premiers entre eux (n" 24). J'ai, par hypotlièse, a* = a6' ; dooc a*, et par suite a, est un nombre pair (') ; et, puisque n et & sont premiers entre eux, h doit
être un nombre impair. Mais appelons a' le nombre ■- (ce nombre est entier puisque a est pair) : j'ai a' ^ 1* X a'" ^ 'i.a". et, par conséquent a. m" ^= fc' ; donc 6' est pair, ce qui exige que h soit pair (note 1). Ainsi, en admettant qu'il existe une
fraction x égale à v'a nous aboutissons Jt celle conclusion que le nombre b est Ji la fois impair et pair. Conclusion absnrde qui nous oblige  rejeter notre hypothèse.
La démonstration qui précède est donnée par Eaclide au livre X de ses Eléments, et s'il faut en croire Aristolc ('), elle aurait déjà élé connue de Pythagore. Elle nous apprend qu'en général les
(') Le carré d'nn nombn impair «st nécessairement im nombre impair ; en effet, la décompoeition de ce carré en tacteun premiers ne peut (pas plus que le nombre lui-même} contenir le facteur s. Donc «i a* est pair,
(') Cf. CanTOB, Vorlnungen, I, p. 170.
LES nOUBHES
racines des fractions les plus simples ne sont pas, clles-mdnics, des frac lions.
- Nombres rationnels. Inégalités.
38. Nombres fractlonnedrea. Hoinbr«i rattonneU. — Le calcul lies fractions a été créé, nous l'avons dit, ^>ou[ répondre aux besoins de la vie pratique et de la géométrie. Cependant, le développement même de l'arithmétique tliéorique devait nous conduire à ce calcul et nous inciter à le considérer, non pas simplement comme une anne?ie, mais comme une partie intégrante de de la science des nombres.
Les problèmes d'arithmétique que nous avons étudiés jusqu'ici se résolvent tous, remai-quons-lc, de la même manière : en effectuant sur des nombres proposés certaines opérations donnant comme résuUals de nouveaux nombres. Ainsi, le monde des nombres est essentiellement, pour nous, une classe d'éléments abstraits, sur lesquels nous ne supposons rien, sinon qu'ils se prêtent à certaines opérations bien définies : nous savons qu'en combinant les éléments de celte classe suivant des régies aiTêtécs une fois pour toutes, nous obtiendrons, toujours et exclusivement, des éléments appartenant à la même classe.
Or, cette condition, qui équivaut pour nous i la déQnilion du nombre, les fractions y satisfont comme tes nombres cardinaux. En effet, nous savons effectuer sur les fractions les mêmes opérations que sur les nombres cardinaux, et, comme résultats des opérations effectuées, nous obtenons toujours des fi-actions. C'est pourquoi nous sommes tout naturellement amenés à assimiler les fractions h des nombres ; nous conviendrons de les appeler : nombres fractionnaires.
Mais nous savons que la classe (les fractions comprend comme éléments particuliers l'ensemble des nombres entiers. Nous préciserons donc notre langage en convenant de réserver le nom de nombre fractionnaire aux fractions qui ne sont pas réductibles à des nombres entiers, et appelant, d'une manière générale, ■ nombre rationnel » un nombre entier ou fractionnaire quelconque; nous
INÉGALITÉS j5
disons alors que la classe des nombres rationnels comprend comme sous-classes la classe des nombres entiers et la classe des nombres fractionnaires.
Voilà donc que d'un traitde plume nous avons considérablement accru le domaioe de la science des nombres. La belle harmonie de ce domaine n'y perdra rien, car nous pouvons étendre k la classe des nombres rationnels beaucoup de propriétés — les plus Importantes, peut-être — des nombres entiers. Ainsi la définition d'une médiélé {a' 20), d'une progression arithmétique ou géométrique (a." 16 et 21), l'expression de la somme des n premiers termes d'une telle progression (') peuvent être transporlées, sans modification aucune, du monde des nombies entiers au monde des nombres rationnels.
3d. Nombres oroissanta oa décroissants. — De deux nombres entiers quelconques l'un est toujours plus petit que l'autre. Pour exprimer que le nombi'e a est plus petit que le nombi'e b, nous écrivons
ainsi a < 3 :
pour exprimer que a est plus grand que b, nous écrivons
ainsi 5 > 4.
