Calcul approché. Puissances tractîoaaaires

46. Valeur approchée d'une fraction. — L'emploi de la notation décimale accélère considérablement, nous venons de le dire, les calculs relatifs aux fractions décimales. Mais celle notation présente un autre avantage qui n'est pas moins précieux : elle nous donne immédiatement une idée approximative de la grandeur des fractions auxquelles nous avons affaire.

Considérons par exemple la fraction 2,572. Sans faire aucun calcul, je puis affirmer que cette fraction est comprise entre 2 et 3, plus précisément entre a, 5 et 3.6, plus précisément encore entre 3,57 et 3,58. C'est là une constatation importante pour celui qui veut appliquer l'arithmétique aux problèmes de la vie pratique. Il est fort utile de savoir que pour connaître la valeur approchée d'un nombre décimal à un dixième près, ou à un centième près, ou à un millième pris, Hsuffit de retenir à droite de ta vu-gale, dans ^expression du nombre dévimal, un, deux ou trois chiffres décimaux.

Fartant de cette remarque, nous trouvons le moyen de l'epvésenter par un nombre décimal la valeur approchée d'une fraction non-décimale quelconque.

Nous avons déjà observé qu'une fraction quelconque est la somme

d'une partiecntière,a,etd'une fractioninférieureà t. Soit - cette dernière fraction. Elle est égale è dixièmes d'unité. Or la

CALCUL APPROCHÉ. PUISflAKCSS FH ACTIONNAIRES 55

fraction est elle-même la somme d'une partie entière b et

d'une fraction inférieure à i. La Jraction proposée est donc êijale à la somme saivanle :

a -h b dixiime$ -y- frattwn inférieure à - •

Noas pouvons aller plus loin, el d^mposer la fraction proposée {quelle qu'elle soit) en la somme d'un nombre décimal el d'une

fraction inférieure & -— ou à -

sera la valelh appuochée de la fbactios proposée & -~ près, ou

--— près, ou, en général, k — ^ près [p étant un nombre entier anssï grand que l'on voudra {arbitrairement grand) {')j.

Le procédé que nous venons d'employer pour trouver la valeur approchée d'une fraction montre que cette valeur est toujours inférieure à la fraction proposée ; nous dirons donc que c'est une valeur t^prochée par défaut. D'ailleurs, si nous augmentons d'une unité le dernier chiffre du nombre décima! écrit, nous aurons une valeur supérieure à la fraction proposée ; ce sera la valeur appro-

cliêe par excès de la fraction (à -i —, ... près).

47. La grande utilité pratique qu'a pour nous la considération des valeurs approchées tient au fait suivant : En remplaçant, dans les calcul, les fractions par leurs valeurs approchées, on obtient avec une a approximation arbitrairement grande • le résultat d'une opération quelconque {*). J'entends par là que le résultai obtenu — qui n'est pas le résultat exact, mais le résultat approché de t'opé-

(') Lorsque p est très grand, lo' est tria grand, et — ^ eat très petit [cf. .io-4i].

(') La notion d't approximation arbitrairement grande ■ est li^e à la aotion de < liiiiït« n i laquelle nous ferons Mqneinment appel dans les chapitres suivants ; coniidârons les valeurs approchées d'une fraction k

r- près, puis à ■— pria, pais à — près, et ainsi de iDÎte : on dit que la suite indffiiue des Taleurs approchées ainsi calculées a pour limite la valeur de la fraction.

ration proposée — diil^re aussi peu que l'on veutdu rcsulbil exact, à condition que l'on ait remplacé les raclions données par des valeurs sulTisamment approchées. En d'autres t^^rmes, appelons erreur commise la diiTérence entre la valeur exacte et la valeur approchée d'une fraction ou d'un résultat d'opération : puisque les erreurs commises sur les fractions peuvent être rendues aussi petites que l'on veut, il en sera de même de l'erreur commise sur le résultat du calcul.

Soit, par exemple, à additionner deux fractions a et b. Je puis écrire :

A et B étant des nombres décimaux et a et jS étant inférieurs à l'inverse r-p d'une puissance de lo arbitrairement grande. J'aurai par conséquent :

(se -t- JS) étant intérieur h —, et étant, par conséquent, aussi petit que l'on veut.