Considérons maintenant dei Il résulte de la définition de la soustraction qu'une seule de ces deux fractions peut être retranchée de l'autre; ce sera la première si N X m est plus grand que M X n, la seconde si
(■) La formule du a" 21 donnant ta soauue d«i n premiers termes d'une progreision géométrique, n'est toutelois valable que si la raison b est aupérieure à i. Si è < 1, cette formule doit être, ainsi que le montre un caleul facile, remplacée par la suivante: a, x firi ifià' infra, p. i54j.
LES NOMBRES
?J X m est plus petit que M X n; dans le premier cas. nou» dilons que - est plus petit que (ou infi'rieur à) ^ , et nous écrirons
dans le second cas, nous dirons que - est plus grand que {sapé~
Ainsi, <le deux nombres rationnels (entiers ou fractionnaires} quelconques, nous saurons toujours dire lequel est le plus grand, lequel est le plus petit.
J'ajoute que si (') a et 6 sont deux nombres rationnels quelconques, et si a -< b, tous tes nombres inférieurs à a sont, a fortiori, inférieurs \ h ; tous les nombres supérieurs à b sont, a fortiori, supérieurs à a.
Soit maintenant une collection quelconque de nombres a,b, ...,L Nous pouvons, toujours, d'après ce qui précède, ranger ces nombres à calé les uns des autœs, de manière h, former une suite
jouissant des propriétés suivantes : tout nombre de la suite est supérieur aux nombi'cs situés à sa gauche et inférieur aux nombres situés à sa droite. Une telle suite a, b, ..., / est dite suite de nombres croissants (ou suite croissante de nombres). La suite inverse /, ..., b, a est une suite de nombres décroissants.
Une suite de nombres rationnels croissants est analogue, on le voit, à la suite des nombres cardinaux (voir n° 12), mais an lieu que deux nombres de celte dernière suite difi^rent d'une unité au moins, les éléments d'une suite de nombres rationnels peuvent être très rapprochés et ne différer que d'une très petite fraction d'unité {vide infm, n' 42).
{') Je repréieute chaque nombre ra lia unel par une lettre unique conune je l'ai déjà fait au $ 5.
40. InégaliUs. — On appellQ iaigaHté la Tominle qui eiprime qa'na nombre est supérieur on inrérieur à un autre nombre. Ain» les formules
sont des inégalité auxquelles satisfont respectivement les nombres j et 3 et les oombns g + i, - -t- >. La directico du signe > ou < indique le sens de l'inégalité. Les nombres ou eiipressions qui figurent de part et d'autre du signe > ou < sont les deux B membies •> de l'inégalité (').
Lorsque deux nombres satisfont à une inégalité, les résultats d'une même opération, eficctuée séparément sur l'un et l'autre de ces nombres, satisfont parallèlemenl k une inégalité correspondante. On dit que cette inégalité est une Iransformalion de l'inégalité proposée. Accomplir cette transformation, c'est « effectuer une opération n sur l'inégalité pr(^)09ée.
Les règles ausqueiiee obéît la transformation des inégalité* se déduisent immédiatement des rùgles relatives «ux opérations Iba damentales.
Soit donnée l'inégalité n -< t et soit c un nombre quelconque. II est facile de voir que Yinégalité a < fc entraîne les inégalités suivantes :
aH-c<fc-h«, axc<6xc. ?<-.
Si a est un nombre supérieur à t , son ini-erse -■ est inférieur à 1 , 5/ a < I . on a - > I .
Si a est an nombre trts ijraml {*), • est un nombre trh petit ; si a est trht petit, ~ est tris grand.
(■) Od cAmbÏB* SDQTvnt Iw niptes > «u < avec le signe '^ écrivant >~ pour lignifier plus grmitd <m i^at et < pour signifier pbu petit on igal.
[*) Toutes ces propoïitiont ivat deg c«ii«éqinncet dîrectea de !b déCnitiou dei fractions. Aingi si l'on diviao l'unité en un très grand nombrede partie*, chaque partie ou traction est très petite, etc.
48 I-ES >OMIIIIES
Soit, d'autre part, p un entier quelconque : si (') a > i, on a a'' > I ; si a < I , on a a'' < 1 ; si a < 6, on a (*) a'' < 61" ; on en déduit que si a < 6 on a {/a < \'b .
Lorsque le nombre p est très tjraml, la puissance a>- csl un nombre Irh yrand si a> i , un nombre très petit *i a < i : el plus p devient grand, plus a*" devient grand ou [wtit {').
41. DiviRlon par zéro. — Soit m un nombre rationnel très petit. Le quotient par m d'un nombre quelconque a est égal au produit de a par l'inverae - du nombre m, et cet inverse est un nombre très grand lorsque m est très \>etii. J'en conclus que, [lour un mSme nombre a, plus m est petit, plus le quotient — est grand. Si m devenait nul, !e quolienl — n'existerait plus, et, en effet, ce quotient ilevralt être un nombre plus ijrand que tous les nombres. On convient de dire, pour rappeler ce fait, que « lu division (l'tut nombre quelconque a par o donne pour quotient un nombre injini «
et l'on écrit symboliquement ^ = oo , le signe x signifiant nombre
injini.
Que l'on ajoute un nombre quelconque & ce quotient, ou qu'on le multiplie par un nombre quelconque, le résultat sera loiijoui-s un nombra infini, car, comme le disait l'arilhmélicien bindou Bhaskara (*), « à la quantité appelée quotient par zéro, ni addition, ni soustraction quelque grande qu'elle soit ne peut faire éprouver perte ou accroissement, pas plus qu'au temps sans fm et sans déclin des séries d'existence ».
(') Un produit de facteura plus grands que i, nt, en ellet, supérieur à t ; un produit de facteura plui petits que i est inférieur à i.<
(') Appelons c le rapport - qui est plus grand que i ; (' «at ^al & « X a', où C > I -, donc 6* > a'.
{'] En faisant le produit des lacteuis (égaux) de plus en plus nomlireux et to JS lupérieurs à i on obtient un nombre de plus en plus grand ; *i le* faoleurt sont inférieurs à [, le nombre est de plus en plus petit.
(') Cf. RoDBT, Journal oiituiqut, t. XI, p. 3o.
l'écriture arithmétique et la NtSÉRATlOH
' L 'écriture arithmétique et la numératloa
42. Nous avons défini certaines opérations fontla mentales, c'està-dire certaines l'ègles conrormément auxquelles on peut, de plusieurs nombres proposés, déduire un nouveau nombre. Mais comment, par quels artifices, faudra-t-il procéder pour réaliser pratiquement le passage des nombres donnés au nombre clierché ? Question secondaire pour l'ami désintéressé des nombres, mais capitale pour le calculateur et dont dépend, par conséquent, le progrès de l'Aritbmctique.
Pour calculer aisément et rapidement, nous nous servons de l'écriture : nous devons donc, avant tout, déterminer un système de symboles simples (cf. 3) qui permette de figurer sur le papier un nombre donné quelconque ; nous devons adopter une éciiture {notation) aritbmétique, un système <le numération.
Au cours des siècles passés, les hommes ont imaginé bien des manières de figurer les nombres. Les Egyptiens représentaient les premiers nombres au moyen de traits juxtaposés ('), les Grecs employaient les Litres de l'alpIiobetC), les Cbaldéens, les Chinois, les Hindous se servaient de signes spéciaux. Mais tes symboles adoptés sont nécessairement en nombre limité. Il faut donc imaginer certaines conventions qui permettent de représenter tous les nombres avec les mêmes signes, ré|)élés ou juxtaposés de manières difféientes (').
Ainsi les Romains représentèrent tous les nombres à l'aide des quatre signes I (an), X (dix), C [cent), M (mille) auxquels ils adjoignirent plus tard les signes V {cinq), L [cinquante), D {cinq
(I) CI. la tradilion pythagorici
(-) La numération des Grecs taisait usage ds ay letlrei (lesa^ lettres de t'alphabet grec, plus 3 lettres orientales). Neuf do ces leltrei représentaient lei 9 premiers nombres ; neuf autres représentaient tes 9 premières dizaines, et neut les g premières centaines.
(') Quant aux signes +, — , X, etc., qui tiennent la place des mots plus, moins, mutliplié par, etc., ils ne sont pus indispensables et l'usage ne s'en généralisa que lorsque le calcul algébrique tut inalituô.
Boviioui. — Ln Princip» <1b I'AbiIjic Duilhématlqns. i
OO LEB IWMHtBS
cenls) ainsi que des barres verticales ou honzontales disposées de diverses maniËres {').
Notre écriture actuelle, qui est d'origine orieotale, est caractérisée par cette propriété que les unités des difTérenls ■ ordres u (voir ci -dessous) y sont figur^B par les mêmes symboles (chiffres) (*), la valeur de oes chiffres étant délenninee par U position qu'ils occupent dans le nombre écrit. C'est pourquoi l'on dît que que notre numération (notre système d'écriture arithmétique) est fondée sur le principe de position : c'est une numération <U position.