Soit maintenant k multiplier a par b. Je puis écrire :

0Xfc = CA + a)x(B + p) = (AxB)-|-(Axp)+(<.xB) + (aXP). Or j'aurai

J'en conclus que, lorsque l'exposant p est arbitrairement grand, la différence

est arbitrairement petite.

La mémo remarque s'applique à l'une quelconque des opérations fondamentales.

Ainsi, pourvu que l'on se contente d'une approximation déterminée — d'ailleurs aussi grande que l'on veut — on a le droit, dans la pratique, de remplacer une fraction quelconque par un nombre décimal. On exprime ce fait en disant qu'une fraction ^on décimale quelconque est réductible à une fraction décimale

CALCUL APPROCHÉ. PllSSA^fCES FRACllO^fAlRES 5'J

illimitée [le mot illimilée signiRant que, si l'on veut pousser ilc plus en plus loin l'approximation, on doit, dans le nombre décimal qui représente la fraction, ajouter, ïndéfmîmGnt, de nouvelles décimales].

Les fractions décimales illimitées ont été étudiées par Cavalieri {Trigonometria, i643, cliap. xxiv) et, d'une manière plus complète et plus précise, par Vi'Mis {Àlgebra, i6()3, cliap. lxxxix).

48. Valeur approoh^e d'an« racine. — L'idée de remplacer le calcul exact par un calcul approximatif est une idée dont la fécondité nous apparaîtra de plus en plus. Proposons-nous de l'appliquer au problème de l'extraction des racines.

Nous avons vu (n* 37) que l'extraction de la racine p'^"' d'une fraction — n'estpas toujours une opération possible. Je vais montrer

en revanche que, quelle que soit la fraction —, on peut trouver une

fraclion -- dont la puissance />>'"" ttijfèré de ^ aussi peu que ton

S voudra. U sera dès lors naturel de dire que la frac^on - est une

valeur approchée de la racine /c""* de—. Ainsi, quoique cette racine p''"" ne soit pas en général un nombi-e rationnel, nous pourrons la traiter comme si elle en était un et la représenter par sa valeur appprochée, que nous ap|>ellerons racine approcltée. Cherchons, par exemple, « la valeur approchée de ta racine p''"*

de -- à une unité près » — c'esl-h-dire une fraction " dont la puissance p''"" difl^re de — de moins d'une unité. Nous avons démontré (n' 40) que, quel que soit l'entier p, si a et fc sont deux nombres quelconques, l'inégalité a <ib, entraîne comme conséquence l'inégalité a'' < 6''. Ecrivons alors la suite des nombres

Cette suite est une suite croissante de nombres de plus en plus grands : j'en conclus qu'il y a. dans cette suite, deux termes consécutifs a*', (o -H i)*', et deux seulement, entre lesquels esl comprise

58 LB3 nOUBBES

(c'est4-dire a) CMome étant la racine /)'^" à ane unité pris par défaut de - ; {a -h i) est la racine {^'^ à ane nnili près par

excès de - ■

Soit demandé, maintenant, de trouver la " valenr approchée de la racine p'"*' de - à — près ». Considérons la suite croissante des fractions

et ia suite de leurs puissances p''"»*

iç/' »op' lô'' '" II y a dans celte dernière suite deux termes consécutirs --^>

lion — , Je dois donc regarder — et — — (quantités difTérant d'un dixième) comme étant les valeurs approchées à un dîxitme près, par défaut et par excès, de la racine considérée.

De la même manière, on définira la Yaleur approcliéc de Ia

raoine />''"" de - à un de^'ré quelconque d'approximation.

On remarquera que les racines approchées, calculées comme il vient d'i^lre dit, sont toutes des nombres décimaux.

49. — Ainsi, voilà une a expression» arithmétique, la radnep'™" (oh racine iVordre p) d'une fraction quelconque, qui ne repi-ésenle aucun nombre, et qui néanmoins se prête au calcul numérique. Il y a, il est vrai, dans le calcul approché, quelque chose d'artificiel et d'impi-écis, qui répugnait au raticmahsme grec et incitait les Pythagoriciens i rejeter ce calcul de la science. Cependant, oti ne pouvait manquer de l'y introduire, ne fût-ce que pour satisfaire les besoins de la géométrie ('), et c'est ainsi qn'.\r-

('} Voir le chap. il, en particulier, n« G3.