43. — Les ditréreols ordres d'anités seront défiiiis de la manière suivante. Considérons une collection de dit unités ; j'appellerai cette collection une dizaine; pareillement j'appellerai centaine une collection de cent unîtes, mille une collection de mille unités, et ainsi de suite. Cela Eait, soit [»'oposé un nombre quelconque inférieur i loooo, par exemple; je puis le regarder comme la somme de A mille, plus B centaines, plus C dizaines, plus D unités, chacun des nombres A, B, C, D, étant inférieur ou égal à 9. Je pourrai donc représenter le nombre proposé par la combinaison de signes : ABCD. Le dernier chiffre k droite représentera un nombre d'unités simples, le précédent un nombre de dizaines, etc.
Si le nombre donné que l'on suppose décomposé en unités simples, dizaines, centaines, etc.) ne contient pas de dizaines, on devra, en écrivant ce nombre, laisser en blanc la seconde place à droite (afin que les divers chiffres du nombre conservent leurs poaitions respectives). On peut aussi (et c'est cette solution que l'on a adoptée pour plus de clarté) remplacer les chiffres manquants par le signe o {zéro] signiflant u rien » {'). De là vientque les Hindous appelaient le zéro : « espace vide ».
C) Pour figurer loooii, par exemple, on écrivait X; pour figurer to X looooo on écrivait |X!. Primitivement, l'ordre dea symboles n'intervenait pas dans la numération romnine; maii plus tard on en tint compte et l'on distingua par exemple, entre la combinaison MX qui veut dire rnilU dix et la combinaÎMn XM qui signifia dU-mille. La numération romaine paraît avoir été empruntée en grande partie aux Etrusques.
{') Le mot chiffre (qui parait être d'origine arabe) sigiiiGait primitivement zéro. Cette circonstance rappelle l'importance du rûlc que joue le clÛOre o dans notre numération.
[') Le signe u, n'est peut-être que la première lettre du mot grec rjSiv Irien).
l'ÉCRITURB AniTBUÉTIQUB ÏT LA .'«UMÉilATIOn 5l
Aiotî. au moyen d« neuf cfailTrea et du zéro ooos pourrons, sans aocon signe accessoire, représenter tous les nombres. Ngus n'aurons qu'à appliquer les deux règles suivantes :
I* Le dernier chiffre à droite (Tan nombre reprétente des unités timpiet : 3* ToiU chiffre piacé à la yaache d'un autre représente des unités dix /oit pitu grandes (c'est pourquoi notre numération est dite : décimale).
De notre namirtdion écrite dérivent notre manière d'énoncer les nombres {numér<ilion parlée) et les règles pratiques saivant lesqnelies nous calcalons (r^les de l'addilion. de la mulMplication ('), etc.). Ces règles sont trop connues pour que nous ayons k les cappoler ici.
La numération de position est nettement formulée dans l'Arithmétique du savant hindou Aryabhafa (v* siècle apr. J.-G.) [saur ^1 ce qui concerne le rdie du zéro, qui n'apparaît qu'ultérieurement, et que les Hindous ont peut-être emprunté aux tirées]. L'usage s'oi répandit chez les Arabes, puis cliei les moines de l'Occident (vers le I* siècle). Au xiv' siècle la numération décimale était couramment employée et la figure des chiffres était fixée d'une manière presque délinitivfl.
44- — 11 importe de remaïquer que le principe de position, sur lequel ost fondée la numération décimale, permet de définir, tout aussi simplement, une infinité de systèmes de mintéralion. Donnons-nous, par exemple, trois chiffres ou signes o, T. â. puis faisons les conventions suivantes : Nous appellerons unités du premier ordre, cl représenterons par ï, â les deax premiers nombres il, a). Le troisième nombre (3) sera l'unité du second ordre : nous l'écrirons lo. Les quatrième et cinquième nombres ('■, 5) «'écriront :
Une unité da 3° ordre plus une unité du i" ordre = ï ^ ;
[>) A ces règles s'ajoutent certaines règles secondaires peTiacttant, par «xemple, de reconnaître rapidement si un nombre donné est divisible par i,b, ii.elc;— ou peifuettant de vérifier limplemont le résultat d'une opératian Ipnut^ par g, etc.). Ce» règles sont fornniiccs dan» tous lei traités d'arithmétique.
53 LES nOHBRES
Le sixième nombre sera l'unité du troisième ordre : i oo ; el ainsi de suite^Avec ces conventions tous les nombres seront représentés au moyen des trois signes!, â, o- ^oas auroas un système fie immàration de base 3. — De la même manière, on pourra définir un syilème de numération de base n (n étant un nombre quelconque), système employant, outre le zéro, n — i cbîfTres distincts — . Le système décimal ou système de base lo a seul été mis en pratique. Cependant les Chaldéens paraissent avoir quelquefois employé un système de base Go {numération scxa(jésintale).
La déiinition générale des systèmes de numération à liase quelconque a été donnée par Pascal, en ]65â,dan5 le traité De niunerîs muHiplicihas (édité pour la première ibis en i665; (lEav. de Pascal, III]. Une théorie plus complète de ces systèmes fut exposée par le jésuite espagnol Caramuel y Lobkovilz dans la Matkesis biceps velus cl nova (1670).
46. Nombres décimaux. — L'emploi de la numération déci maie simplifie, avons-nous dit, tous les calculs relatifs aux nombres entiers. >>'est-il point possible de tirer parti du principe de position pour obtenir de nouvelles simplifications dans les calculs relatifs aux nombres fractionnaires?
C'est dans ce but que fut imaginée la théorie des nombres décimaux, théorie dont Viète parait avoir eu la première idée (') et qui fut exposée systématiquement par Simon Stevin {Pratique d'Arithmétique, i58ri; Stevin consacre au calcul des nombres décimaux un chapitre spécial intitulé La Disme (')). Rappelons brièvement la déiinition el les principales propriétés de ces nombres.
On appelle /rdc/ion décimale une Traction dont le dénominateur est une puissance de 10. On adopte, |KAr représenter les fractions décimales, une écriture particuhère dans laquelle on introduit le signe , (virgule).
Comme toute fraction, une fraction décimale est toujours la somme d'un nombre entier (qui peut être o) et d'une fraction plus petite que i : le nombre entier, est appelé partie entière de la
(I] Dans Iv Canon molliemalicua teu ad triangula, Çaris i.'iyg {cf. ij?), (*) La Dismt enseignant {aciltmtnt expédier par nombres enliert tant rompus loui comptes se rencontrant aux affaires des Itomme».
l'écriturb ahithuétique et la :tLiiÉnATioM 53
fraction donnée ; la fraclion inférieure h i ((]ui est dccimale) est la partie décimale (ou mantisse). Soit, par exemple, la partie entière égale à a et la partie décimale égale à — (^ ^'^nt inférieur & lO). La TracUon — vaut b dixièmes ifanité. Nous conviendrons alors d'écrire ;
en regardant le premier chiffre à droite de la virgule comme représentant un nombre de dixièmes d'unilés. Soit pareillement la partie
décimale égale & , b étant un nombre de trois chiffres ; nous
éciirons encore :
a -\ =^a,b rpar exemple — ï— ^af75ttl,
^ looo ^^ *^ lOOO
en regardant le troisième chiffre à droite de la virgule comme représentant des millièmes d'unités; le second chiffre à droite de la virgule représente alors des dizaines de millièmes {c'est-îl-dire des centièmes) ; le premier chiffre représente des centaines de millièmes (ou dixièmes). Si le nombre b n'avait que deux chiffres, il n'y aurait pas de centaines de millièmes dans y^^ j'écrirais comme premier chiffre i droite de la virgule le chiffre o; si le nombre b n'avait qu'un chiffre, j'écrirais comme deux premiers chiffres à droite de la virgule les chiffres oo,
Nous.sommes ainsi conduits à adopter les règles suivantes pour figurer les fractions décimales, qui, sous leur nouvelle (orme, seront appelées nombres décimaux :
i" Le chiffre placé immédiatement à rjauche de la virijule représente des mités simples. Tout chiffre placé à la droite d'an autre chiffre représente des unités dix fois plus petites;
3" S'il n'y a pas d'unités d'un certain ordre, on en marque la place par un zéro, pour que les autres chiffres conservent leurs positions respectives.
Il résulte de ces règles qu'on ne change pas la valeur d'une Iraction décimole lorsqu'on place i la droite de la pirtie décimale autant de zéros que l'on veut.
54 LES nOUHlBS
Les chiffres de la partie décimale t'appelknt décimaies du aombre dÀsimal.
La représoatation des fractions décimales par des nombres décimaux est extrêmement avantageuse pour le caictd. En effet, si fort fait abatraction des virijalet, on peut opérer sur les nombres décimaux exactement comme sur les nombres entiers. Une fois les calculs achevés, on n'a plus qu'à placer, dans les nombres trouvés, les virgules qui doivent y figurer. On place ces virgules conformément à des règles très simples, règles bien connues et qu'il est inutile de rappeler ici.