CALCUL APPROCHÉ. PUISSASCES PHACTIOn^C AIRES 5$

chimède (387-313 av. J.-C.) conucra au calcul approché de» racines carrées qnelquea-uDB de ses plus beaux travaux ('). Aux environs de l'an 1 200, l'algébriste arabe, Omar al Khayyam (•) se vantail d'avoir donné une méthode permettant d'efTectuer l'extraction d'une racine d'ordre quelconque. A l'époque de la Henoisaance, enfin, oiî de Tortes tendances umilarîstes tendent à remettre en honneur l'Arithmétique pratique, le calcul approché est devenu — définitivement cette fois — l'un des chapitres principaux de la e des nombres.

50. OinéralUation de la notion de puissance. Exposants traotionnalres. — Gr&ce aux conventions que nous avons faites, toutes nos opérations ont maintenant un sens, exact ou appi-oché, quels que soient les nombres (entiei-s ou rationnels) sur lesquels elles porlenl. Seules les deux dernières opérations (élévation aux puissances el extraction des racines) sont encore soumises h une restriction en ce qui concerne les exposants el l'u ordre des racines 1) : en effet, lea symboles if, y a ; ne représentent des opérations légitimes que si le nombre p est un entier. Ne serait-il pas possible d'imaginer une nouvelle convention qui conlêre un sens & ces symbcrfes tlans le cas où le nombre p etl fractionnaire'i Notre arithmétique y gagnerait en unité et en clarté.

Nous réaliserons ce progrès en fondant en une les deux opérations de l'élévation aux puissances et de l'extraction des racines.

Convenons de poser, quels que soient lea entiers m et n, et le nombre a :

Je dis que les a puissancet à exposants fracUonnaires » a" . a" jouissent des mêmes propriétés fondamentales que les puissances ordinaires, qu'elle» se comportent semblablement dans les calculs, et que, par conséquent, la convention en vertu de laquelle nous les regardons comme des puissances est une convention légitime.

(') Cf. HuLTSCB, Die N&herungêtvtrU irnUion. QuoidrabvuriHn bei ArekimeJe», Abh. d«r Kg!. GêêelUrh. d. Witteneh. ut GûtUngen, i8g3. (') Cf. Tropfke, Geteh. d. El. Math., 1, p. 311 et infra, n" 37^.

En eiïet, les propriétés fondamentales des puissances h exposants ^nlierg sont résumées(voir n" 9el3e)par les égalités suivantes^) :

tfxai = 0"+*

[a'')î = o'-ï = Ja»)''

Remarquons d'abord que la définition même des puissances a" , a' donne

ce qui est conforme k la propriélé numérotée (3).

Je dis. d'autre part, que les puissances fractionnaires jouissent de la propriété (i), c'est-à-dire que l'on a

quelles que soient les fractions (') — ■ -, . Posons, en effet

(. = a", c = <i"'. d^a "■"' . Je lire de là, par définition :

6' = a-", €"' = 0"'; donc b"-"' = a"-"', c"'-' — a"'-" ;

et, par conséquent

(fc X £)"''' = fr" " X c"-"'c=o" "'"'""'■"; d'où bx<-= à.

ce qu'il fallait démontrer.

Un calcul analogue nous permettra de vériQcr que les puissances

(■) LeB aignci X et . l'emploient indistinctement dans le «on* do muUipUi par [W 7) ; par (a')' j'entends « puisiance ç*n>e de a' ».

(') Les symboles m', n' sa lisent m prime, n primai je m'en aen pour représenter des nombres autres que m et n, mai» jouant un lAIe équivalent [cf. p. ij, note i).

FRACTIO:<:CAlRES DI

fractionnaires jouissent des propriétés [a) et (3). L'assimilation de ces puissances aux puissances ordinaires est donc légitime (').

61. — La notation que nous venons d'introduire pour la représentation des racines s'appelle a notation exponentielle > (parce qu'elle repose sur l'emploi des exposants). Nous en trouvons les rudiments dans X'Âlgorismus proporlionam de Nicole Oresme (i3o3-i38a), évoque de Lisieux (') [Oresme emploie le mot " proportion 1) dans le sens de « puissance »].

(') Remarquons en passant que, quelle que soit la fraction —, on a

a- > I, ai a> i ; en effet, d'après len°^o, a-> i et parBuite ^/a^ > i. (*J Publié pour la première fois en i86H par M. Curtie, Berlin.